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1、复旦大学附属中学2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一,填空篇（本大慧共12题，满分54分，第1-6噩每邈4分，第772题每题5分）1 . 一个方向向里为7=（1,、万）的亶线的倾斜角的大小是.2 .抛物线/= 4.V的便点到其次线的距因为3 .已知发数二二1 +九 则三=. 一4 .已知复数3+3/）（+ 2。是纯虚数.则实数。的侦为.5 .若1+21是关于了的实系数方程/+= 0的一个般，则3=S-一6,曲线；二:MS"为参数"之的焦距等于.（ 1 ）7 .宜线y = 2、+3被圜/ + 丁 - 6h-叼三。所故得的弦长等于.8 .如图所示，在VBC中，44=9
2、0。，tan5 = Z,以48为焦点的精网经过点C,若该椭W的焦距为4 ,则其 4短轴的反为.9 .已知双曲线上=1的左顶点为4,右焦点为式，P为双曲线右支上一点，则而，丽 的最小假为,10 .若红数二满足I二-二/十|二一 3,1 4 ,旦女数二对应的点的乳迹是椭回，则及数的桢的取值范围是.11 .已知抛物我）；=2内（夕0）的焦点为*,准线为/,过点开且斜率为由 的直线交抛物线于点M（A1在第 一象口1） , MN AJ.垂足为N,立技NF交N轴于点D，若版|二遥.则抛物线的方程是.12 .已知点F（0,2）,愉恻三+广二1上两点/（不，乂）,3（三,弘）满足二:方（2£尺），则
3、16 812片+ 3凹-12 |十| 2巧+ 3必-121的最大值为.二.选择！51本大豌共4题，满分2。分，每即5分）d vl13 .双曲线土-匕=的两条渐近线的夹角的大小为C ） 2 44 arc tan Jl3 2 arctan &C % 一 arctan J70.打 一 2 arctan Jl11在复数范国内，下列命题中为假命理的是（）4北数二WR的充要条件是二二三.8.若|二卜一二,则二C若二二,则二=±1或二=±i.:F=|二i对任意zwC部成立.115 .集合/ = :|（a+从）；4（一房"42=0, a、beR、:wC,2二z|z|=l,
4、 zeC,若40夕:0,则、b之间的关系是（）41十户>1 B. az + b2 <C.a + b>D.a + b<116 .已知为抛物线j，= 4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当西+丽+斤=0时，小钻。有（ ）4 2个个 。.有限个，但多于4个D无限多个三.解答题（本大题共5题，满分76分）17.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知关于*的一元二次方程+2h- 3k二0 （A e R）的虚眼为玉,三.<1）求上的取值范围，并解该方程；（2）若3|菁|=2|三|+3T ,求&的任18.（本速满分14分，第1小题6分，第2小题8分）学校科
5、技小组在计算机上模拟航天器变机返回试寻/ 设计方案如图：肮天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 京+9=】'变凯（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以,轴为对称轴' "。，竽）为顶 点的抛物线的实线部分，降落点为2X8, 0）,观测点44, 0）、月（6, 0）同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在“轴上方时，观测点2测得高航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?19.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 设z是虚数，W=： + !是实数，且一 1VMY2.<1）求目的值及Re二的取
6、值范围；（2）若二t二为纯虚数，求二.20.（本题满分16分，笫1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知怖恻C：= 1（。> b > 0）的长轴长是短轴长的2倍，点M（J5, J）在椭回C上.a b-（1）求椭网。的方程；<2）若过椭圆的左焦点的直线/与椭圆C相交所得弦长为2,求直线/的斜率；<3）过点尸（1,0）的任意直线与椭圆。交于/I、5两点，设点力、3到直线/°：x =与（/>2）的距离分别为应.W .哈制求吃的值.21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小黑6分，第3小题8分）已知动圆P过点用（2,0），并且与圆R: 0 + 2>+
7、丁 = 4相外切，设动圆的圆心尸的轨迹为。.（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线3 y2 = o交于43两点,当尸为48的中点时,求|CM|O8|的他；（3）过点五2的直线4与曲线。交于后尸两点，设直线，：x = ；，点。（-IN），直线ED交！于点求证：宜 线EW经过定点，并求出该定点的坐标.复旦大学附属中学2019学年第一学期高二年级数学期末考试参考答案一，填空题1. -2. 23. -Z4. 65. 一26. 2币7. 4石8. 4739. -210. 0,7）11. / = l4lx 12. 18+2厉选择题三,解答题17.解：（1）由题意，得A = 4%2fl2Z<
