1、2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分考试时间120分钟注意事项: 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时,将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用O5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回参考公式:样本数据x1,x2, ,xn的
2、标准差 锥体体积公式s= V=Sh其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=Sh ,其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径 第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡相应位置1下列函数中,为奇函数的是( )Ay=x+1 By=x2 Cy=2x Dy=x|x|2已知,复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为M,则“”是“点M在第四象限”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3若a0,b0,a+b=1,则的最小值
3、是( )A2 B3 C4 D5 4函数图象的一条对称轴方程为( )AxBCxDx5某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则其侧视图的面积是( )A B C1 D6阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的的值等于126,则判断框中的可以是()Ai4? Bi5? Ci6? Di7?7若直线y=kxk交抛物线于A,B两点,且线段AB中点到轴的距离为3,则=( )A12 B10 C8 D68学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级,其中甲班级至少分配2个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,则不同的分配方案共有( )A20种
4、B24种 C26种D30种9常用以下方法求函数的导数:先两边同取以e为底的对数(e271828,为自然对数的底数)得,再两边同时求导,得,即运用此方法可以求函数(x0)的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( ) A B C D 10如图,所在平面上的点均满足与的面积比为3;1,(其中,是首项为1的正项数列),则等于( )A65 B63 C33 D31第卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分把答案填写在答题卡的相应位置11集合,则_12某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)的统计资料如下表:6810122356根据上表数据可得y与x
5、之间的线性回归方程,据此模型估计,该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元13向区域内随机投点,则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 14已知圆和双曲线若对双曲线上任意一点A(点A在圆外),均存在与圆外切且顶点都在双曲线上的菱形ABCD,则_15定义:表示不超过的最大整数例如,给出下列结论:函数是奇函数;函数是周期为的周期函数;函数不存在零点;函数的值域是其中正确的是_(填上所有正确命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 把答案填在答题卡相应位置16本小题满分13分已知数列an的首项为1,前n项和Sn满足()求Sn与数列an的通项公式;(
6、设(nN*),求使不等式成立的最小正整数n17本小题满分13分已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:01010()请直接写出处应填的值,并求函数f(x)在区间上的值域;()的内角所对的边分别为,已知,求的面积18本小题满分13分甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化印象莆田”知识竞赛活动,进行针对性训练,近8次的训练成绩如下(单位:分):甲8381937978848894乙8789897774788898(I)依据上述数据,从平均水平和发挥的稳定程度考虑,你认为应派哪位选手参加?并说明理由;(II)本次竞赛设置A、B两问题,规定:问
7、题A的得分不低于80分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价值100元的奖品,问题B的得分不低于90分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价值300元的奖品答题顺序可自由选择,但答题失败则终止答题选手答题问题A,B成功与否互不影响,且以训练成绩作为样本,将样本频率视为概率,请问在(I)中被选中的选手应选择何种答题顺序,使获得的奖品价值更高?并说明理由19本小题满分13分如图,边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度(小于)到ABEF的位置()求证:CE/平面ADF;()若K为线段BE上异于B,E的点,CE=设直线AK与平面BDF所成角为,当时,求BK的取值范围20本小题满
8、分13分如图,椭圆C:的离心率e =,且椭圆C的首项为的短轴长为2()求椭圆C的方程;()设P,M,N椭圆C上的三个动点(i)若直线MN过点D(0,),且P点是椭圆C的上顶点,求PMN面积的最大值;(ii)试探究:是否存在PMN是以O为中心的等边三角形,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由21本小题满分14分已知函数f(x)=lnx+ax2+b(a,bR)()若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=1,求函数f(x)的单调区间;()求证:对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+)上不单调;()若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x2x10)是曲线f(x)上的两点,
