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1、如何求数列通项公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用an =印（a2 -耳）（an -an）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an1 =an f（n）的递推数列通项公式的基本方法（ f（n）可求前n项和）.例1已知数列aj满足anan 2n1,=1,求数列an的通项公式。解：由 an an - 2n 1 得 an an =2n 1 则an = (an an)(an 丄an_2)H )(比 - S2)(a2 - S1) 4= 2(n-1) 1 2(n-2) 1(2 2 1) (2 1 1) 1= 2(n-1) (n-2) (I) 2 1 (n-1)1= 2(n J (n1) 1=(n-1

2、)(n 1) 12二 n所以数列an的通项公式为an = n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2n 1转化为an - an = 2n 1，进而利用逐差求和法求得数列a.的通项公式。例2已知数列an满足anan- 23n1，a,=3，求数列an的通项公式。解：由 an 1 =an 2 3n 1 得 an 彳-an =2 3n 1 则an =(an an (and an J III 心3 a?) 2 -印)*1=(2 3n 1)(23n1)|l (2321) (2 311) 3=2(3n° W|l3231)(n-1)33(1_3n 冷所以 a.二別 5-1.毛31上)(n -1

3、) 31-3=3n -3 n -1 3=3n n -1评注：本题解题的关键是把递推关系式an厂an 2 3n 1转化为an j - q = 2 31 1，例3已知数列an满足an 1 =3an 2 3n 1, a =3，求数列an的通项公式。an 1 an A -Tan?ai=(霉-邑)(也-黑厂(黑-黑)III y-亍)t3 anJ anJ 3333332 丄3 3n J1 1(3n2 1 2 (33n)-2(n -1)_3x 2 1)(33心1 13332 13)in(2 秒)33 33小1III 孑)1因此an3n31-33n 3n - 3-3评注：本题解题的关键是把递推关系式a* 1

4、= 3an 2 31 转化为an 1 an 2丄1，进而利用逐差求3a 1和法求得数列 an的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。3二、累乘法(也叫逐商求积法)：利用恒等式an =a1更勺也(an = 0, n _ 2)求通项公式的方法称为累a1 a2an J.乘法,累乘法是求型如：an彳=g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g (n)可求前n项积).选选2 34 a2 a.1 2nn © = 0, n_2)且 n-1例4已知ai =1, a*二n (a.i -an)( nN )，求数列：aj通项公式.【解析】：s =n(an1-an),也二一1,. a =ai ann

5、当 n =1 时 a1 = 1，满足 an 二 n，an 二 n .反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 二 g(n)an.例 5 已知数列an满足 an 2(n 1)51 an，a 3,n，求数列an的通项公式。解:因为 an 1 =2(n 1)51 an，a3，所以 an = 0，则也=2(n 1)5n，故ann?an anan _1二2( n-1 1)5n2 (n- 2 1)5nHH 2(21) 522(11) 51 3 所以数列an的通项公式为= n(n _1)3 25(n)(n4 " 213n(n)=3 2n° 5 n!ann(n 4)=3 2

6、n4 5 2n!.评注：本题解题的关键是把递推关系an .1 = 2(n 1)F an转化为=2( n 1)5n ,进而求出an an 1anan_2川 a 电a，即得数列an的通项公式。 a?例6已知数列an满足a =1，an = ai 2a? 3a3川-(n -1总(n _ 2)，求佝的通项公式。解：因为 an =a2a2 3a3 J|l (n - 1)an d(n _ 2)所以an厂厲2a2雀III (n-1总na.用式一式得 a. 1 - a.二na“.则 an 1 =(n 1)an(n 一2)an 12)所以an也an也川旦a2 an_2a2n!二n(n -1)11(4 3a2 二

