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1、§ 2线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难 看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维 的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分， 同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅 要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方 面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可 以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子 集。如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F上的 一个线性空间，则称 W为V的一个线性子空间，简称
2、子空间。验证W是否为V的子空间，实际上只需考察W对于V中加法 和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则 (1) (8)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它 自身V V，另一个是W = 0：，称为零元素空间(零子空间)。 除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常 见的例子。例2给定A =(a,a2,川,an) Rm n，集合N(A)x|Ax=O, x Rn1R(A)二(A)汎(印82,川耳)=spanai,a2,川,a.|y =Ax, x Rn / 分别是Rn和Rm上的子空间，依次称为 A的零空间(核)和列空间 (
3、值域)，零空间的维数称为零度A的零空间是齐次线性方程组 Ax二0的全部解向量构成的n维线性空间Rn的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以，dim(N(A)= n - ran k(A)。A的左零空间和行空间N(AT)x| ATx =0, x Rm?R(At) =(At) My |y =Atx, x Rm 1，dim(N(AT)二 m -rank(AT)。A 一表示Amn的广义逆，满足AXA-A，则有N(A)(ln -AS)且ln -A-A , A_A幕等。所以rank (I nA A)二 tr (InA"A)二 ntr(A_A)二 nrank (AA)二 nra
4、nk(A)例3设2,，：F(m 1)是v的m个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合Spanq, ： 2,i =1是v的一个子空间，称为由:/ , /m生成的子空间若记 A = (： 1,： 2, ： m) R0 m，则"(A) = Span：-：*，爲2二m；由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量1，2，im，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说Spa“：，是V的一个子空间 注：容易证明(1) dim "(A)二 rank (A)。 J(A)bl，特别若 bj, j =1,2/ ,l 可表示为mm的线性组合，则U A)= ' (A B)。定理2设W是
5、Vn的一个m维子空间，12,m是W的一个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。证明若m=n，则定理已成立。若 m ： n ,则Vn中必存在一个向量:'m 1不能由，m线性表出，从而1,2,* m, 线性无关。如果m 1二n，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过n-m次，则可得到Vn内n-m个线性无关的向量，使 1U Cmm1,"n 为 V 的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交(W W2 )，和(W| W2 )等 运算，对它们有如下定理。定理3设W|,W2是线性空间V的子空间，则有(1) W 与W2的交集 W W2=】|xww且:；邛2】是V的子 空间，称为Wi与W
6、2的交空间。(2) W| 与 W2 的和 W| W2 = J I ： = ： 1 ： 2 , ：1 W|, ： 2 W 是V的子空间，称为W|与W2的和空间。证明(1)由0W,0W2,可知W2,因而W, W?是非空的. 其次，如果 W W2 ,即 W1而且：/ ：z W2 ,因此 -亠；三w ，"亠r；三Wz ,因此二亠；e w1 w2 .同样,由 k：Wk：W2,知k：W|W2.因此 W|W2是V的子空间.(2)由定义W1 W V ,而且非空.- W W2 ,则有:Wi,i =1, 2.:-：=亠很21-'1'2 = (-1 ”1)(、*-2 I' 2),k
