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1、有余数的除法除法竖式的重难点分析及解决策略的研究从学生的学习经历看有余数除法是对除法意义的进一步 理解，是对表内除法知识的延伸和扩展，是后续学习除数是 两三位数的除法及小数除法的基础。人教版教材将原本在三 年级出现的此内容下移至二年级下册，教师的教和学生的学 都遇到了一定程度的困难。教师教什么？怎样教？取决于学 生学习的需求。把握学生学习的需求，了解学生学习的难点， 对教学内容进行整体分析是进行有效教学设计的基础和前 提。一、问题的提出在日常生活平均分物时，分的结果会出现两种情况：一 种是恰好分完，没有剩余（即余数为 0），另一种是平均分以 后还有剩余（即余数不为0）。从学生的学习经历看有余数
2、除 法是对除法意义的进一步理解，是对表内除法知识的延伸和 扩展。人教版教材将原本在三年级出现的此内容下移至二年 级下册，下面呈现的是现人教版（修订）二年级下册“有余 数除法”单元的教学内容和原人教（实验）版三年级上册有 余数除法的教学内容。Ml；| fg*釉S<»l： ffOKU i-和视|修订版二年级下删有余数除i去的教学内容類錨三年级上册育余数除法的教学内容在对比中发现：教学内容从原来的 4个例题增加至6个例题，例题的编排更加重视对“关系”的理解，如：表内除 法与有余数除法的关系，除数和余数的关系等，有余数除法 中各数之间的含义。同时还重视了对有余数除法学习意义的 理解，编
3、排了 2个例题突出生活中用有余数除法知识解决的 简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。对 于二年级学生而言本单元的教学难点过于集中，怎样教？成 为困扰教师的主要问题。要想解决怎样教的问题还要从学生的学习需求入手结合对教学内容的整体分析进行思考和教学设计。二、研究目标：通过对学生的前测问卷及访谈情况的分 析，梳理了二年级下册“有余数除法”单元的学习难点，针 对学习难点提出了：在整体分析教学内容的基础上分散教学 难点；采用直观方式建立多种表征联系理解有余数除法中各数之间的关系；重视学生的“原始认识”，让数学课堂有“探 寻”的味道的教学建议。三、研究方式：问卷调查、访谈。四、研究过程（一
4、）测试1.测试对象：二年级共 80名学生进行问卷调查2 .测试题目说明：闭卷 30分钟前测罷目那儘灵壷國錨1 。旳比涉2. IE门牛制*r 常.VC ）卜也 Jkt«（> 半*US b成ift啼H吧聲注丄WW用舟计ViHX«溝IK卯f悝成追和计W la用一劉碎摆正方形¥如果有!M余”可 能会剰几根"弗？ it你用自己的方式说明祢 的想法丄 有15名同学去划最”每条船量多坐4 入.他们至少篁租多少条船?请你用自己的 方武说明你的担迭.（二）访谈随机选取参与测查的二年级学生作为访谈对象。五、研究分析1.正确率把这區苹果每4个放到一个盘子里，需要（）个盘
5、子。100ft列式是：lOOrfe请你用竖式強亍计算。乩7硏从前测试卷中可以看到学生能够正确理解题目中的文 字和图示信息，采用圈一圈的方法找到答案，并借助除法的 意义正确列式。其中 80%的学生采用先列式计算，再圈圈验 证的方法完成题目。但是对除法竖式的认识知之甚少，出现 了以下几种竖式情况：44 44 2+4 3 2一 J!X12434)312OYJ-1 在对书写的学生进行访谈后发现：学生对竖式并不陌生，学过了加法、减法竖式，通过家长的辅导和其他 途径的学习也学会了乘法竖式的表达方法。因此面对“用竖式计算”的要求时自然产生想法：除法竖式怎样写呢？于 是学生在思维储存的知识方法中快速检索，在完