7、一a2.2由 a*=a12a23a11(n-1)an(n _ 2),取门=2得aai2a2，则a2-a1,又知 & =1，则a2= 1 ,n!n!代入(3)得an =1 3 4 5川n。所以，a.的通项公式为a.二'22评注：本题解题的关键是把递推关系式an十二山1)an(n _ 2)转化为a. 1一 =n 1(n亠2)，进而求出anan的通项公式。电也川电32，从而可得当n 一2时，an的表达式，最后再求出数列an .1 an -2a2三、构造新数列：将递推公式a.+ qa. d ( q,d为常数，q = 0, d = 0)通过(a. 1 x) = q(a. x)与原递推公式

8、恒等变成 an 1 ' d =q(an d )的方法叫构造新数列.q -1q -1例7已知数列：aj中，6=1,an =2anj 1(n_2)，求、anf的通项公式.【解析】:利用(a. x) =2(a.x)，求得a. 1二2(a.4 ' 1), 'a. -1是首项为a 1=2，公比为2的等比数列，即 an 1 =2n, an =2n _1反思:.构造新数列的实质是通过(an 1 x)二q(an x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有a.二S. - Snv (n - 2)，等差数列或等比数列的通项公

9、式。例8已知无穷数列Can 的前n项和为S，并且an S1( N*)，求CaJ的通项公式?11| 1 I【解析】：；& = 1 务,.耳 i = § 1 § = an 'an 1 , - *1=2%，又引=三，'a .反思：利用相关数列厲/与；Z 的关系：d =S“, K二Sn-Sn/( n _ 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.例9已知数列an满足an 2an 3 2n，耳=2，求数列an的通项公式。解: %十2+3炮两边除以2计，得罪号+号，则翔弓=3，故数列內是以加和为2 2 2 2 2 2 2 2 2首项，以3为公差的等差数

10、列，由等差数列的通项公式，得卑=1 (n-1)色，所以数列an的通项公式2 2 2出31 n为 an =(_n _)2。n 22评注：本题解题的关键是把递推关系式an2an 3 2n转化为 *4 -*，说明数列是等差数2 2 2 2a3列，再直接利用等差数列的通项公式求出+=1，(n-1)，进而求出数列an的通项公式。22ca1 d 11六倒数变换：将递推数列an 1 ( 0d 0,取倒数变成的形式的方法叫倒数an +dc an c变换.例10已知数列n，N )中，a1 =1, an 1引，求数列3昇的通项公式.2a +1a 111111【解析】：将an 1取倒数得： =2 一，丁一 =

11、 2 / 是以一 =1为首项，公差2an +1an卅anan卅anlan Ja11 1为2的等差数列.一=1 2(n -1),. an -. an2 n -1反思：倒数变换有两个要点需要注意：一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项，公差或公比变化了 .四、待定系数法例7已知数列an满足an2an 3 5n，! =6，求数列1a的通项公式。解：设an 1 x 5n2(an x 5n)将an2an 3 5弋入式，得2an + 3汉5 +x汉51 = a? + x2 ；5等式两边消去 2an，得3 51 +x 51 = 2 5两边除以5n，得3 = 2x则x二-弋入式得an j -5n 1 = 2舗

12、-与) 由印-51 =6 -5 =1 =及式得a_5n 屮an -5n =0，贝U 亠 =2，则数列an -5n是以a, _51 =1为首项，以2为公比的等比数列，则an -5n n丄n nan -5 =2 ，故 an =25。评注：本题解题的关键是把递推关系式an2an 3 5n转化为an, -5n 1 = 2(an -5n)，从而可知数列an -5n是等比数列，进而求出数列 an -5n的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8已知数列an满足an 1 =3an 5 24, a, = 1,求数列a.的通项公式。解：设 an卅 +xx2n + y =3(an +xx 2n + y) 将an书

13、=3an +5迖 2n + 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y = 3(an x 2n y)整理得(52( ) n2 4y = x 3 n 2 y。35 亠 2x - 3x (x - 5令，则，代入式得an , 5 2n 1 2= 3(an 5 2n 2)4 y=3y y =2亠1nan*+5x2n4h+2由 a1 5 21 2=1 *12=13 = 0 及式，得 an 5 2n 0，则亠 -3，an 5 2n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 1 113为首项，以3为公比的等比数列，因此 an52n2 =133n4，则an=133心 -52n-2。评注：本题解题的