7、：二 k_* k： 2,因 Wj 是子空间,贝U :t ：三 W|, ： 2： 2 三 W2, k：三 W| ,k： 2 W2,所以用 ' - W1 W2, kW, W2,即W1 W2是V的子空间.子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4 (维数定理)设W,和W2是线性空间V的两个子空间，则有dimW1+dimW2 = dim(W1 W2)+dim(W, W2)(1)证明设 dim(W, Gw2) =r , dim W,=s,dim W2=s2,WW?基为1,2,i,r，由定理2知，它们可分别扩充为：W的基：j2,r, ”1,，飞，W2 的基：j,2,，d r 1,s,，
8、则W1 = Spa1,： 2,，: r,1,，飞 W2 = Span1 1,： 2,，: r, r 1, S2 ；，W1 W2 二 Spa1,： 2, ,： r,1, ，-S1, r-1/'，/.下面证明1,2,_ ,r,1,，飞，r 1,，s,为线性无关组。任取数ki, pi, qi,使rsi9、ki ' p、qj i =0.i z!i 1i zF 1因为所以从而有即由:'1,Pi =0,i =而：'1/'2,故Si八 Pi ' ii =r 1rS2八qi i，Vi=r 1Sl- ' Pi L WW2.i =r -1r二' n-
9、 i,iTrsi_' nj ' Pi= 0.i di =r 12r,1,_，飞是W|的基,线性无关,故 r 1 ,3.代入式,得rs2x ki- 二qii =0,iWin1,r, r1,，s2是W2的基,于是ki =0(i =1, 2,r), qi =0(r 1, 0),1,2,r,1,，飞，1,S2线性无关，dim (W1 W2) = r (S1 - r) (S2 - r) = &S2 - r,定理得证.从(1)式知，若Wi W2,则有 dim(W+W2)vdimW1+dimW2,这时.*三 W|W2, ： =x1x2,x "W,i= 1,2,其表达式中x1
10、 与 x2不是唯一的例如Wi= Span« 02 >,W2=Span«<0Jl32 = WJW2，©即W| W2 10 l。这时0 W| W2可有两种表达式o = o 0和0= 1 0 02 2 0T-3 2 0 T.例4设R3中的两个子空间是丨SW = Spa n*% = 1 02P2 =311。l-Vl求W1 W2及W1 W2的基和维数。解W1 W2 = Span<1 / 2, : 1, ：2匚由于：1 =1 *22且:'1/'2, ：2线性无关，故W1W2的一个基为:'1/'2, -2，其维数 dim(W 她
11、)=3。由维数定理知dim阿 WJ = dim(W) dim(WJ- dim阿 W,)=2+2-3=1根据：=：込七，得到r -池二-y ： 2 =(0,2,1)丁 =o w, w2,从而(0,2,1)t为W, W2的一个基，其维数dim(W W2)=1。三、直和子空间子空间的和Wi W2的定义仅表明，其中的任一向量:-可表示 为.釦川二2 ,二”三W,二2三W。但这种表示法不一定唯一。定义8设Wi,W2是线性空间V的两个子空间，如果Wi W2中 每个向量:-的分解式- - - '.：2,Wi,a W2是唯一的，则W, W2称为W,W2的直和，记为则二W2。定理5设W，W2是线性空间V
12、的两个子空间，则下面几条等价(1) Wi W2是直和； 0向量表示法唯一，即由0 = ：W, a W2)得： = ：, 2 = 0 ； Wi w?= d；(4) dim(WO dim(W2)=dim(W W2)证明采用轮转方式证明这些命题。(1)= (2)按定义，Wi W2内任一向量表示法唯一，因而 0的表示法当然唯-用反证法。若Wi W2 = 0,则有Wi W2,0，于是- Wi, _ W2。而0=4【( - -),这与零向量的表示是唯一的 假设矛盾。(3)=利用维数定理即得。二(1)由维数定理知dim( Wi W2)=0,即Wi W2 = d.对任一:W1 W2,如果G =口1 +c(2
13、=ai+口2( 口1,。1飞 Wi； a OS e W2)则有i = ： 2 -于是心-1 = ： 2 -、2 - W/l= *0,即叫二 0,匕- = 0 o这说明:j -1,2_2因而表示法唯一。定理证毕。定理6设g是Vn的一个子空间，则必存在 V的子空间W2 ,使w 二 W2 =vn。证明：设dim(W)=m,且r，：fm是W的一个基，根据定理2它可扩充为V的基:FTLmCmlLn，令W2 =Spanm1,，n ?,显然W2就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加 法和数量乘法进行的。与几何空间相比
14、，向量的度量性质如长度、 夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义 内积，导出内积空间的概念。定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的:J V，都有一个实数（）与之对应，且满足（1） （；）=（）；（：，）=（： ,） （,）；（3） （k：）（：）；（:，:）_ 0,当且仅当:=0 时（:，:）= 0 .则称（）为与一：的内积。定义了内积的实线性空间V称为内 积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。n例如，在Rn中，定义内积（x, y）二xT y - a xi yi。这时Rn成 im为内积空间。在内积空间Rn中，如果（x, y） = 0,则称x
