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1、精品文档不定积分一、不定积分1、原函数设在迅刃上连気 在血 引內具有一阶和二阶导埶 则（1）若在念 刃內，尸n则/在g引上的图形基凹的； 若在（选刃丙，r（x）oT则/（H）在山 刃上的图形是凸的.连缠曲牡凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点学u定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：（1）求函数的二阶导数fx） 令解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点， 对步骤中求出的军f 点，检查其邻近左、右两侧rw的符号，确定曲线的凹凸区间和 拐点.二、换元积分法1、第一换元法（凑微分法）（1）直接凑要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的
2、，就用直接凑。特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式【注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是x，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。（2）间接凑间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分，再凑公式。特点：被积函数中含有导数关系。2、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（1）根式换元特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁三、分部积分法分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积
3、函数是两个函数的乘积，而又没有导数关 系时，考虑分部积分法。1、分部积分法原则分部积分法实质上就是求两函数乘积的导勲或微分）的逆运算*N U”的确定原则从上面例子可以看出，収”的确定是进行分部积分的关键，一囲青况下有以下法则:指三删反 前为討后为20【注】（1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。（2）有时通过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分定积分一、定积分的概念一一（本质是和式的极限）设/在M上上有界，经过大化小-（2）常代变（3）近f渊I <4）取极限得到打（如十忸和©）5,、积分上限函数的导数变上限积分
4、主要考查它的求导性质，考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导，主要的考查题型是：直接给一个变限积分，进行求导；定积分求导；含有变限积分的极限问题。定璽 如果函数农动在区间由刃上连续.贝U函数念3门了丘在自厨上具有导数，并且它的 导数叛 3 = | f（）dt = 了（a<Kir）dx ”呃三、牛顿亠毓茨公式定理如果函数尸3是连续函数巩方在区间g罚上的一个原函数”贝II况如=陀A陀）=刃f-龙匕公式称为牛顿-供布尼茨公式，也称为微积分基本公式，结论=根据牛一茨公式力曲F（b）-F（a）=F（x用,计算定积分就是计算不定积分， 区别在于不定积分加常数C眉只分姗只分区间,定积分的计算方法和不定
5、积分的计算方法没有什 么区别，只需要注意积分限的变化。四、第一换元法（凑微分法）（积分上下限可保持不变）定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。（1）直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）（2）间接凑（先凑微分，再凑公式）（被积函数中含有导数关系）五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（注意积分上下限的变化）（1）根式换元特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁【注】（1）由于换元中积分变量发生了变化，所以其对应的积分上下限也会发生变化，定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化；(2)定积分的计算不需要回代。六、定积分
6、的分部积分法jud :-卜创 或 i肘必=皿刃：一 | vuN *定积分的分部积分法主要是用未计算两个函数乘积的定积分计算过程和不定积分的分部积分没 有什么大的区别，只堤要注意积分过程中得至啲每一韶分都有积分上下卷七：利用葩的奇偶性计算利用函数的奇偶性计算定积分是一木幣殊的计算定积分的方法，F常见于填空和选择题，做题吋主要是注竜其使用条件和结论。【注】积分区间龙须关于原点沛益(2)被积函数充©必须具有奇偶性。A.无穷区间上的广义积分的概念(1)无穷区间邑心)上的广义积分的定义:r/(x)dx = lim fx)dx.-a如 y(2)无穷区间(Y0”刃上的广义积分的定义:(3)I f(
7、x)dx= lim | f(x)dx » w盘一9 4无穷区间(YO, g)上的广义积分的定义：ry(x) lim I *力必+ lini &(X旳无穷区间上的广义积分是积分学中的一种特殊情况 往年考查较少，掌握时主要侧重计算简单函数的广义积分艮两L解8路:其定义就是计算方法:先扌酥分中的无穷换作常埶计算一个删分，然后令常数Too(+OQ、-8),取极限艮卩可°定积分的应用一、平面图形的面积计算 上下结构的平面图形的面积:D； y=f (动、y=f (r)x1F彳y =:八15L/|W八/:11ab型法则： 瞬函数上减下”积分区间看左右” 步橐(1)画图：确定在疋轴上的投影区间：atb,确定上下曲銭；fA (小 人(x)j计算积分：E二口几(力-人幽。左结构的平面图形的面积：D： x= 3、於 ®、y=(k y=caS二右0)-纶O)妙*法则：被积函数右减左，积分区间看上下步骤(1)画图；确定在F轴上的投影区间：G刃:确定左右曲线：沪*3*计算积分：s =右0)- % 0)莎o 临症转体的体积为：$=竝/0)必 注：求#£转体的休积 关键在于确定辺绿曲外=/伙).其实就是与JE转轴相歸的那条雌。精品文档