14、关键是把递推关系式an3an 5 2n - 4转化为an d '5 2n 1 2 = 3(an 5 2n 2)，从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列a. 的通项公式。例9已知数列an满足an 2an 3n2 4n 5,印=1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z =2(an xn2 yn z) 将 an 1 =2an 3n24n5 代入式，得 2an3n24n5 x(n1)2y(n1) z = 2何 xn2ynz)，则 2an (3 x)n2(2xy 4)n (x y z5) =2an2xn

15、22yn2z等式两边消去 2an，得(3 x)n2(2x y 4)n (x y z 5) = 2xn2 2yn 2z，3 x = 2x工x = 3解方程组 2x y 2y ，贝U y =10，代入式，得x y z 5=2z z=18an 卑+3( n+1)2+10( n+1)+18=2(an+3 n2+10n+18) 由印+3歼 +1 0 江 1+ 1 隹1+3 13及20式，得耳+3斤+10n + 1 8工贝0 = 2 8故数列an + 3斤+ 1 Ch + 1为以an +3 n +10n + 1 822nda1 3 11 0 1 T 8= 1 3 1为首32,以2为公比的等比数列，因此

16、an 3n - 10n - 18 = 32 2 , 则 an =2n 4 -3n2 -10n -18。评注：解题的关键是把递推关系式o11=20.3n24n5转化为an13(n1：210(n1)V8 = 2(an3n210n 18)，从而可知数列an 3n2 10n 18是等比数列，进而求出数列an 3n2 10n 18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。跟踪训练1.已知a =1,an1 =an_il (nN*)，求数列tan?通项公式.2 12丿跟踪训练2已知数列满足Q =1，且a a< 2a2 3a" (n-1)an(n_2).则：a"的通项公式是.跟踪训练

17、3.已知数列中,a1 =1, an =3n-an-1 (n_2)求数列aj的通项公式.跟踪训练4已知数列订鳥的前n项和Sn，满足关系lg Sn 1二n(n =1,2 ).试证数列a,是等比数列.跟踪训练5.已知数列订中,an1二一°,求数列的通项公式.aQ2跟踪训练6.设；£n 是正数组成的数列，其前 n项和为Sn，并且对于所有自然数 n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列的通项公式.答案=a12 -aj3 - a?)跟踪训练1.解：由已知跟踪训练2解：n_2 时，an=6 2a23a3 亠亠(n-1)an4,an，2a2亠亠(n-1)anjnanan

18、 1 - an = nan ,an跟踪训练n .e 3 -13. an 二2跟踪训练4.证明：由已知可得:nnSn -101，当 n _2 时 an =Sn Sn=9 10 一，n = 1时，& =S =9满足上式.fan詁勺通项公式an =9(10)2, n2时电 =10为常数，所以laj为等比数列.anjan 1.a3aan作差得：4 二n 1, =3， =4, J = na2a3an2跟踪训练5. an二亠n +11 n = 1 n!一 n H2 .2跟踪训练6解：由已知可求a1 =1, a2 = 3, a3 =5,猜测a* =2n-1 .(用数学归纳法证明).an!n = 3

19、4 5 “心 n ,a2 =1an(n _ 2)ana22五、对数变换法例10已知数列an满足an彳=2 3n a；, a 7，求数列an的通项公式。n 5n 5解：因为 an 2 3an,Q =7，所以an0,an 10。在an2 3an式两边取常用对数得Igan i =5lg a. n lg3 lg2 设 lgan1 x(n 1) y =5(lgan xn y)、11将式代入式，得5lg an - nlg3 Ig2 - x(n 1 y = 5(lg an xn y)，两边消去5lg an并整理，得(Ig3 x)n x y lg 2 =5xn 5y，则lg3x5x ，故y =x y lg