15、与y正交，记为x _ y。设欧氏空间Rn中的基为S？,n，欧氏空间中有两个向nn量- ' Xi打，-7 yj，下面我们来计算J的内积。i 目j =17jJi A j丄G(a 1 ,a2，a n)='(ct 1 ,ct 1 )(a 2 , 1)(ct 1 ,a2)(ex 1 ,an)A (a 2 ,G 2)(a 2 ,G n )g n，口 1 )(an ,a2)(an0n)丿记nnn n(：,Xi： if yj： j)；二 Xi(： i，： j)yjX =X?y =y2，lXn Jy则有(：,)二XTG(： 1,： 2, / n)y注：（1）方阵G（：“，： 2，: n）称为向量
16、组仆2，n的Gram矩阵，或度量矩阵：-1/-2 - n线性无关的充要条件是GQiS，叫）式0。（3） GG 1, >2,，讣）对称正定。因为方阵 X=0,： =（： 1,： 2, ,： n）X =O,XTG（： 1,： 2, ,： n）X = （： ,： ） 0若n =1,则6（码）=|%|表示长度的平方；n=2时，则G12Kx«J2,表示面积的平方；n= 3,呢？（5）若12厂讣是规范正交基，则G（： 1,： 2, ，: n） = In，内积（，J=xTy o即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基nXi '%)Ct =瓦 Xi% =(&
17、#169;,' s)的坐标x =I-i A另外，在规范正交基: 1-2 :- n下向量的计算简单不需要解线性方程组就能得到Xj=1,，n,即n:-'(:，:i)： i i討设W是内积空间V的一个子空间。显然 W也是一个内积空 间。如果V的一个向量与W的每一个向量正交，则称与W正 交，记为_ W。对于V中的两个子空间 ww2，如果任取三W,z W，都有G , - H0，即_ 1 ,则称W与W是互相 正交的。记为Wi _W2。定义10设S为V中的子空间，记S- x I x _ S, x V容易证明S-也是线性空间，称为S的正交补空间。定理7设A为n k矩阵。记A-为满足条件AA-=
18、0且具有 最大秩的矩阵，则R(A-) = R-(A)证明设 x R(A-) : x=AV,t= Ax 二 A A0=zAx =0,= (Az) x = 0= x - Az= x RA)；反之,x R(A)= x_A z.z= (Az)x=0 二 zAx = O,z= Ax = O二 x = At, Tt二 x R(A).推论：R-(A) =R(A) =N(At) ; R(At) = N(A).证明：只证第一式，因为把第一式中的A看成A'即得第二式.由 x R-(A)二 x_R(A)二 x_At,t任意二(At)'x=O,t任意 二 t' A'x = 0,t任意二
19、 A' x = 0：= x ：- N (A').和x R(A-) =x = A*,引二 A'xuA'AuO二 xN(A'),证毕对于一个线性空间S,如果存在k个子空间0,，Sk，使得对 任意a S，可唯一地分解为a =旳 i +ak,aj亡S ,i = 1,2，,k , 则称S为，Sk的直和，记为二S2二二Sk，若进一步 假设，对任意的： Sj, ： j Sj ,i = j，有： i _j，则称S为Si,，Sk的正交直和，记为Si SSk，特别，R“二S S-，对于Rn中子空间S都成立。设 A=(AAk)L(Ai)叫Aj) = d,i = j,则(A)二
20、'(A)二二'(Ak);若进一步假设 AiAj =O,i = j,则容易 证明 4(A) =%A)+%Ak)。容易证明对于内积空间Rn的子空间S有下面的性质(1) S =(S);S1s2 = sSr；(Si S2)-= 3- S-;(Si S2)-= Si- S-定理8对任意矩阵A，恒有R(A)二R(AA)。证明显然R(AA) R(A),故只需证R(A) R(AA),事实上,对任给x_R(AA),有 xAA、O。右乘 x,得2xAAx =(Ax) (Ax) =|Ax =0,故 Ax = 0,即 x_ R(A).证毕.定理9设Anm，Hkm，则(1) S 二Ax: Hx =01
21、是R(A)的子空间；(2) dim(S) =rank g -rank (H ).VH丿证明第一结论的证明是简单的，现证(2) 0不妨设R(H ) =k,则存在k阶可逆矩阵Q，使得HQ = (Ik 0),于是:Hx =0U 20 x : (Ik 0)x =0,其中 U1 U2 二 AQ,=dim U2x(2) : x(2)任意 *，其中 x =x(1)Ix(2)丿(m-k)XI=ra nk (U2) =rank_ran k(Ik)= rank A -rank (H ).证毕.W丿推论证明设 R(A)DR(B)则 R(AB)二 R(A).因 rank(AB)二 dim R(AB)二 dim( R( A) R(B)= dim R(A) dim R(B) -dim(R(A) Cl R(B) = dim R( A) dim R(B)= rank (A) rank(B)又因为R(AB) .Ax,x二BY,t任意丄Ax,B xd，依定理9及假设条件，有rank(AB =rank” -rank(B)=rank(A:B)-rank(B)B丿二 Rank(A) =dim( J(A)但 R(AB-) R(A)，于是 R(AB-) =R(A)。证毕。