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1、当两点 A 和 B 在直线 l 同侧时，若求直线 l 上点 P. 使 PA+PB最小值作点 B 关于直线 l 的对称点 B , 连结 AB交直线 l 于点 P, 此时PA+PB=PA+PB=AB取除此之外的任意一点P, 根据三角形两边之和大于第三边，PA+P B=PA+PB AB , 所以点 P 满足 PA+PB最小值当两点 A 和 B 在直线 l 异侧时，作直线 AB与直线 l 的交点为点 P 当两点 A 和 B 在直线 l 同侧时，作直线 AB与直线 l 的交点为点 M此时 |AM-BM|是最大值取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB| AB,而|MA-MB|=
2、AB,所以这时 |AM-BM|是最大值当两点 A 和 B 在直线 l 异侧时，作点 B 关于直线 l 的对称点 B, 连结 AB交直线 l 于点 M,此时 , |AM-BM| 是最大值送你几道题（2012 福建莆田4 分）点 A、均在由面积为1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P 是 x 轴上使得PAPB 的值最大的点， Q是 y 轴上使得QA十 QB的值最小的点，则OP OQ 【答案】 5。【考点】 轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】 连接 AB 并延长交x 轴于点 P，作 A点关于 y 轴的对
3、称点A连接 AB交 y 轴于点Q，求出点Q与 y 轴的交点坐标即可得出结论：连接 AB 并延长交x 轴于点 P，由三角形的三边关系可知，点P 即为 x 轴上使得 |PA PB|的值最大的点。点 B 是正方形ADPC的中点，P（ 3， 0）即 OP=3。作 A 点关于 y 轴的对称点A连接 AB交 y 轴于点 Q，则 AB即为 QA+QB的最小值。A（ -1 ， 2）， B（ 2， 1），设过 AB的直线为： y=kx+b ，2kbk1355。 Q（ 0，。则2k，解得53），即 OQ=1b3b3OP?OQ=3× 5 =5。3（2012 四川攀枝花 4 分） 如图，正方形ABCD中，
4、AB=4，E 是 BC的中点，点 P 是对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最小值为【答案】 2 5。【考点】 轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。【分析】 连接 DE，交 BD于点 P，连接 BD。点 B 与点 D 关于 AC对称， DE 的长即为PE+PB的最小值。 AB=4， E是 BC的中点， CE=2。在 RtCDE中， DE= CD 2 +CE242 +222 5 。例 5. （ 2012 广西贵港 2 分）如图， MN为O的直径， A、 B 是 O上的两点，过 A 作 ACMN于点 C，过 B 作 BDMN于点 D， P 为 DC上的任意一点，若 MN 20， AC
5、 8，BD 6，则 PA PB的最小值是。【答案】 142。【考点】 轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。【分析】 MN 20，O 的半径 10。连接 OA、 OB，在 RtOBD中， OB10， BD6，OD221022OB BD6 8。同理，在RtAOC中， OA 10，AC 8，OC221022OA AC8 6。CD 8 6 14。作点 B 关于 MN的对称点B，连接AB，则 AB即为PAPB 的最小值， BDBD 6，过点 B作 AC的垂线，交 AC的延长线于点 E。在 RtABE 中， AE ACCE 86 14，BE CD 14，AB222214 2。AE BE14 14例
6、 6.（ 2012 湖北十堰6 分）阅读材料：例：说明代数式x 21(x3)24 的几何意义，并求它的最小值解：x 21(x3)24(x0)212(x3)222，如图，建立平面直角坐标系，点 P（ x，0）是x 轴上一点，则(x0)212可以看成点P 与点A（0，1）的距离，(x3)222可以看成点P 与点B（ 3， 2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB的最小值设点A 关于x 轴的对称点为A，则PA=PA，因此，求PA PB 的最小值，只需求PAPB的最小值，而点A、 B 间的直线段距离最短，所以PA PB 的最小值为线段AB的长度为此，构造直角
7、三角形ACB，因为AC=3， CB=3，所以AB=32，即原式的最小值为32。根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式(x1)21(x 2)29的值可以看成平面直角坐标系中点P（ x， 0）与点A（ 1， 1）、点 B的距离之和（填写点 B 的坐标）（2）代数式x 249x 2 12x37的最小值为【答案】 解：（ 1）（ 2，3）。（ 2） 10。【考点】 坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。【分析】（ 1）原式化为(x 1)212(x2)232 的形式，代数式(x 1)2 1(x 2)29的值可以看成平面直角坐标系中点P（ x，0）与点 A（1， 1）、点 B（ 2，3）的距离之和