6、成任务中学 生“创造”出了以上竖式的表达方法。不难看出学生能够运 用“几个几”的知识，将加、减、乘和除的意义建立起联系， 借助几个几的意义建立除法竖式的模型。在对书写的学生进行访谈时，发现学生对除法竖 式认识并非原生态，有的学生在书籍中见过“)”号，有的学生在校外学习过，从商书写的位置更能看出，这些学 生对于竖式计算的认识基本处于“雾里看花”或者“匆匆而 过”的状态。对除法竖式中各数的含义以及各数之间的关系 并不理解，觉得商只要有个位置就可以了，很难与计数单位 和数位的知识相联系。2*把17个梨每5个放到T盘子里召正确率需要()个盘子，还剌()个。100%用自己的方式说明你的想法*刊式是：2,
7、5%谙祢用竖式进行计算°1.25%和题目1比较，学生对文字信息理解正确，并通过自己的理解运用画图的方法寻找答案。但是只有18. 75%勺学生是采用先列式计算在画图验证的方法完成题目。大多数学生 发现不能用口诀直接找到结果，对答案不确定，因此采用先 画图，再列式计算的方法完成题目。对还剩2个的表达方式也比较多样，出现了以下几种典型情况：随机对学生进行访谈。师：在这个除法算式里，17叫被除数，5叫除数，3叫商，如果让你给还剩的 2个梨起个名字，你会叫它什么？学生：“剩数” “余数” “多数”。学生通过直观操作已经初步理解了“余数”的含义，2表示剩余的部分是学生共同的认识。学生这样进行竖式
8、计算:27011 115)说明学生对有余数除法中各数含义以及它们之间的关系是模糊的3.用一堆小樟摆正方形。如臬有剌余.可能会剩几根小樟？请你用自己的方式说 明你的憩法。93.75%的学生采用举例子的方法回答问题，因此结论也 是唯一的。在学生的头脑中缺少“变化”意识，也缺少“追 问”意识，因此还未形成“余数组”的认识。育汁名同学去划船，毎条船最多坐丄人他们至少要租多少条船？ 请你用自己的方式说明你的想法。正确率126. 26%4 4 43 |26.26%的学生能够正确理解题目含义，并结合题意画示 意图辅助思考，结合生活实际作出正确判断。回答错误的学 生主要是对题目中“最多”和“至少”等词语不理解
9、。还有 的学生忽视了对余下的 3人的处理，缺乏将对数学问题还原 成生活问题的能力。通过以上分析我对人教版二年级下册“有余数除法”单元的学习难点进行了梳理教学内容学习难点有 余 数 除 法含义 和 计算表内除法与有余数除 法的含义：例11 理解余数和有余数除法的含义。2-理解有余数除法中商和余数的单位容称。余数和除数的关系： 例21 理解占余数组匕塞握余数和除数的关系。2-理解有余数除法中各数含义以反各数之间的关系、有余数的除法竖式和 表内除法的竖式：例3有余数除法的竖式和表内除法竖式的表达方法。对照操作过程理解除法竖式中每个数所表示的含义， 理解表内除法竖式中的含义。3理解商的对位（十迸位倩制
10、）丄沟通操作与除法横式、除法竖式之间的关系，理解数 数之间的麻系。乩理解除法竖式中商所在的数位°试裔试商的方法解 决 问 题解决问题:例51用进一法”解块简单的实际问题。2继续使学生经历解决冋題的全过程培养学生的审题 能力和理解冋题的能力，学会分析和思考冋题，学会 用乘法进行验证，从而培养学生解决问题的能力。解决问題：例总1 在认识“规律'的基础上学习“等余冋题叫Z结合例题理解余数1的含义，在活动中使学生辨析清 几和第几，即对数的基数和序数的理解。培养学生分 析和推理能力。六、研究成果：（一）在整体分析教学内容的基础上分散教学难点修订版小学数学教材中和“有余数除法”有关的教学
11、内容可以分为以下几个阶段：一年级下册“100以内数的认识”图（1），此学习内容 是学生在分物过程中首次经历剩余情况。图（2）是一年级下册“ 100以内的加法和减法（一）”中的学习内容，学生在 分物的过程中再次经历有剩余情况。这两次学习使在学生进步熟悉画图策略，同时能够用图示表征，符号表征等方式说明自己的思考过程，初步渗透“余数”表象|1 58 t* + 仙小裁一宰it产儿串？rri 。砂陽亦Q° o 。° O1 土mV 鼻 图(1)图(2)一年级下册“找规律”的学习使学生认识到“规律” 感受“规律”中的“组”，形成“份”、的概念表象。LdTTTT?TT二年级上册“表内乘法”
