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1、轴对称变换的实际应用北京市北方交大附中 牟柏林教材：人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第 14.2.1 第 2节教1进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.学2体会轴对称变换在解决问题中的转化作用，学习将实际问题转化为数学问题目的方法，发展应用数学的意识 .标3 体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣 .教学重点轴对称变换的应用 .教学难点如何通过轴对称变换进行转化 .教学方式自主探究与启发引导相结合 .教学手段多媒体辅助教学 .教学过程教学环节教学内容师生活动 设计意图通过展示学生复 习 引 入上节课我们学习了轴对称变换作图， 给大家布置了利用轴对称变换设计图案
2、的 作业，让我们先来欣赏同学们用轴对称变 换设计的美丽图案！这些美丽的图案你又 是怎样画的呢？1提出问题播放 CCTV 关于“西气东输” 的新闻报道 问题 1 如图，要在燃气管道 l 上修建一个 泵站，分别向 A， B两城镇供气 . 泵站修在 什么地方，可使所用的输气管线最短 ?学生利用实物投影展 示作业，教师对学生给有创意的作 品，复习轴对 称作图和轴对 称性质，为本 节课的内容作 铺垫.予肯定和鼓励 .学生阅读思考、 尝试独 立求解 .选用“西气东 输”作为背景， 引导学生关注 国家大事 .教师巡视， 观察学生解 决问题的过程与方法， 并适时引导 .学生已有一些 解决实际问题 的经验，放手
3、 让学生做，培 养他们的探究 意识和能力 .问 题 探 究2. 引导探究 探究中学生可能遇到如下问题： 实际问题数学化；对“线段和最小” 的理解；如何想到用轴对称变换求解问 题.问 题 探 究（ 1）实际问题数学化 如图，已知点 A、 B 在直线 l 的同侧 .在 l 上找点 P ，使 PA+PB 最小 .ABl（ 2）对“线段和最小”的理解 在直线 l 上任取两点 P1、 P2，通过度 量，比较 AP1+BP1 与 AP2+BP2的大小 .（ 3）对画图找点的引导 辅助问题： 如图，已知点 A、 B 在直线 l 的异侧， 在 l 上找点 P ，使 PA+PB 最小 .Al B 解略.（ 4）
4、求解问题 1B1多数学生能将管道画 成直线，城镇画成点， 教师给予肯定的同时， 引导学生结合图形用 符号语言表述问题 .教师引导对 “线段和最 小”理解不透的学生选 点画图，度量比较发现 其值不等之后， 再利用 几何画板进行动态演 示.对于如何找点没有思 路的学生， 教师给出辅 助问题，解决后再思考 问题 1的解法 .使学生明确将 实际问题数学 化是解决实际 问题的第 步，同时注意 规范表述 .使学生透彻理 解“线段和最 小”的含义 .设置辅助问题 为问题 1 的解 决作铺垫 .学生陈述解法并说明 理由，同时教师强调也 可以通过作点 A 关于 直线对称点来求解 . 教师再利用几何画板 对点 P
5、 进行验证 .学生思考，讨论交流解：作点 B关于直线 l 的对称点 B1，连接 AB1，AB1与直线 l 交于 P，点 P 即为所求 . 理由： 如图，由轴对称性质 BP=B1P，所以 AP+BP=AP+B1P，当 A、 P、B1 三点共线时 AB1最短，所以 P 点为所求 .3数学思考（ 1）推理证明的落实如果 P1是异于点 P 的一点，你能证明（二）问 题 探 究证明：连接 B1P1. 由轴对称性质，BP1=B1P1，BP=B1P.所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B 1P =AB1，在 AP1B1中， AP1+B1P1>AB1， 即 AP1+BP1 &
6、gt; AP+BP.（ 2）对解法的反思 轴对称变换在解决问题中所起的作用是什 么呢？“实现了线段长度的等量转化，将 直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定 点问题 . ”教师引导学生利用轴对称变换性质和三角 形三边关系完成证明 .学生思考后作答， 教师再归纳提升 .帮助学生体会 轴对称变换在 解决问题中的 转化作用 .问题 2 如图，公园内两条小河汇合，两学生读题， 尝试独立求问题 2 一方面河形成的半岛上有一处古迹 P，现计划在解.作为问题 1 解两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上教师巡视指导 .题方法的巩修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两固, 同时又 为座小桥应建在何处，使所修建的道路
7、最问题 3 的解决短？作铺垫 .（三）拓1. 实际问题数学化展如图， P 为MON 内一定点，分别在应OM 与 ON 上找点 A、B，使 ABP 的周长用最小 .MAP PO2. 问题求解N学生在画图找点过程解：作点 P 关于 OM、 ON 的对称点 P1、中遇到困难时， 教师引P2，连接 P1P2 ，P1P2 与 OM、ON 分导学生分析问 题、理 解别交于 A、B，点A、B 即为所求 .由轴对称性质可将三A1MPA1P M角形周长转化为 P1A1+A1B1+P2B1，从而使问 题求解 .POB1BNP23. 对解法的反思 在解决问题过程中，轴对称变换起到了什 么作用？ “利用轴对称变换实现
8、了线段长 度的等量转化 . ”问题 3 如图， A 为马厩， B 为帐篷，牧马 人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一 处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐 篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线学生利用实物投影展 示自己的成果， 教师适 时点评 .帮助学生再次 体会轴对称变 换在解决问题 中的转化作用.问题 3 更为复 杂，对学生更 具挑战性，有 利于发展学生 迁移的能力 .拓 展 应 用1. 实际问题数学化如图，已知 MON 内有两定点 A、B， 分别在 OM 和 ON 上各点 C、 D，使 AC+CD+BD 最小 .对于学生可能出现的 问题，教师引导学生讨 论、剖析错误 .使学生在收获 成功
9、喜悦的同 时，对轴对称 的画图上升到 理性认识的 层面.2. 问题的求解解：作点 A关于 OM 的对称点 A1，作点 B 关于 ON 的对称点 B1，连接 A1B1， A1B1 与 OM 、ON 分别交于点 C、 D ，则此时 AC+CD+BD 最小 .O四） 小 结 反 思1. 引导学生小结、反思（1）怎样将实际问题转化为数学问题?（2）轴对称变换所起的作用是什么 ?2. 教师归纳、提升（1）将实际问题中的条件简化， 同时用 数学语言进行表述 .（2）利用轴对称变换将不共线的多条路 径转化到一条直线上，从而解决最短路径 问题.在学生反思、 回答问题 的基础上， 教师再归纳 提升 .使学生体会
10、轴 对称变换实际 应用的实质， 发展学生应用 数学的意识 .A层在旷野上，一个人骑马从 A 到 B，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图 所示） . 他应该怎样选择饮水点 P，可使使所走的路程 PA+PB 最短 ?五） 分 层 作 业l B 层 如图，公园中有两处古迹 P 和 Q ，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并 在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能 使修建的道路最短？C层 如图，现有一条地铁线路 l，小区 A 、B在 l的同侧，已知地铁站两入口 C、 D 间的长度为 a 米，现设计两条路 AC 、BD 连接入口和两小区 . 地铁站入口 C、D 设计在何处，能使所修建的公路 AC 与 BD 之和最短？