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1、第三章 三角恒等变换重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.新课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45°+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45°+)而提出这样的包含两角和的三角函数与、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化本节的研究课题进入课. 思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°
2、;=,cos30°=,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.提出问题请学生猜想cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现cos(-)=?细心观察C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中、角的取值范围如何
3、？如何正用、逆用、灵活运用C(-)公式进行求值计算？ 活动:问题,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(-)=cos-cos的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60°,=30°,则cos(-)=cos30°=,而cos-cos=cos60°-cos30°=,这一反例足以说明cos(-)cos-cos. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可. 问题,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里
4、涉及的是三角函数的问题,是-这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图11 / 7如图1,设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin.
5、 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且>,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2 问题,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-. 由向量数量积的定义有·=|·cos(-)=cos(-), 由向量数量积的坐标表示有 ·=(cos,sin)(cos,sin)=co
6、scos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0-,以上结论才正确,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2),使cos=cos(-),若0,则·=cos=cos(-).若,2,则2-0,且·=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-) 此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间
7、的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(-).有了公式C(-)以后,我们只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 问题,教师引导学生细心观察公式C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 问题,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,
8、特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公
9、式C(-)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°sin60°sin45°=× 变式训练1.不查表求sin75°,sin15&
10、#176;的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=sin15°=.2.不查表求值:cos110°cos20°sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(-)的值,
11、必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.从已知条件看,还少cos与sin的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角、所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 变式训练已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:当,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.当(0,)时,且sin
12、=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin=例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°sin15°sin105°(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15&#
13、176;再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C(-)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究、+、之间的关系,
14、也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到=(+)-的关系式,然后利用公式C(-)求值即可.但还应提醒学生注意由、的取值范围求出+的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(+)的符号进而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 变式训练1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=cos15°+sin15°)=(cos45°cos15°+sin45°sin15°)=cos(4
15、5°-15°)= cos30°=.2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 3.已知锐角、满足cos=,tan(-)=,求cos.解:为锐角,且cos=,得sin=.又0<<,0<<,-<-<.又tan(-)= <0,cos(-)=.从而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=×=. -温馨提示：如不慎侵犯了您的权益，可联系文库删除处理，感谢您的关注！