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1、精品资源等价转化思想知识要点等价转化是一种重要的数学思想，近几年来高考试题都要求学生有很强的等价转化意识，转化思想的应用在试题中也处处可见。数学问题的求解过程事实上是一个不断转化的过 程，这种过程体现了“把未知解法的问题化归到在已有知识范围内可解”的求解策略。化归转化分等价转化与非等价转化两种情况。当转化过程中的前因后果是既充分又必要时，则称这种转化为等价转化。（一）等价转化所遵循的基本原则1 、熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。例 1 （ 1 ）求适合等式 (1i ) x2(1i) x 2的 x的一切值(a12) 3
2、0（2 ）求a展开式中的常数项1ii略解 （1）1ii xix 4k 1（ kZ ）原式a121( a1) 2（ 2 ）aa原问题求 (a1) 60展开式中含 a30的系数常数项 = C6030xaba 的取值范例 2 （1 ）若对任意实数b ，方程x至多有一个是实数根，求实数围欢下载精品资源（ 2 ）马路上有编号 1 ， 2 ， 3 8 ， 9 的九只路灯。为了节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻两只或三只，也不能关掉两端路灯，求满足条件的关灯方法y1aya略解 （ 1）原问题xb 至多有一个交点x曲线x 与 y2函数x 有ay x(0,) 单调a反函数函数x 在0（ 2
3、）原问题六个 0中间插入三块隔板且不在两端所求方法C5310（种）2 、简单化原则：把复杂的转化为简单的，化难为易。1112 n1例 3证明不等式：23nn1n12(kk1)k 1)2( k略解原不等式k 1kk 1k（ k 1,2,3n ）2(kk 1)221kk12kk而原不等式得证例 4设 k 为实数，试求出关于x 的方程 x 22kxk 22k3 0 的实数根的范围略解 原问题求关于 k 的方程 k 22(1x)kx230 有实数解时x 的取值范围k4(1 x) 24( x23)0x 2欢下载精品资源3 、直观化原则：把抽象的转化为具体的，把数的转化为形的，以充分利用形的直观 y性揭示
4、数学问题的本质属性。例 5 解不等式54xx2xA略解 令 y154xx 2， y2x 作图像如右Cx-5Ox5, xA 5,1422原不等式例 6 对任何实数 a，方程 3x 5 axb ay .P恒有实数解。求 b 的取值范围x略解 原问题对任何实数 a ，过定点P (1,b ) 的直线系 ya( x O1) b 与曲线y 3x 5 恒有公共点P (1, b )在区域 y3x5 上 （如图）b 8( 二 )等价转化的主要途径、方法1 、从问题的形式、特征选择转化途径：所谓数学问题的形式是指问题的条件和结论的表象特征，从而数学问题的形式必是数学问题内涵信息的载体，一个数学问题的形式往往隐含着
5、如何从条件通向结论的启示，抓住问题的形式、特征进行分析，往往得到启迪而有助于选择转化途径。例 7 （ 1）证明方程 ( xm)( 2x2ma)1对任何实数 a 都有两个实根， 且一根大欢下载精品资源于 m ，另一根小于mSn5n 3a10（ 2 ）已知两等差数列an和bn，它们的前 n 项和之比为Sn'2n 7，求b10 略解 （ 1 ）令 tx.m ,则原问题方程 2t 2at 10 恒有一正根，一负根0t1t210t1t2 02这显然成立a10a1a19S19,b10S19'（ 2 ）21919S19a10S1998原问题求S19'b10S19'45有：2
6、、从命题的等价性选择转化途径：对于一个难以入手的命题，可以运用充要条件的思想，把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路，因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是转化顺利的前提，同时也是解法灵活的基础。x2y21例 8 已知椭圆 a2b20 ）， A 、 B 是椭圆上的两点，且线段（ abAB 的垂a2b2a2b 2yA直平分线与 x轴相交于点 P( x0 ,0) ，求证：x0Maax略解 设 AB 中点为 M ， A(x1, y1 ), B( x2 , y2 )OPB转化1原问题M在椭圆内部xM2y M21a 2b 2MPABkABkMP1(b 2xM)(yM)1a 2x0
7、yM xM欢下载精品资源a xMa 2 x0aa 2b2a 2b 2a 2b2ax0aM在椭圆内部转化 2MP ABPA PB原问题PA PBxM2yM21a2b2b2 ( x22x12 )( x1x0 )2y12(x2x0 )2y22(x1x2 )( x1x22x0 )y22y12a 2axMx1x2a2 x0a2a 2b2（下略）转化 3设 A(a cos,b sin), B(a cos, bsin)0,2 ()2coscos2a 2b 2直线 MP 在 x轴上截距为 x0x0(coscos )则原问题2a（下略）3 、从不同的数学结构的关系映射选择转化途径：当一个数学问题在原来的结构体系
8、中直接求解较为困难时，可以通过数学变换，把它等价映射到另一结构体系中去，使问题获解。例 9 设单位圆 x2y 21 内任意两点A( xA , y A ), B( xB , y B ) ， P(x, y) 为以线段 AB为直径的圆上任意一点。求证：x 2 y22略解 设 A 、 B、 P 对应的复数分别为z1 , z2 , z欢下载精品资源z1z2z1z22z11, z21z222则原命题若，且z，求证：z1z2112z2 (z1z2 )z2 z1z2则z1z2z1z2z12z1212)2z2z22222z(22(2 z12 z2 ) z1z222例 10求同时满足下列两个条件的所有复数z101
