《大学数字信号处理办法讲义第12章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数字信号处理办法讲义第12章.ppt（55页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,12.5 关于线性预测的进一步讨论,上一节使用的AR模型等效于一个 p 阶的线性预测器。即Yule-Walker方程等效于Wiener-Hopf 方程。但估计的功率谱的分辨率不理想，其原因是仅用了前向预测，即,对同样一组数据，我们可以实现双向预测：,令：,可以得到使 最小的 及 。当然也可使用正交原理得：,可以证明：,前、后向预测对等关系,上述结果表明，使用已知的 p 个数据，我们可以实现前向预测，也可以实现后向预测，两种情况下可各自得到对等的Wiener-Hopf方程。将它们单独使用，所得分辨率都不理想。可以设想，如将二者结合起来，即同时使前向、后向预测误差功率为最小，应能得到更好的分辨率
2、。人们在线性预测方面进行了大量的研究。,前、后向预测误差序列有如下的关系：,上述关系引出了线性预测中的Lattice结构。这一结构在现代谱估计、语音信号处理中有着重要的应用。,上述的关系还是集总平均。对实际的信号：单个样本有限长，求均值要简化，对,取代,N点数据，前向预测误差序列范围,上三角+中间块+下三角：上、下加窗；,中间块：上、下不加窗；,中间块+上三角：下不加窗、上加窗；,中间块+下三角：上不加窗、下加窗；,12.6 AR模型系数求解算法,AR模型系数求解算法很多，人们目前仍在探讨新的求解算法。目前，常用的算法是： 1. 自相关法 2. Burg算法 3. 协方差(covariance
3、)方法； 4. 改进的协方差算法（modified ) , 又称：Marple 算法 5. 最大似然（Maximum Likelihood)估计,3. 递推算法：由 求 ，由 递推，还是直接由 递推,各算法之间的主要区别：,2. 仅用前向预测，还是前后向都预测？即 令 最小，还是 最小？,？,一、自相关法,令：,使用,使用前向预测,注意：矩阵 的结果，即是对有限长数据求出的自相关函数，因此，上式等效于：,自相关法的特点：,1. 只用前向预测，且 等效前、后加窗, 分辨率不好;,2. 用 ，得到的 是Toeplits阵，才可能用Levinson算法求解；,3. 实际上是我们前面讨论过的Yule-
4、Walker 方 程。方法最简单。,二、Burg算法,使用前、后向预测,令：,得到 的求解公式：,递推步骤,1、 令： 求出2、求 时的参数3、求出 ，再求4、用Levinson算法，求 时的5、重复上述过程，直到,Burg算法：一个公认的较好的算法。,Burg 算法的特点：,2. 的选择保证前、后不加窗，即,3. 在每一级， 仅对 最小，然后套用自相关法的Levinson递推算法，影响分辨率；,4. 直接用数据递推，方法简单。,三、改进的协方差法Marple方法,同Burg算法,注意：这是Marple 算法和Burg算法的最大区别。Burg算法仅：,上述最小化的结果是得到一个协方差方程：,注
5、意：该矩阵不是Toeplitz矩阵，因此不能用Levinson算法求解。Marple于1983年给出的求解上式的快速递归算法。所以，该算法称作“改进的协方差法，或Marple算法。该算法的估计性能最好，但计算复杂。,（e）Burg算法 Burg算法,（g）Marple算法 Marple算法,12.7 MA模型,再推导一步，有：,从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型用于谱估计无优势。但，MA模型： 1. 常用于系统辨识； 2. ARMA模型中包含了MA部分。,令其等效为 模型,求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱
6、分解、基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的方法。后者最好用，基础是Wold分解定理。,步骤：1、由 ,建立 得 ;2、对 建立 阶线性预测器，系数为 ,即建立两次AR模型。,12.8 ARMA(p,q)模型,ARMA模型的正则方程,对第二个式子，,可以先 求 ，然后再解第一个方程，求出 ；但这样做的效果不好，一是 的性能不好，二是第一个方程也不好求解。首先，建立一个超定方程（方程个数未知数）：,用求伪逆的方法可求出 ；注意，伪逆可用奇异值分解（SVD）的方法求解；求出 后，剩下的工作是求,2、用 对 滤波；3、 滤波输出 相当于一 MA（q) 过程，按 上节MA模型的求解方法，可求 出ARM
