1、2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（理科）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分考试时间120分钟注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：样本数据x1，x2， ，xn的
2、标准差 锥体体积公式s= V=Sh其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=Sh ，其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡相应位置1下列函数中，为奇函数的是（ ）Ay=x+1 By=x2 Cy=2x Dy=x|x|2已知，复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3若a0，b0，a+b=1，则的最小值
3、是( )A2 B3 C4 D5 4函数图象的一条对称轴方程为（ ）AxBCxDx5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）A B C1 D6阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的可以是（）Ai4？ Bi5？ Ci6？ Di7？7若直线y=kxk交抛物线于A，B两点，且线段AB中点到轴的距离为3，则=（ ）A12 B10 C8 D68学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A20种
4、B24种 C26种D30种9常用以下方法求函数的导数：先两边同取以e为底的对数（e271828，为自然对数的底数）得，再两边同时求导，得，即运用此方法可以求函数(x0)的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( ) A B C D 10如图，所在平面上的点均满足与的面积比为3；1，（其中，是首项为1的正项数列），则等于（ ）A65 B63 C33 D31第卷（非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填写在答题卡的相应位置11集合，则_12某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)的统计资料如下表：6810122356根据上表数据可得y与x
5、之间的线性回归方程，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元13向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 14已知圆和双曲线若对双曲线上任意一点A（点A在圆外），均存在与圆外切且顶点都在双曲线上的菱形ABCD，则_15定义：表示不超过的最大整数例如，给出下列结论：函数是奇函数；函数是周期为的周期函数；函数不存在零点；函数的值域是其中正确的是_（填上所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 把答案填在答题卡相应位置16本小题满分13分已知数列an的首项为1，前n项和Sn满足（）求Sn与数列an的通项公式；（
6、设（nN*），求使不等式成立的最小正整数n17本小题满分13分已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：01010（）请直接写出处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；（）的内角所对的边分别为，已知，求的面积18本小题满分13分甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲8381937978848894乙8789897774788898（I）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（II）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问
7、题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由19本小题满分13分如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于）到ABEF的位置()求证:CE/平面ADF；()若K为线段BE上异于B,E的点，CE=设直线AK与平面BDF所成角为,当时,求BK的取值范围20本小题满
8、分13分如图，椭圆C：的离心率e =，且椭圆C的首项为的短轴长为2（）求椭圆C的方程；（）设P，M，N椭圆C上的三个动点（i）若直线MN过点D（0，），且P点是椭圆C的上顶点，求PMN面积的最大值；（ii）试探究：是否存在PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由21本小题满分14分已知函数f(x)=lnx+ax2+b（a，bR）（）若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=1，求函数f(x)的单调区间；（）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f(x)在区间(m，+)上不单调；（）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x10）是曲线f(x)上的两点，
9、试探究：当a1时，an=SnSn1=n2(n1)2 =2n1因为也符合上式，所以an=2n16分（）由（）知，8分所以 ，10分由，解得n1212分所以使不等式成立的最小正整数为1313分17本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分13分解：（）处应填入1 分3分4分因为T=，所以，即5分因为，所以，所以，从而得到的值域为7 分（）因为，又所以，得，9分由余弦定理得，即，所以11分所以的面积 13 分18本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能
10、力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想满分13分解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、， 2分， 4分因为，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加 5分（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=, P(D)=,且事件C与事件D相互独立 6分记甲按AB顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0,100,400P(=0)=P()=,P(=100)=P()=,P(=400)=P()=即的分布列为：0100400P所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望9分记甲按BA顺序获得奖品价
11、值为，则的可能取值为0,300,400P(=0)=P()=,P(=300)=P()=,P(=400)=P()=，即的分布列为：0300400P所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望12分因为，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高13分19本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想满分13分()证明：正方形ABCD中，CDBA，正方形ABEF中，EFBA2分EFCD，四边形EFDC为平行四边形，CE/DF3分又DF平面ADF，CE平面ADF，CE/平面ADF 5分
12、 ()解：BE=BC=2，CE=，BCE为直角三角形，BEBC，6分又BEBA，BCBA=B，BC、BA平面ABCD，BE平面ABCD 7分以B为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为由，得可取， 9分又，于是sin=，即11分结合，解得，即BK的取值范围为（0， 13分20本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想满分14
13、分解：（）由题意得解得a=2，b=1，3分所以椭圆方程为3分（）（i）解法一：由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2）由得(1+4k2)x24kx3=0，所以，又5分所以SPMN=|PD|x1x2|=6分7分令t=，则t，所以SPMN=，8分令h(t)=，t，+),则0，所以h(t)在)单调递增，则t=，即k=0时，h(t)的最小值，为h(）=，所以PMN面积的最大值为9分解法二：由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2）由得(1+4k2)x24kx3=0，所以5分所以|MN|点P（0，1）到直线MN
14、的距离d=6分所以SPMN=|MN|d=7分以下同解法一（ii）假设存在PMN是以O为中心的等边三角形（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上又O为PMN的中心，所以，可知从而|MN|=，|PM|=，|MN|PM|，与PMN为等边三角形矛盾（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|PM|，与PMN为等边三角形矛盾10分（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=，又O为的中心，则，可知设M（x1，y1），N（x2，y2），则，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kMN=，11分从而kMN=12分所以kOP
15、kMN=（）= 1，所以OP与MN不垂直，与等边PMN矛盾13分综上所述，不存在PMN是以O为中心的等边三角形14分21本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分解：（）由已知得解得 2分此时，（x0）令，得，f(x)，的变化情况如下表：x(0，1)1（1，+）+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+） 4分（）（x0）（1）当a0时，恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，不合题意，舍去5分（2）当am，即 所
16、以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f(x)在区间(m，+)上不单调 8分（）存在实数x0（x1，x2），使直线AB的斜率等于 9分证明如下：令g(x)=lnxx+1（x0），则，易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)0，从而得lnxx1 （*） 10分由，得 11分令，则p(x)，q(x)在区间x1，x2上单调递增且，结合（*）式可得，令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间x1，x2上单调递增，且h(x1)0， 13分所以函数h(x)在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，即成立，从而命题成立 14分（注：在（）中，未计算b的值不扣分）- 20 -
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