9、试探究:当a1时,an=SnSn1=n2(n1)2 =2n1因为也符合上式,所以an=2n16分()由()知,8分所以 ,10分由,解得n1212分所以使不等式成立的最小正整数为1313分17本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想满分13分解:()处应填入1 分3分4分因为T=,所以,即5分因为,所以,所以,从而得到的值域为7 分()因为,又所以,得,9分由余弦定理得,即,所以11分所以的面积 13 分18本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能
10、力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想满分13分解:(I)记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、,方差分别为、, 2分, 4分因为,所以甲、乙两位选手的平均水平相当,但甲的发挥更稳定,故应派甲参加 5分(II)记事件C表示为“甲回答问题A成功”,事件D表示为“甲回答问题B成功”,则P(C)=, P(D)=,且事件C与事件D相互独立 6分记甲按AB顺序获得奖品价值为,则的可能取值为0,100,400P(=0)=P()=,P(=100)=P()=,P(=400)=P()=即的分布列为:0100400P所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望9分记甲按BA顺序获得奖品价
11、值为,则的可能取值为0,300,400P(=0)=P()=,P(=300)=P()=,P(=400)=P()=,即的分布列为:0300400P所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望12分因为,所以甲应选择AB的答题顺序,获得的奖品价值更高13分19本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想满分13分()证明:正方形ABCD中,CDBA,正方形ABEF中,EFBA2分EFCD,四边形EFDC为平行四边形,CE/DF3分又DF平面ADF,CE平面ADF,CE/平面ADF 5分
12、 ()解:BE=BC=2,CE=,BCE为直角三角形,BEBC,6分又BEBA,BCBA=B,BC、BA平面ABCD,BE平面ABCD 7分以B为原点,、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),F(0,2,2),A(0,2,0),设K(0,0,m),平面BDF的一个法向量为由,得可取, 9分又,于是sin=,即11分结合,解得,即BK的取值范围为(0, 13分20本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想满分14
13、分解:()由题意得解得a=2,b=1,3分所以椭圆方程为3分()(i)解法一:由已知,直线MN的斜率存在,设直线MN方程为y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2)由得(1+4k2)x24kx3=0,所以,又5分所以SPMN=|PD|x1x2|=6分7分令t=,则t,所以SPMN=,8分令h(t)=,t,+),则0,所以h(t)在)单调递增,则t=,即k=0时,h(t)的最小值,为h()=,所以PMN面积的最大值为9分解法二:由已知,直线MN的斜率存在,设直线MN方程为y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2)由得(1+4k2)x24kx3=0,所以5分所以|MN|点P(0,1)到直线MN
14、的距离d=6分所以SPMN=|MN|d=7分以下同解法一(ii)假设存在PMN是以O为中心的等边三角形(1)当P在y轴上时,P的坐标为(0,1),则M,N关于y轴对称,MN的中点Q在y轴上又O为PMN的中心,所以,可知从而|MN|=,|PM|=,|MN|PM|,与PMN为等边三角形矛盾(2)当P在x轴上时,同理可知,|MN|PM|,与PMN为等边三角形矛盾10分(3)当P不在坐标轴时,设P(x0,y0),MN的中点为Q,则kOP=,又O为的中心,则,可知设M(x1,y1),N(x2,y2),则,又x12+4y12=4,x22+4y22=4,两式相减得kMN=,11分从而kMN=12分所以kOP
15、kMN=()= 1,所以OP与MN不垂直,与等边PMN矛盾13分综上所述,不存在PMN是以O为中心的等边三角形14分21本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分解:()由已知得解得 2分此时,(x0)令,得,f(x),的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+) 4分()(x0)(1)当a0时,恒成立,此时,函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,不合题意,舍去5分(2)当am,即 所
16、以对任意给定的正数m,只须取满足的实数a,就能使得函数f(x)在区间(m,+)上不单调 8分()存在实数x0(x1,x2),使直线AB的斜率等于 9分证明如下:令g(x)=lnxx+1(x0),则,易得g(x)在x=1处取到最大值,且最大值g(1)=0,即g(x)0,从而得lnxx1 (*) 10分由,得 11分令,则p(x),q(x)在区间x1,x2上单调递增且,结合(*)式可得,令h(x)=p(x)+q(x),由以上证明可得,h(x)在区间x1,x2上单调递增,且h(x1)0, 13分所以函数h(x)在区间(x1,x2)上存在唯一的零点x0,即成立,从而命题成立 14分(注:在()中,未计算b的值不扣分)- 20 -