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1、精品文档1.dxduu + ydu所以于盘_1）1+护/ir1+e7al丿I y丿一.求解下列微分方程:妙二0一二队x =用令丁.（将y看成自变量）精品文档7+71+h .空：r ,du =.r ,du u - 2ii -1£4 + x = rdx w2 +2zj -1du 2a u Idx 2?+汕一1£? + 2fi-lu2 + 2u-, dx-y5du 二 _ U+Z/ + 1Xdxu + _所以c = 0. R得到、II,/,即一.Rg.由7(1)二7得讥 1)二-1二.求解下列微分方程:1.Jl + xblin 2y = 2x 曲卩 +阿解.令-|，：7'
2、:,：7.得到2xJl +r/二 2xu + e为一阶线性方程解得 u = (c+ln |z + Jl + 卡 I).c +ln | x + Jl + F I).2.(x-2xy-y2)dy+y2dx = 0解.= 1+原方程可化为】1；.X = 1,为一阶线性方程（y为自变量，x为因变量）.3. In xfflfl+cosy(l-xcos>) = 0 解.令-则原方程化为-'xln x+“(l-期)=0I UI?_ 空 +二.：ji ；.丄,为贝奴利方程.-u'1112- + * =;一,-二.；乂厶.1 , , 1 1令 匚：，则 J 方程化为，为一阶线性方程(x+d
3、 1z =解得L1 .即i I - , I ' 11 - /二： 三.求解下列微分方程：1. /血+(x”-2y)砂=0解./必+汐妙-2亦二0于是-' '1-1 '.所以方程解为"1 ：:2.必+xdx + dy+ j dxJdy = O解.1： 1一一 dx一. dy设函数-.'满足止.du1dx += arcsin + 卩(»)A所以'；，.：-于是门二二-1 2. x-x +y +arcsin -c 所以原方程的解为 ".3.解.由原方程可得' - .i：' '- /1如營单=0得到
4、I ?'.于是原方程解为 - ' r ' .7,四求解下列微分方程：1. -：工解.令-, 得到_ I m(1XuU -X-1 畫-1为一阶线性方程解得u = (x - 1) X -ln(x _ 1) +c (兀-1丿.即J - I r -.：二-|2. 叮解.该方程为贝奴利方程.砂Ft/ = / .令八二蜕 -5y=w',u'-u - -5/u -+? X，)x.解得2五.设''在实轴上连续/山存在,且具有性质 ：- VI，试求出解.聊(0+0)二肖(0)弹(0),啊(0)二越，(0),炉(0) = 0,0(0)二1i)匚;J 二:对于
5、任何X有J所以T(x) = lim v(x+Ax)=讥力 lim 呎Ax)=呎x)呎0) = 0 姑今0所以".ii) mi巩枫叭x)-巩0)申(k+Ax) -岁(x) _肌x防(&)-岁何_讥x)(加)-1)AxAjAj上式令心 I',得到”'(x)二机炖(0)k(o)= 1解得小 六.求解下列方程：ydx + (y-x)dy = 0i. W) = 1解.可得乩1)=°.这是以y为自变量的一阶线性方程 解得:!.;. - 11,:1. 所以得解；-/ -.'.卜(”+1) +诚工+刃=02卜严dx _ dux sin uln-=ln(csc
6、 u - coti)xCSC - cot22r1解为=csc(x+,y)-cot(x+2x七.求解下列方程：1.解.yl=P,y''=字.所以7宀11dp _ dx才+T+?arctaup =-arctan x+c所以p + x二 tan 亡二 gp + x 二1-px1dy _ c-x _1 _ +£+1于是dx l+¥勺(1 +卯)f 1£+1 dy =-+ 1dx,二二.1 讦+h .y = - x+ 2 In l + ®x|+c解为55解.卫+诃 dx'-P =：0dp P2一= P二',1 妙 1 11一 =-i
7、 p dx x p1 =n, 令:则八1V于是得到-u'-1-U -X=-1 xZ+h 二 1为U对于x的一阶线性方程1C1U -解得二一兀T2=二， -,得 c ="二一X=0. _1 11二 一 XP 2 ,=-X2, y = 21nx+c.应）二 2,解得2 2-21112尸 21nx+2-21n2 = ln（即+2 所以一|2yw）2=?3. xo）= 2,y（o）= i八対则；/*空解.令川即字+P，二y得到.du2u = y令一L1',得到；为关于y的一阶线性方程且p = U解得 = u=（0）-1+山曲=2-1+c/2所以-二,6=0于是“:-,7/-1
8、,2厂1 二 ±x+“,Jy-1 = ±-+,W2 2:.-,得到41- , 得解&-1 二 ±*+1八.求解下列微分方程：1.产+产+ 2八+2艸+卅尸0解.特征方程.丨 丁 _ H（久+ 1）（才+护二0于是得解 .一厂-'I|y4J-5y+ioy-6 = o2. Uo）= ty（o）= 0"（o）= 6,y"（：o>-14解.特征方程 1 -52? +102-6 = 0,（2T）（久+ 3）（力-22 + 2） = 0:i1 = ",卄=<.11丄：得通解为1Cii 得到.-,得特解y = -&
9、;24-ecos x + sin x）九.求解下列微分方程：1. y"'+y = x-3sm2x + 2cosx解.特征方程. 1 - 11,二齐次方程通解厂 m 匸二, 1Vi =x非齐次方程特解：.-:1”+1sin 2兀二?in 2x 二- sin 2x-4 + 11D2+2 cos x考察1 . . 1 丙常=对(D+F+1匚时页五1 =J 1ZJ 2i + Z?2d* 占(* + 才)1 二 2扌"丄丄二= (cosx+ism x)(_M)D2i所以=_2cosx = xsmx3 D2+l所以通解为.' -v 丨：:：'.:yl +尹=2x
10、 +4 sin x2.y(0) = ”(0) = 0解.特征方程.丫:,.二1D2+2D+2X匕-1)齐次方程特解' '': ' ' _y - 2x5" = 2X x= 2非齐次方程通解一、H_-'八= -= -54sin x = -2icos x 2+1(计算方法同上题1丿取-的虚部)所以' 1 工.' +川一厂:由；屮二；二二U可得"i - Li_ _得解丁 一： ' 1 'T- ' ' -. I .3. yww=解.特征方程I-", 二尸6+卯)严i) - ：才=产二严一-1二丄F严(D + 2)3(D-2+2)；2ii) 一：J所以(D+2 乙+ 2尸© +eax)e"ar +(Cj +c3x)e2lf +13+2尸1 J尹2a =1解得：-'J'；：