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1、青岛理工大学材料力学第三章扭转,1,第三章 扭转,青岛理工大学材料力学第三章扭转,2,上堂课内容回顾及补充例题,青岛理工大学材料力学第三章扭转,3,I、应力的计算, 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。,公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T 横截面上的扭矩，由截面法 通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,4,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,青岛理工大学材料力学第三章扭转,5,O,d,青岛理工大学材料力
2、学第三章扭转,6, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,7,II、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,8,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）
3、所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,例题 1,青岛理工大学材料力学第三章扭转,9,解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的
4、切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（C）,青岛理工大学材料力学第三章扭转,10,因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计,薄壁圆筒设计,设平均半径 R0=(d+)/2,空心圆轴设计,当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒,一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。,例题 2,青岛理工大学材料力学第三章扭转,11,35 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,青岛理工大学材料力学第三章扭转,12,二
5、、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,13,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,14,例题 1 图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa，DB=1. 试求：（1） AD杆的最大切应力；（2）扭转角 CA.,解：画扭矩图,计算外力偶矩M, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,青岛理工大学材料力学第三章扭转,15,（1）AD杆的最大切应
6、力,（2）扭转角 CA,青岛理工大学材料力学第三章扭转,16,例题2 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kNm, 材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ，轴的许可扭角 = 2 /m . 试校核轴的强度和刚度.,青岛理工大学材料力学第三章扭转,17,解：轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内，外径之比,由强度条件,由刚度条件,青岛理工大学材料力学第三章扭转,18,将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPa,两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，,在最大切应力
7、相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.,其截面面积为,空心轴的截面面积为,青岛理工大学材料力学第三章扭转,19,例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,青岛理工大学材料力学第三章扭转,20,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度条件校核刚度,青岛理工大学材料力学第三章扭转,21,40Nm,x,T,右端面转角为：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,22,例4 某传动轴设计要求
8、转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500kw， 输出功率分别 P2 = 200KW及 P3 = 300KW，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：,T,x,-9.55,-5.73,(kNm),青岛理工大学材料力学第三章扭转,23,由刚度条件得：,T,x,9. 55,5.73,(kNm),青岛理工大学材料力学第三章扭转,24,综上：,全轴选同一直径时,青岛理工大学材料力学第三章扭转,25, 轴上的绝对值
9、最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 5.73,(kNm),3.82,青岛理工大学材料力学第三章扭转,26,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,纯剪切应力状态下的应变能密度,对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,27,三、 应变能与能密度,单元体微功：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,28,应变比能：单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力
10、所作功dW，即dV=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为,青岛理工大学材料力学第三章扭转,29,在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,青岛理工大学材料力学第三章扭转,30,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,31,例1 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块， D截面处作用有外
11、力偶矩 Me 。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,32,解 : 1. 静力平衡求扭矩,2. 杆系应变能,其转向与Me 相同。,3. 求D 截面的扭转角 jD,青岛理工大学材料力学第三章扭转,33,例2 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,34,解：1. 求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧，可认
12、为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：,剪力 FS =F扭矩 T =FR,青岛理工大学材料力学第三章扭转,35,2. 求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D = 2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有,青岛理工大学材料力学第三章扭转,36,3. 求弹簧的缩短(伸长)变形,当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形与外力F成线性关系
13、(如图)。于是有外力所作功：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,37,至于簧杆内的应变能V，如近似认为簧杆长度l =2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T = FR，则,根据能量守恒原理 W=V，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：,如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,38,37等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,39,1、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两
14、相邻截面的翘曲程度完全相同。因而横截面上只有切应力，而正应力很小，可忽略。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,40,3、矩形杆横截面上的剪应力:,1、剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）,对矩形截面，截面周边上各点 方向与周边平行且四个角处,青岛理工大学材料力学第三章扭转,41,的大致分布如图：,发生在截面长 边的中点处,短边中点的应力：,青岛理工大学材料力学第三章扭转,42,根据 由 表3.12查得,由表可见当 时,因此对长度为 ，长度为 的狭长矩形,相距为 ， 不变的两截面相对扭转角,青岛理工大学材料力学第三章扭转,43,4、最大剪应力及单位扭转角,其中：,其中：It相当极惯性矩。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,44,注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：,查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。,青岛理工大学材料力学第三章扭转,45,例1 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强度和刚度。,解：查表求 、,校核强度,青岛理工大学材料力学第三章扭转,46,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,