8、。（ 2）原式化为(x0)272(x6) 212 的形式，所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（ x， 0）与点A（ 0，7）、点 B（6，1）的距离之和。如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，求 PA PB的最小值，只需求PA PB 的最小值，而点A、 B间的直线段距离最短。PA PB的最小值为线段AB的长度。A（ 0， 7）， B（ 6， 1）， A（ 0， 7），AC=6， BC=8。 A BA C2BC26282 =10 。例 7.（ 2012 四川凉山8 分） 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。如图（ 1），要在燃气管道l 上修建一个
9、泵站，分别向道的什么地方，可使所用的输气管线最短你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律你可以在A、B 两镇供气泵站修在管 l 上找几个点试一试，能发现什么规律聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l 看成一条直线（图（ 2），问题就转化为，要在直线l 上找一点P，使 AP 与 BP的和最小他的做法是这样的：作点 B 关于直线l 的对称点B连接 AB交直线l 于点 P，则点 P 为所求请你参考小华的做法解决下列问题如图在 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC边的中点， BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使 PDE 得周长最小（ 1）在图中
10、作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） （ 2）请直接写出 PDE 周长的最小值：【答案】 解：（ 1）作 D 点关于 BC的对称点D，连接 DE，与 BC交于点 P，P 点即为所求。（ 2） 8【考点】 轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】（ 1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可， 作 D 点关于 BC的对称点 D，连接 DE，与 BC交于点 P， P 点即为所求。（ 2）利用中位线性质以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案：点 D、 E 分别是 AB、 AC边的中点， DE 为 ABC中位线。BC=6， BC边上的高为 4， DE=
11、3，DD=4。DEDE2 DD232 42 5。 PDE周长的最小值为： DE+DE=35=8。练习题：1.（ 2011 黑龙江大庆3 分）如图，已知点A(1 ，1) 、 B(3， 2) ，且 P 为 x 轴上一动点，则ABP的周长的最小值为2.（ 2011 辽宁营口3 分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1 ，2) ， B(3 ， 3) 两点，现另取一点 C(a， 1) ，当 a时， AC BC的值最小3. （ 2011 山东济宁8 分） 去冬今春，济宁市遭遇了200 年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村 B 送水。经实地勘查后，工程人
12、员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点， 以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图） 。两村的坐标分别为A（ 2， 3）， B（12， 7）。(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短(2) 水泵站建在距离大桥 O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等4. （ 2011 辽宁本溪3 分） 如图，正方形ABCD的边长是4， DAC的平分线交DC于点 E，若点 P、 Q分别是 AD和 AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【】A、 2B、 4C、 22D、 4 25. （ 2011 辽宁阜新3 分） 如图，在矩形ABCD中， AB 6， BC 8，点E 是BC中点，点F 是边 CD上的任意一点，当 AEF 的周长最小时，则DF的长为【】A1B2C 3D46. （ 2011 贵州六盘水 3 分）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、 F 分别是边AB、 BC的中点，点P 在 AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】A3 B 7. （ 2011 甘肃天水平分 BAD，点 E 在4C5D64 分） 如图，在梯形ABCD中， ABCD， BAD=90°，AB 上，且 AE=2（ AEAD），点 P 是 AC上的动点，则AB=6，对角线 AC PE+PB的最小值是