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1、19. 1.1变量与函数（第1课时）教学设计一.教材容和容分析容变量与常量的概念容分析本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角 度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量.有 了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础.本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与 常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫.基于以上分析，确定本节课的教学重点長：能找出一个变化过程中的变量与常量， 了解常量与变量的意义.变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量 的关系
2、，学生往往只认为是一种确定的数量关系，类似于二元一次方程，没有用运动 与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：体会运动变化过程中量的变化，较复 杂问题中常量与变量的识别.二.教学目标和重难点教学目标知识技能结合丰富的实例，让学生在具体的情景中领悟常量与变量的含义，能分清 实例中的常量与变量，在具体教学中培养学生的数学阅读能力.数学思考通过感受运动与变化的数量关系初步体验函数思想.解决问题通过阅读课本知识，抓住关键词，感受常量与变量的意义.情感态度感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，加深学 生对数学来源于生活的体验。重点能找出一个
3、变化过程中的变量与常量，了解常量与变量的意义.难点体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别.专业WORD.三.教学过程设计教学过程教学容设计意图通过知识准知识准备备的解答， 提出本节课 需要研究的 问题，合理 地引起学生人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达 事物的某些特征（属性），如：速度.时间、路程.温度、面积 等，请你再写出三个“量”：.;同时用“数”来表明“量”的大小。注意活动一：自学交流师生活动1: 教师与学生 一起通过计 算填表，并分 析问题一中 出现的三个 量，发现其中 有些量的数 值長变化的， 如时间£,路 程s；有些董 的数值長始 终不
4、变的，如 速度 60km/h.师生活动2:学生继续 分析问题二、 三、四中的量 并分类，领会 “变量S“常问题一：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t小时.1.请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米6012018024030060t2.在以上这个过程中，变化的量是时间_t_,路程s_.不变 化的量是速度v3. 试用含t的式子表示s,则s=_60t4. 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程_s随行驶 时间_的变化过程.问题二：每电影票的售价为10元，如果早场售出票150,午场 售出206,晚场售出310,三场电影的票房收入各多少元？设一 场电影售
5、票x,票房收入丫元口1.请同学们根据题意填写下表：售出票数（）早场150午场206晚场310X收入y （元）15002060310010x2. 在以上这个过程中，变化的量是粟数x.票房收入y元不变化的量是票的售价10元/3. 试用含x的式子表示y,则y=_10x4.这个问题反映了栗房收入y随售票数_x_的变化过程.半径r(cm)102030r面积s (cm2)100 JI400JI900 JIn i2在以上这个过程中，变化的量是一半径“面无只S问题三：圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的 半径r分别为10 cm, 20 cm, 30 cm时，圆的面积S分别 为多少？在这个过程中，哪些量是变
6、化的？1.请同学们根据题意填写下表：（用含龙的式子表示）在常见的“行程问 题”中，引 导学生从“变与不 变”的角度 观察速度. 时间、路程 三个量，可 以较为自然 地引导学生 对三个量进 行分类有前述的示 引导，让学 生自主探究“销售问 题”、“几 何问题”中 的常量与变 量，通过探 索简单实例 中的的数量 关系和变化 规律.深刻 体会变量与 常量的含 义量”的含 义发现在同 个变化过 程中，始终保 持不变的量 为常量，而数 值发生变牝 的量为变量.变化的量是H3试用含r的式子表示s. s= n r2.4、这个问题反映了 面积s随 半径r的变化过程.问题四：用10m长的绳子围成长方形，试改变长