12、r1 *百- <, 1 *叱 ” 二朮出阳*为絵时挥"】蜕并* 岀疫JI为鼻牛乘法的意义和乘法口诀和二年级下册“表内除法”一一除法的意义和用乘法口诀求商 的学习尤为重要。乘法的意义是建立除法意义的基础，而除 法意义的学习又是形成有余数除法含义的基础，因此重点研 究乘法和除法的意义就成为研究后续一系列问题的核心，也 是教学的重中之重。从以上学生的学习经历来看，有余数除法的学习并不是 毫无基础和经验的，把握教材的主要教学内容对后续知识进 行适时适度的渗透可以起到分散教学难点的作用。 （在梳理 教材的过程中也发现一个问题，到目前为止现人教版教材中 出现了加法、减法和除法的竖式计算方法
13、，唯独没有乘法的 竖式计算内容，建议教师结合教学内容和本班学生的实际情 况在适当的时候进行乘法竖式的教学，同时渗透十进位值 制，为讨论除法竖式中商的对位问题做铺垫。 ）（二）采用直观方式建立多种表征联系理解有余数除法 中各数之间的关系荷兰数学家弗赖登达尔认为，数学学习是一种活动，这 种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看 书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。尤其是数学概 念的学习更是如此。因为数学概念的特点是高度的抽象化与 应用的普遍化。所以学生学习概念必须要经历通过动手操作 的活动，使学生各种感官都参与到感知概念的本质中来，从 多方面，多角度认识概念的内涵。心理学家皮亚杰提
14、出的儿童智力发展分为四个阶段的理论，即：感知运算智力阶段（02岁）,前运算智力阶段 （27岁），具体运算智力阶段（712岁），形式运算智力 阶段（ 12 15）。其中第三阶段属于小学生智力发展阶段， 这一阶段的儿童借助具体事物，能作出一定程度的推理。儿 童能联系具体事物进行思考，也就是说，思维的内容和形式 尚未分离。 因为， 儿童认知的形式， 即不单纯来自先天能力， 也不单纯来自后天经验，而是来自儿童的动作和活动，儿童 必须通过活动和具体事务进行学习。这样可以使学生将外在 刺激转换为内在表象从而形成概念的认知历程。例如：把 12 个苹果每 4 个放在一个盘子里，需要几个 盘子？在表内除法学习的
15、初始阶段学生需要在动手操作中 感受一份一份分的方法，获得把一定数量的物品按份分以后 的结果。当实物操作成为一种经验以后，学生就能够运用这 种经验将分的过程用画图的方式表达出来，并获得结果，学 生能够借助自己的直接经验将“分的过程”与“图”建立联 系，加深对除法意义的理解。此时学生的画图过程就从原有 的感知性动手操作上升为思维性动手操作，学生的数学思考 自然的融入其中。当学生处于思维性动手操作阶段时教师应 发挥自身的主导作用将学生呈现的“图”与“数” “符号” 建立一一对应的联系，形成“除法算式” ，使学生不断的经 历从具体到抽象的过程，不断的丰富对 “算式”的感性认 识，实现将“操作” “横式
16、”“竖式”相互结合， “有来有回 的教学。（三）重视学生的“原生态认识” ，让数学课堂有“探 寻”的味道在前测调研中学生问了几个“好问题” ：除法竖式是什么样的？余数和要分的总数是什么关系?式中为什么有两个12呢学生最朴素的认识展现了数学发展的历史，数学中有大 量的“约定俗成”，但是约定俗成不是胡思乱想的规定，而 是有其“合理性”。当学生理解了合理性时，就能够学好数 学。在课堂教学中教师如果经常用“就是这样规定”的语言回答学生的“傻”问题，久而久之也就磨灭了学生探索知识 的火苗。面对学生的“傻”问题，教师要能够激励学生去探 寻“为什么会是这样的？”“它的背后有什么原因和道理吗？”长此以往学生获得的是数学的思维和数学的思考。以上就是本人对二年级下册“有余数除法”单元学生学习难 点的分析，并结合自己的教学体会提出了一些浅显的认识。