21、=(lg7)5n-4164464111n11= (lg7 lg34 lg36 lg24)5nJ1Ig3Ig316Ig2刁5n_4nj5n.Jn 1则 an = * 一 3 162 4111n 11= lg(7 3刁 3花 2刁)5心lg(34 3花 24)111n 11= lg(7 34 316 24)5nl -lg(34 316 24)5n-_o5nd 5nl二 lg(75n 1 3 43 162 4 )5n _4n 15n 1 二=lg(75n 1 3 162F)评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an1=2 3n a；：转化为lg 3lg 3 lg 2lg 3 lg 3 lg

22、2lg an 1(n 1)5(lg % n)，从而可知数列41644164lg 3 lg 3 lg 2lg 3 lg 3 lg 2lg ann是等比数列，进而求出数列lg a.n的通项公式，最后再求41644164出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an 1 =a：(n 1)2", q =5，求数列a.的通项公式。3(n 1)2n3n 2n 13(n 4) 2n 2 3n 2n A解：因为an卅二an，所以an =an_1 =6/32( n-1)n 2(2 心)二 a_23( n -2)2n 32( n-1)n2ZE)"an-3一 a33(n-2)(n-1

23、)n2Z2Zan-3=III_3心 23川 11(n-2) (n-1)n 21 如叩十g如二 a1n(n-1)3心门!22=a1n (n3n- n! 2 2 又a =5，所以数列an的通项公式为an = 5。an.1二ajE)2"两边取常用对数得 lgan1 =3(n 1) 2n lg an ，即Snl =3( n 1)2nlg an再由累乘法可推知lga二严ga3 lga2lganIgalg an lg an32 lg a lg5lg a2 lg a1n(n 丄)3n±n! 2 2一，从而an=5二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳

24、法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二已知数列laj中，C =1， an =2an-1(i_ 2)求数列、an?的通项公式.【解析】：丁耳=1， an = 2an1(n _ 2)，a2 = 2印 1 = 3， a3 = 2a2 1 = 7猜测an =2n -1 (n N )，再用数学归纳法证明.(略)反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式, 性.再就是一定要用数学归纳法证明其正确例12已知数列an满足an 1二an 8( n +1)22， a1(2n 1) (2n 3)8，求数列an的通项公式。9解：由an彳=an(2n乍(2? 3)2及幼詣，得a2r.887_ a +

25、丿二 +(2 1 1)2(2 1 3)29 9 258(2 1)8(1 1)2425=a22483(221)2(223)2一 252549丄8(3+1)48 丄 8 汉 4(231)2(233)249498181=48"4980由此可猜测a(2n1) -12 、(2n 1)2往下用数学归纳法证明这个结论。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式-1 8了 =9，所以等式成立。8(k 1)(1)当 nr 时，心2 1 1)2(2"+1)2假设当n=k时等式成立即铲，则当n«1时，akak (2k 1f(2k3f(2k 1)2 -18(k

26、 1)2 2 2(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)- (2k+1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 _(2k 3)2 8(k 1)2 2(2k +1)2(2k+3)2(2k 1)2(2k 3)2 _(2k 1)2- (2k+1)2(2k+3)2(2 k 3)2 -12(2 k 3)2( k 1) 12 -1公比的等比数列，因此 bn -3 =2(1)2 =(1)2，则bn =(丄)2.3，2 2 2即 J_24a； =(2( k 1) 12由此可知，当n二k 1时等式也成立。根据(1) ,( 2)可知，等式对任何 n 二N*都

27、成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法1 ,例13已知数列an满足an 1(1 4an 1 24an), a1，求数列an的通项公式。924(2_1)故 an24(bn2'1_1)， 111代入 an 1(1 4an 、1 24an)得(£ 1 -1)14(b； -1) bn即 4b：1 =(bn 3)21624162413因为 b . 1 24an-0，故bn124an 1-0则2bnbn3，即 bn 1= 2 bn石，)n 3，得 a|(1)n (1)n 1。23 423 13评注：本题解题的关键是通过将、1 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化 bn-1g 形式，从而可知数列bn -3为等比数列，进而求出数列 bn -3的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。

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