9、z106z（ 1 ）z是实数，且z（ 2 ） z 的实部和虚部都是整数z10a (1 a6)z略解 设则原问题实系数方程 z 2az100 的复数解其实部、虚部均为整数za40a 2a24022i0 a 为整数240a 2为整数2a 2或 a 6z 1 3i或 z 3 i（三）几种常见的等价转化思路1 、利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转化ex1y1 的反函数定义域例 11 （ 1 ）求函数ex欢下载精品资源（ 2 ）求 sin 2 20cos2803 sin 20 cos80 的值ex1(1)1 ex略解 （ 1 ） ex11ex， 令 A(-1) ， B(1)求 y 的反函数定义域y
10、 的值域求分 AB 为定比ex0 的分点 P( y) 的范围 1 y 1（ 2 ）注意到所求式与余弦定理类似由 c 2a 2b 22ab coscsin 2 Csin 2 A sin 2 B2sin Asin B cosCsin 2 20sin 2 102sin 20sin 10cos150sin 2 1501原式=4构设函数、方程及不等式进行等价转化例 12设函数 f (x) 定义域为 D，若存在 x0D ，使 f (x0 )x0 成立，则称以 ( x0 , x0 )3xaf ( x)为坐标的点为函数f (x) 图像上的不动点。 若函数xb图像上有两个关于原点对称的不动点，求a、 b 应满足
11、的条件。略解 设 A(x1 , x1 ), B(x2 , x2 ) 为 f ( x) 不动点x1x2 03x1ax1x1b3x2a3xax x2x2方程 xb原问题b（）有两个互为相反数的实数根由（）x 2(b 3)x a0（ xb0）欢下载精品资源0x1x23b 0 x1b 0, x2b 0b 3, a 0, a 9x3例 13设 0a1 ，f ( x)log a x3的定义域为 ,)，其值域为(log a a(1), log aa(1)证明：3证明：f (x) 为 ,) 上的减函数求 a的取值范围略解 （ 1）（ 2）略。下面证（3） f (x) 在 , )（3 ）且值域为 (log a
12、a(1),log a a(1)log a3log aa(1)3log a3log aa(1)3方程 log ax3log aa( x1)在 (3,) 上有两相异实根原问题x3x3a( x1)ax 2(2a1) x3 3a0) 上有两相异实根即： x3在 (3,023( x13) (x23) 00 a234a 0 a( x13)( x23)043 引入相关参数进行等价转化：在有关探求参数a 的取值范围问题中，当直接构设以参数为元的不等式较为困难时，常可引入 a 的相关系数，借助把问题进行等价转化欢下载精品资源x 2y 21已知椭圆 C： a 2b2b0 ），其长轴两端点为A、A'，如果
13、C上例 14（ a存在一点 Q ，使 AQA'c120 。求 a 的取值范围c0设 Q (a cos, b sin) （为与 a 相关的参数）由对称性，不妨设略解 2（ B）K A'Qb sinK AQb sina cosa,a cosaK QAKQA'2ab sin3sin2abtg120(b 2a 2 ) sin23(a2b 2 )1KQAKQA'(A)02ab13( b ) 22( h ) 30b1解（ B） (A)3(a 2b 2 )aaa3c21 ( b )211 26c1a 2a333a（四）等价转化与非等价转化把问题 A 转化为问题B，若 B 只是
14、 A 的必要非充分条件或充分非必要条件，则这种转化就是非等价转化。前者可能扩大解集，后者则可能缩小解集。某些问题，或者根本不存在等价交换，或者按等价转化的思路展开求解较为困难。这时，就需要运用等价转化的观点，对不等价转化产生的后果进行控制，以保持问题的解集不变。例 15 已知 an 为公差 d 不为零的等差数列，Sn 为其前n 项和，是否存在这样的Sn an ，使对一切 n N ， S2n 恒为一常数。若存在，则求出 an 的通项表达式；若不存欢下载精品资源在，则说明理由。Snna1n(n1) d2a1(n1)d2S2n2na12n(2n1) d4a12(2n1)d略解 2S1S2满足题意的
15、an 存在S2S4（）Sn1d 22a1d 0d 2a1此时，S2 n4（）存在，ana1( n1)d (2n1) a1（a1R, a10）说明：第（）步是非等价转化（必要条件），从而需要第（）步来验证充分性x R， f (x)sin x(1a cos2x)例16 已知2的最大值为1 ，求 a 的取值范围略解 当sin x1 时， f (x)1（）f (x)sin x(1a cos2x)sin x(1a cos2 x) 12的最大值为1不等式2恒成立（）(sin x1)( a sin 2 xa sin x1)0sin x即：22恒成立10g(sin x)a sin 2 xa sin x1a (sin x1) 21a022228恒成立g(sin x)的最小值 N0下面分 a0， a0， a0 分别求 N ，即得原问题解：a1a8说明：本题的解题关键是等价转化（），而若无第（）步的说明，则第（）步欢下载精品资源的转化是非等价转化（必要条件）。欢下载