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1、三角恒等变换小结与复习一、学习目标1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式于二倍角公式之间的内在联系2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公 式进行简单的恒等变换 .二、学习过程一)知识网络建构1.熟记以下公式：sin( )sin( )cos( )tan( )cos( )用tan( )代sin2cos22sintan2cos22. 三角恒等变换： 常用的数学思想方法技巧如下： (1)角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式中往往出现较多的相异角， 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件 与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如：
2、 2 是 的二倍； 4 是 的二倍； 是 的二倍； 是 二倍；23 是 的二倍； 是 的二倍； 2 是的二倍 . ( ) ；32 () ； 2 ( ) ( ) ( ) () 等等4 2 4 4 4 (2)函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角 函数中正余弦是基础，通常切化弦，变异名为同名 . (3)常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角 函数值，例如常数“ 1”的代换变形有： 1 sin 2 cos2 sin90 tan45 .（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般 采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ， .
3、 降幂并非绝对，有时要升幂，如对无理式 1 cos 常用升幂化为有理式，常用 升幂公式有： ，.（5）asin bcos = =（其中 sin = ； cos = . ）（6）三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手： 基本规则：切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理 化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化 .（二）典型例题考点一：三角函数式的化简例 1 （2010 ·上海高考 ）已知 0<x<2，化简：lg cos x·tan x 1 2sin22x lg 2cos x4 lg（1sin 2x） 考点二：三角函数式的
4、求值（角）例 2 （2011 ·重庆高考 ）已知 sin 12 cos ，且 0，2 ， cos 2则的值为 sin 4考点三：三角恒等变换的综合应用例 3 （2011·四川高考 ）已知函数 f （ x） sin x74cos x34，xR.（1）求 f（x）的最小正周期和最小值；4 4 （2）已知 cos（ ） 5， cos（ ） 5，0<<2， 求证： f（）220.三、总结提升（一）三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式 的证明1. 三角函数的化简常见的方法有切化弦、 利用诱导公式、 同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化
5、求解2. 三角函数求值分为条件求值与非条件求值， 对条件求值问题要充分利用条件进 行转化求解3. 三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名， 不同角则化同角，利用公式求解变形即可（二）三角函数式的化简要遵循“三看”原则1. 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理 的拆分，从而正确使用公式；2. 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定 使用的公式，常见的有 “切化弦”；3. 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有 “遇到分式要通分”等 .(三) 三角函数求值有三类1. “给角求值”：一般所给出的角都是
6、非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔 细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解2. “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系3. “给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范 围，确定角 .四、检测与反馈1. 选择题(1)21 cos 2 2cos 等于(的值A sin B cos C sin Dcos 2 1(2) (2011 ·福建高考 ) 若 0， 2 ，且 sin cos 2 4，则 t
7、an 等于 ( )(3) 若 cos4，5，1tan 2 是第三象限的角，则 (1tan 21A2(4) 函数 y21sin 2 x 3cosB.2x 23的最小正周期等于 ()2)AB sin 235 2C.°1°24D.2(5) 化简cos 10 °cos80° ( )1A2B 2 C 1D122. 填空题(1) 若锐角 、 满足(1 3tan )(1 3tan ) 4，则 A. 22B.33C. 2 D. 3(2) 设 sin 35 2 << ，tan( )21，则 tan( 2)的值为 3. 解答题(8) 已知cos( ) 3 ,sin( 5) 12, ( ,3 ), (0, ) ，求sin( ) 的4 5 4 13 4 4 4值.(9) 已知 cos7，cos( )13，14，且 0<< <2 ，求 tan 2 的值；求 .2sin 2 sin 2 1tan 的值 ) ，(10) 已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C(cos ，sin 2 ，32 .若AC · BC 1，求(11) 已知 f(x)cos x(cos x3) sin x(sin x3) ， 若x2，3，求 f ( x)的单调递增区间；若 x2，34 且 f(x)1，求 tan 2 x 的值