7、方形的长度， 观察长方形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算 相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm, 面积为Sm2 1.请同学们根据题意填写下表：长 x (m)33.544.5X另一边长(m)21.50.50. 055x面积s (m2)65. 2522. 25X (5-X)2. 在以上这个过程中，变化的量是矩形由不变化的量是周长10m .3. 试用含x的式子表示s. S=_ X (5-x)4. 这个问题反映了矩形的面积随二边长y两边长、面积的变化过程.活动二：形成概念 师生活动： 学生思考并 回答，教师给 予引导.问题1:请给活动一(一) (四)中发生了变化的量和始
8、终不 变的量起一个恰当的名称.变化的量：变量始终不变的量：常量问题2：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词長什么？关键词是：发生了变化和始终不变.从实际问题 中抽象出变 量、常量的 概念，进一 步体会常量 与变量之 间、变量与 变量之间的 关系。活动三：辨析概念师生活动：先让学生通 过独立思考 和小组合作 交流，再师生 一起解决问 题.教师板书例.写出下列问題中的关系式，并指出其中的变量和常量.(1) 用20cm的铁丝所围的长方形的长x (cm)与面积S (cm2) 的关系.解：S=x(20-2x)/2=x(10-x),其中变量長长方形边长x, (10-x), 面积S,常量是周长20cm(
9、2) 直角三角形中一个锐角a与另一个锐角B之间的关系.解：a=90-B,其中变量是a、B,常量長90教师引导学 生在2个常 见的简单的 实际问题 中，通过合 理、正确的 思维，指出 同一问题中 的变量和常 量.教师的板书 为学生的解 题做好示作 用示.活动四：练习反馈 师生活动： 学生分组讨 论，通过小组 合作交流，探 索结论再由 各小组学生 到黑板板演， 教师巡视并 进行校对指 导.练习：填写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量.（1）某市的自来水价为4元/t现要抽取若干户居民调查 水费支出情况，记某户月用水量为xt,月应交水费为y元.解:y=4x,变量:月用水董x吨和月应交水费y元
10、,常量:自来 水价4元/吨.（2）某地手机通话费为02元/min.明在手机话费卡中存入 30元，记此后他的手机通话时间为t min,话费卡中的余额为 矿元.解:扫30-0. 2t,变量:通话时间t分钟和话费余额w元, 量:通话费0.2元/分钟和存入话费30元.（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大.记圆的半径为n圆周 长为G圆周率（圆周长与直径之比）为兀.解:C=2",变量:半径r和圆周长c,常量:圆周率兀及计算 公式中的数字2.（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉都放），第一个抽 屉放入x本，第二个抽屉放入y本.解:YPO-x变量:第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量 y本,常
11、量:书的总数10本.运用新知解 决数学问 题，在解题 中识别常量 和变量，巩 固学生对所 学知识的理 解，通过小 组合作学 习，培养学 生合作能 力，板演解 题过程既有 示作用也起 到错误解答 引领反思的 作用，活动五：拓展应用师生活动： 学生分组讨 论，通过小组 合作交流，探 索结论.再由 各小组学生 学生发表结 论，教师进行1、请结合生活实际，小组合作设计一个可以用下列式子表示 的变化过程，并指出里面的变量和常量。（1）y=6x（苹果一斤6元，买x斤苹果用了 y元）（2）s=40t（班里有40个同学，每人捐款t元，共捐了 s元）（3）s=200-40t（甲乙两地相距200公里，汽车从甲地出
12、发每小时行驶 40公里，行驶t小时后与乙地的距离为s）学变的量出式，过已础题一量为学义 在了中变给系景通在基问进常，续定 是识程和只关背生，识造，识量继数 题认过量，量题学考知构景认变面函 本生化常后数问让思有上背步与后习点评指导.2、根据销售记录，某型号的服装每天的售价*（元/件）与当 日的销售量y （件）的变化关系如下表：及其应用打 好基础第1题属于 开放题，答 案多种多 样，即能激 发学生的学 习兴趣又能 培养学生的 逆向思维和 发散思维。第2题激励 学生大胆猜 想规律，即 激发兴趣又 培养能力.每天销售价（元/ 件）200190180170160150每天的销售量 y （件）80901
13、00110120130在这个变化过程中，有哪些变量？虎 化而变化？请大胆猜想它们之间的戎 猜想的变化规律，并指出关系式中怡 解：变量有：服装每天的售价x（元/« 当日的销售量y随服装每天的售价a 变化规律满足：尸280x,关系式牛二哪一个量随哪一个量的变 I化规律，用关系式表示你 7常量.二）和当日的销售量y（件）， ，的变化而变化.，的常量是：数字280.活动六： 反思总结 师生活动：学 生自我反思 总结后自由 发言，教师及 时反馈并进 行引领。问题1:在一个变化过程中，什么長变量？什么長常量？常量 是否都是显现的？问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否是相互依存和变 化的？是否
