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1、正项级数敛散性的判别刘兵军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法， 通过典型例题的讲解， 使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判 断问题。一.常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。对于数列Ui,U2,上，Un,上，由此数列构成的表达式u1 u2 U3 ： Un 上qQ叫做无穷级数，简称级数，记为"un，即nV00、 Un =5 U2 U3 八亠山上,(1)n=J其中第n项Un叫做级数(1)的一般项。级数(1)
2、的前n项的和构成的数列Sn = U1U2 亠' 丄Un , n 二 1,2,3，上称为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。定义如果级数(1)的部分和数列Sn有极限，即存在常数S,使得lim Sn = S,则称级njpC数收敛，极限s称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项 un趋于零。二.正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。QOCO比较审敛法如果正项级数二Vn收敛，且满足Un乞Vn (n二1,2,3,-'“)，则工Un收敛;n
3、 =1nToOQO如果正项级数7 vn发散，且满足un - Vn(n =1,2,3，上)，则v un发散;0Vn是解题的关键。n Ta二 Vn。n dn吐比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数: ：'1几何级数7 aqn4和p-级数7 7常用来充当比较审敛法中的级数pnn n旳 1例1 证明级数厂是收敛的。n4 n +22 2 1 1 00 1证 由于n 2 n ,所以 p2，而级数2为P=2的p-级数且收敛，n +2 n心 n旳1故由比较审敛法，级数 a 是收敛的。心n + 2旳 2n例2 判别下列级数2的敛散性。n4 n + 2分析 这是一个典型的例题，通项冬是关
4、于n的一个有理分式。应注意分母和分n + 2子中n的最高幕次之差，通项为关于n的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为1,故应和p=1的p-级数.做比较。nA n1：.：21: : i一，而级数()与V 有相同的敛散性，即同时发nn4 3 n n4nQ n2n是收敛的。oO和' vnnj!oOVn发散，且满足Un - Vn (n二1,2,3，上)，则Un发散;n生n T1例3判别级数7 sin1的敛散性。n m n.1sin解 因为lim n -1，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。n护1则级数a Unn d如果正项级数有相同的敛散性。2n2n2>
5、;=2 2 2 2n 2 n n n 3散,故由比较审敛法，级数 J 2n二 n +2在例2中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。COoo比较审敛法的极限形式 设7 Un和V vn为两个正项级数，如果n 叫n 二1lim = l （0 ： I：；心）,n InnO0例4用比较审敛法的极限形式判别例3中的级数七的敛散性。n# n +2如果不用比较审敛法的极限形式，例3中的级数敛散性的判别较为困难。2nn2 22n解 因为lim " i厶=2，故由比较审敛法得知此级数收敛。oO比值审敛法 设正项级数7 Un的后项与前项的比
6、值的极限等于：n £则当T :1时级数收敛；T .1时级数发散。例5 判别级数11212 3102 103+ - + +A10的敛散性。解因为Un 1(n 1)!站山二硬故工一占型=叮，从而n! 10Un 1n 1lim = lim n匸unn厂n由比值审敛法可知级数发散。由例5易知，当级数的通项含有阶乘或 n出现在指数位置时, 其敛散性。般可用比值审敛法判别n2 n!nn的敛散性。分析此级数的通项n2 n!nn中既含有n的阶乘，又含有2n和nn，所以可用比值审敛法判断其敛散性。解因为un 2 n!，所以unn:Mn2 (n +1)! n=:n2 n!n 1(n 1)从而lim 也
7、<1，由比值审敛法可知，此级数收敛。“护 une当(3)中'等于1时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。可用其它方法判别其敛散性。oO根值审敛法设正项级数7 un的通项un的n次方根的极限等于?:n =1则当'<1时级数收敛；'1时级数发散。1 1例8证明级数1歹臣上收敛。分析当级数的通项中含有nn或类似的表达式时，通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。证因为n un = n 故由根值审敛法得知所给级数收敛。以上给出了正项级数的各种判别法。对于给定的正项级数，可以按照以下顺序对其敛散性进行判别：1.首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。2 .如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值 审敛法。3 .极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性。（完）