7、A(p,q)模型 的 参数。,ARMA 模型系数求解的方法：,1 先求出： ，它们可构成 ；,（a）MA(10) （b）MA(16) （c）ARMA(10,10) （d）ARMA(10,13),12.10 基于矩阵特征分解的功率谱估计,假定信号由 M 个复正弦加白噪声组成：,已知：,目标：1. 由该矩阵估计 个正弦信号的频率和幅度； 2. 估计信号 的功率谱；,定义：,为信号向量，它包含了 个复正弦，其频率和原信号的频率相同。,求解的关键是自相关矩阵的分解：,因为：,所以：,特征分解,构成的M维信号空间,构成的噪声空间,基于噪声子空间的频率估计和功率谱估计：,噪声空间只有一个特征向量,即：,方
8、法：,由 估计 ，由 构成 ，并假定 ；,2. 对 作特征分解，找最小的 ，及,3. 代入上式，解出： 实现了频率估计。,4. 由下式，求,按上述步骤，可求出正弦信号的参数 Pisarenko 谐波分解,若噪声空间向量不止一个，估计信号的频率，可应用谱估计的方法。,2. 若,EV(Eigenvector)方法,用特征分解求出的功率谱曲线,与本章内容有关的MATLAB文件：,1. pyulear.m 用AR模型的自相关法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pyulear(x, order, Nfft, Fs) 2. pburg.m 用AR模型的Burg算法估计信 号的功率谱，
9、其基本调用格式是： Px, F = pburg(x, order, Nfft, Fs),（一）、 有关功率谱估计的MATLAB文件,3. pcov.m 用AR模型方差方法估计信号的 功率谱，其基本调用格式是： Px, F = pcov(x, order, Nfft, Fs)4. pmcov.m 用AR模型的改进的方差方法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = pmcov(x, order, Nfft, Fs),5. pmem.m 最大熵功率谱估计，其估计 性能类似pyulear, 其基本调用格式是： Px, F = pmem(x, order, Nfft, Fs)6. pmusi
10、c.m 用自相关矩阵分解的MUSIC 算法估计信号的功率谱，其基本调用格 式是： Px, F = pmusic(x, order, Nfft, Fs),7. peig.m 用自相关矩阵分解的特征向量 法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = peig(x, order, Nfft, Fs), Px, F，V, E = peig(x, order, Nfft, Fs),x :信号向量，order:模型的阶次，Fs:抽样频率，Nfft:对x作FFT时的长度。Px:估计出的功率谱，F是频率轴坐标。对peig, 输出的E 是由自相关矩阵的特征值所组成的向量，V是由特征向量组成的矩阵。V的列
11、向量张成了噪声子空间，V的行数减去列数即是信号子空间的维数。,（二）有关AR模型参数估计的文件：包括：aryule, arburg, arcov 及 armcov。8. aryule.m 用自相关法(即Yule-Walker法)估 计AR模型的参数，其基本调用格式是： a, E = aryule(x, order), a, E，k = aryule(x, order),9. arburg.m 用Burg算法估计AR模型的参数， 其基本调用格式是： a, E = arburg(x, order) a, E，k = arburg(x, order)10. arcov.m 用方差方法估计AR模型的参
12、数， 其基本调用格式是： a, E = arcov(x, order),11. armcov.m 用改进的方差方法估计AR模型 的参数，其基本调用格式是： a, E = armcov(x, order) x ：信号向量；order：模型的阶次； a：AR模型系数向量； E：AR模型输入白噪声的功率，或order阶线 性预测器的最小预测误差。 k： 反射系数向量。,（三）有关线性预测的MATLAB文件 lpc ： 用来计算线性预测系数。 a=lpc(x, order); 其作用等同于 aryule； ac2poly ：由自相关函数求线性预测系数 a, E=ac2poly(R);14. Poly2ac： 由线性预测系数求自相关函数。 Rpoly2ac(a, E);,ac2rc 由自相关函数得到反射系数及。 k, R0=ac2rc(R);16 rc2ac 由反射系数及得到自相关函数。 Rrc2ac(k, R0);17 poly2rc 由线性预测系数得到反射系数 k=poly2rc(a), 或 k, R0=poly2rc(a, E);,