14、存在变化规律？培养学生归 纳总结和反 思的学习习 惯和能力.四.目标检测设计检测题目考查目的、答案及解析一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的1、考查目的：考查常董 和变量的概念.字母代号填在題后的括号）答案：C.1.某人要在规定时间加工100个零件，对剩余零件个数p解析：在同一变化过程与工作时间£之间的关系，下列说确的是（）中，始终保持不变的是常量，A数量 100、 p 、七都是变数量变化的是变量故答案应量B.数量100和p都是常选择C.量2、考查目的：考查常量CP方都是常与变量的概念.量D. 1答案：A.00、r都是常量解析：蜡烛原长是固定2. 一根蜡烛原长是a
15、（cm）,点燃后燃烧的时间为t （min）,的，所以是常量，点燃后，剩余蜡烛的长为y （cm）下列说确的是（）燃烧时间越长，剩余蜡烛越A.常量是变量長y、tB.常短，y随着十的变化而变化，量長t,变量是a、y所以t, y是变量.故答案应C.常量長y,变量長a、tD.以选择A.上说法都不对3、考查目的：考查常量3.以固定的速度（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）和变量的概念.与小球的运动的时间（秒）之间的关系式是，在这个关系式中，答案：C.常量、变量分别为（）解析：在关系式中，速度A. 4. 9是常量，、是变量和数量是常量，小球的高度B.是常量，、是变量（米）随小球的运动时间（秒）C.、是
16、常量，、是变量的变化而变化，是变量.故D. 49是常量，、長变量答案应选择C.二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）4. 齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间，那么用表示的关系是，其中为变量，为常量.5. 表格列出了 一项实验的统计数据，表示小球从高度（单 位m）落下时弹跳高度（单位m）与下落高的关系，据表可以4、考查目的：考查常量与变 量的概念.答案：；解析：齿轮的转速为转/ 分，長固定不变的，所以長常 量;转数随着时间的变化而变 化，所以是变量.5、考查目的：考查变量 间的关系.在具体问题中，用 代数長表示变量间的关系.答案：.解析：根据表格数据分 析，小球弹跳高度的取值
17、長相 应的下落高度的值的一半，故 关系式为.6、考查目的：考查常量 与变量的概念.答案：2；人口数；时间； 随着时间的增大，人口数也在 增大.解析：从表中可以看到， 人口数随时间（年份）的变化 而变化.变量有两个.随着时 间的推移，人口数也越来越 大.勺.是50” 80100150R式254050756.下表是某报纸公布的世界人口数据情况：年份195719741987199920102025人口数30亿40亿50亿60亿70亿80亿表中有个变量，其中随的变化而变化，变化趋势長三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）7.某种水果的销售数量 （千克）与销售额y （元）的关 系如下表
18、所示：数量X（千克）12345销售额y24681（元）12340. 5（1）上面的表格反映了哪两个变量之间的关系？（2）请估计销售量長15千克时，销售额長多少元？&已知直线皿力之间的距离是4,的顶点在直线也上， 顶点、在直线力上，指出其中的变董和常量，并求的面积s与 的边长X之间的关系式.7、考查目的：考查实际 背景下常量与变量的概念.答案：（1）表格反映了销售数量x（千克）与销售额 y （元）之间的关系；（2）估 计销售15千克时，销售额是 31. 5 元.解析：表格第一行是销售 量，第二行是对应的销售额, 用常量和变量的概念可以判 断.根据表中提供的数据，不 难发现，销量与销售额的
19、数量 关系为，将代入式中，可得.8、考查目的：考査常量 与变量的概念及变量间的关 系.答案：常量是4,变量是 X、S.面积S与的边长X之间 的关系式为.解析：本題以三角形面 积为问題背景，考查常量与变 量之间的关系.此问题中，三 角形的高是定值，当底边的长 变化时，面积s相应变化.根据三角形面积公式得到.五、教学反思通过变量与函数的教学，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解. 本设计呈现的课堂结构为：（1 ）揭示学习目标；（2 ）引入数学原型；（3 ）抽象出数学现实, 逐步达致数学形式化的概念；（4）巩固概念练习（概念辨析）；（5）小结（质疑）.“数学教学是数学活动的教学”，面对抽象的数学容，老师会想方设法创设易于学生理解 的数学情境.但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环 节.从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学 生思考、过渡到数学形式化的问題.本人在学生完成问题情境的几个问题后，提出系列问题 “上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？通过哪一个量可以确定另一个量？ ”在与学生的交流过程中把重点容板书，板书注重揭示两 个量间的关系，引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量.