8、0,则一3<女<0-2k士-12ki厂了;演 2=，即玉 2=火±（2）因为小三为一对共视虚网，所以同=用|13. 口 14. C 15. B 16. D4分3分2分则|演二%，即|玉|=/9="运2 分正'3分18.解：（1）设曲线方程为由题意可知，0 = 64 + . a = -.4 分曲线方程为2分<2）设变轨点为C（X歹），根据题意可知+-=1,（1）100 ,25得 4/-7尸36=0.1 264,小y=一亍工十亍，（2）9 片4或尸（不合题意,舍去） , y = 4.3分4得*=6或x = -6 （不合题意，舍去）.二。点的坐标为（6,
9、 4） 2分|/0卜2石，18cl=4.2 分答：当观浏点/、a测得nc、2C距离分别为2人 4时，应向航天器发出变轨指令. 1分19.解：（1）设=4 +及（abw凡旦以0）1分1 f, 1- a-bi °八w = = +=。+ 从 += a + bt + - 2 分:abiab2则一-3k。，因为 W0,所以研+从刁，即目=i 2分此时，w=26（L2）, £（1/），即Rez的取值范困是（一!）.2分22r2 +j _ (a + bi)2 + (a + bt) a2-b1 +a + (2ab+b)i> z / ,_ 一二 十 二( +加)+(4 加)为纯虚数a2
10、-b2+a= 0 2ab + b 0a±01a=2 r或7fl = -1b=。，舍去)g 1后故二二一土二一，2 220.解：(1)由题意，2 = 226,即a =26因为点在椭圆C上，所以之+上=1 2ah 4Z?*解得 =2, 5 = 1,所以帏忸。的标准方程为二+>2=1.4 (2)根据鹿意可知，左焦点片(-6,0),且直线的斜率存在.设y = A(x+6)，联立，214,整理得(1 + 4左2)xZ + 8®2x+1242 4 = 0 >0恒成立，设:“(,7),外)，则再+覆=所以|E尸 |=gFj(X| + .q)2_4qx2 = 4卢*= 2 ,解
11、得后二士李(3)当直线，与4轴承合时,可设4(2,0),则8(-2,0),所以四1工二金1也=四PB 3' 4 % + 2' 乜 |尸川%2 1得r=,解得%=4.% + 2 3同理.当4(-2,0), 3(2,0)时.可得% =4.当直线/不与x轴垂合时，设直线/的方程为X=MV + 1x = mv+l2，消去X并整理可行(/+ 4)/+2少一3 = 0一+ v = 114 .A >0恒成立，设力(玉,弘)，8(七，必)，nl2m3则弘+为二一-7必先"一门。2m x ()迦四+1二冠士j = 4必+为-2tJIm1 + 43分另解： 当直线/的斜率不存在时，
12、/的方程为x=l,此时4 =力，|M4HA"I，I一=山MB当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y=k（x-l）, "（1）,、2行(4k2 + l)x2 - Sk2x + 4左2 4 = 0 ,y+y ="4设4-r,jP，3（三，必），则七十七8A4A-=际，中"访由的意,再与#2一个小于L另一个大于1，不妨设玉>1>*2，则内. I 儿西 I 乜 IA" |=| % -玉；十父-I % - Xl 4（一1）2 十 y；=I X。一玉 I « + 人）（三一 1）2_ | 而 一 / | "（1 + 火2）
13、（芍一1）2=J1 +公田%一力卜|.弓一1|一 |%-占卜|演一1|=V1 + A2 - （% - 玉）（1 一2）一（#0 一电）（一 D=V1 + A2 2/一（七 + IX项 + 芍）+ 2再/ = 0 ,所以，2*0 - （/ + l）（x, + 巧）+ 2苔,G = 0，即2.%-瞥学竺+ 咚二»二0,解得升二4.° 必42 + 1°综上，存在满足条件的直线x= 4,使得%二岁&恒成立.4 I网2L解：（1）由已知,得|P4|H尸区|+2,即口4|一|尸耳卜2<|耳耳卜4, 所以，点P的轨迹为以网,尸2为焦点的双曲线的右支.2分2a 三
14、2,即。=1； 2c =| FlF21= 4 即 c = 2, = c'-4=3曲线。标准方程/一手=1 （x>0）（xNl）.2分设;>（%,%）,即有£一 = 1，曲线3%2 - J? = O,即），=±百.丫9设/（不，百叫）9 8（2,一百.丫2），2分由P为力B的中点，可得升+工2 = 2.q, y/3x - V5x2 = 2yQ >触得 = %+*%，/=与专儿则|Q4|Q8H2巾羽卜4|即f止4( 一等=4C3)由对称性可知- 11线厂”必过"轴上的定点.当“线/1的斜率不存在时，若E(2,3),产(2, - 3),一则直线
15、 FM 经过点 Q, 0)；若 FQ, 3)，£(2, - 3),屿一2则直线FW经过点。(1,0).2分当直线人的斜率不存在时，设直线二”任一？)，点E(m，j)声(三，h)直线%:)，二一Aj + 1(川)则点“日元篝j = ACv-2） 1?得（3- 公）/ 4 4k2x - 4收一 3 二 0 .8-4= 1（其 >0）ft2 >3.±+七直线FM经过点。(1, 0) o %”二%/ O3j» 一 区.V1 +1»2-1o -3.耳 + 3yt -芭j、+ y2 o -女（玉 一 2）吃 + 3A（叫 一 2）二一 2） + k（x2）<=> 4七占一5（项十9） + 4= 0=4+ 4=0该式成立故，直:线经过定点。(1,0).