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1、初三数学知识点总结1. 一元二次方程的一般形式 : a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、 c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 .2.一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 .3.一元二次方程根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，=b2-
2、4ac叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题：0 <=>有两个不等的实根；=0 <=>有两个相等的实根；0 <=>无实根；0 <=>有两个实根（等或不等） .4.一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，如 0，有下列公式：(1) x1,2bb24ac； (2)x1 x 2b ，x 1 x2c .2aaa 5 当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题：( 以下等价关系要求会用公式x1x 2b ，x1x2c；=b2-4ac分析，不要求背记 )aa（ 1）两根互为相反数b = 0 且 0b = 0且 0
3、；a（ 2）两根互为倒数c =1 且0a = c且 0；a（ 3）只有一个零根c = 0 且b 0c = 0且 b0；aa（ 4）有两个零根c= 0 且b = 0c = 0且 b=0；aa（ 5）至少有一个零根c =0c=0 ；a（ 6）两根异号c 0a 、 c 异号；ac 0 且b 0（ 7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a 、c 异号且 a、 b 异号；aa（ 8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值c 0 且b 0a 、c 异号且 a、 b 同号；aa（ 9）有两个正根c 0， b 0 且0a、 c 同号， a 、b 异号且 0；aa（ 10）有两个负根c 0，b 0 且 0a、 c
4、同号， a 、 b 同号且 0.aa6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x 2)或 ax 2+bx+c= axbb 24acxbb 24ac .2a2a7求一元二次方程的公式：x2 - （ x1+x 2）x + x 1x2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1)第一年为a ,第二年为a(1+x) ,第三年为a(1+x) 2.（ 2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .9分式方程的解法：两边同乘最简(1)
5、去分母法验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0 .公分母1凑元，设元，（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0 .换元 .10. 二元二次方程组的解法：（ ）代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方程;1（ ）分解降次法方程组 中含有能分解为 （）（）0的方程;2(3)注意： (1)(2)0 应分组为( 1 )0( 2) 0(1 )0( 2 )0.(3)(4)0(3) 0(4) 0(4) 0 (3) 0 11几个常见转化：(1)22(x 1x 2 )22 x1 x；(x 1x 2 )2(x 1x 2 )24x 1x；x21(x12；x1x 222x 2)2x或x21( x12；x1
6、x 2(x1 x 2 ) 2(x 1x 2 ) 24 x1 x 2(x1x 2 )；x 2)2(x 1x 2 )2( x1x 2 ) 24x 1x 2( x1x 2 )x(2)x 1 x 221. 分类为 x 1x 22 和 x 1x 22；2.两边平方为（ x 1 x242）x14x1216(1)分类为x14和x14(3)( 或x 23x 23x 23x 22)；9( 2)两边平方一般不用 ,因为增加次数 .(4)如 x 1sin A ,x 2sin B且AB90时,由公式 sin 2 Acos 2 A1, cos Asin B可推出x 12x 221.注意隐含条件 : x 1 0,x 20
7、.(5) x1 , x 2 若为几何图形中线段长 时,可利用图形中的相等关 系 ( 例如几何定理，相似形 ,面积等式 , 公式 )推导出含有x 1 , x 2 的关系式 . 注意隐含条件: x 10,x 20.(6) 如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、 比例式、等积式等条件 , 可把它们转化为某些线段的比，并且 引入“ 辅助未知元 k”.(7) 方程个数等于未知数个 数时 , 一般可求出未知数的值 ; 方程个数比未知数个数 少一个时，一般求不出未知数的值 , 但总可求出任何两个未 知数的关系 .2 圆 1. 垂径定理及推论 :如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理，即
8、“垂径定理” “中径定理” “弧径定理” “中垂定理” .C平分优弧O过圆心E垂直于弦AB平分弦D平分劣弧2. 平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等 .ABOCD3. “角、弦、弧、距 ”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦” ； “等弦对等角” ；B“等角对等弧” ； “等弧对等角” ；EA“等弧对等弦” ；“等弦对等 ( 优，劣 ) 弧”；O“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦” .FCD几何表达式举例： CD 过圆心 CD AB AE=BEAC=BC AD=BD几何表达式举例： ABCD AC=BD几何表达式举例：(1) AOB=COD AB=CD(2) AB=CD AOB=COD
9、4圆周角定理及推论 :几何表达式举例：（ 1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（ 1） ACB=1 AOB（ 2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)2（ 3）“等弧对等角” “等角对等弧” ； （ 4）“直径对直角” “直角对直径” ； ( 如图 )（2） AB 是直径（ 5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.( 如 ACB=90°图 )（ 3） ACB=90°CCAOABDOBCBA AB 是直径（ 4） CD=AD=BD ABC是 Rt（1）（2）（3）（4）5圆内接四边形性质定理 :CB圆内接四边形的对角互补，并
10、且任何一个外角都等于它的内对角 .ADE6切线的判定与性质定理:如图：有三个元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理.（ 1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；O是 半 径（ 2）圆的切线垂直于经过切点的半径；B垂 直C（ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；A是 切 线（ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形 CDE =ABC C+ A =180 °几何表达式举例：（ 1） OC是半径 OC AB AB是切线（ 2） OC是半径 AB是切线 OC AB（ 3） 37切线长定理 :A从圆外一点引圆的两条切线，它们
11、的切线长相等；圆心和这一PO点的连线平分两条切线的夹角 .B8弦切角定理及其推论:（ 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（ 2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（ 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）DAF几何表达式举例： PA 、 PB是切线 PA=PB PO过圆心 APO = BPO几何表达式举例：（ 1） BD是切线， BC是弦 CBD = CAB（ 2） EF = AB ED， BC是切线CEBDA CBA = DEFBC9相交弦定理及其推论:（ 1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（ 2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是
12、它分直径所成的两条线段长的比例中项 .DCAPABOPCB10切割线定理及其推论:（ 1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（ 2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的几何表达式举例：（ 1） PA· PB=PC· PD（ 2） AB是直径 PC AB2 PC=PA·PB几何表达式举例：（ 1） PC是切线，PB是割线2 PC=PA·PB积相等 .BAAPCPC11关于两圆的性质定理:（ 1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.AAO
13、1O2O1O2B （ 1）12正多边形的有关计算:（ 1）中心角n，半径 R ， 边心距 rn，ND边长 an ，内角n ， 边数 n；Rn（ 2）有关计算在 RtAOC中进行 .ABD（ 2）On ErnnCBa n（ 2） PB、 PD是割线PA· PB=PC· PD几何表达式举例：（ 1） O1， O2 是圆心 O1O2 垂直平分 AB（ 2） 1 、2相切 O1 、 A、 O2 三点一线公式举例：(1)n=360 ；n(2)n1802n几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓
14、形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）4公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：OAB1. 有关的计算：（ 1）圆的周长 C=2 R；（2）弧长 L= n R ；（ 3）圆的面积 S= R2. 180（ 4）扇形面积n R 21AOB的面积 . （如图）S
15、扇形 =LR ；（ 5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOB±36022. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（ 1）圆柱的侧面积： S 圆柱侧 =2 rh ； (r: 底面半径； h: 圆柱高 )（ 2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 = 1 LR .（L=2 r ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）2四常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交d r ；直线与圆相切
16、d=r；直线与圆相离d r.5 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ）两圆外离d R+r；两圆外切d=R+r ； 两圆相交R-rd R+r；两圆内切d=R-r；两圆内含d R-r.6证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7 关于圆的常见辅助线：CCAOAOBBOOABACB已知弦构造 Rt .已知直径构造直角 .已知弦构造弦心距 .已知切线连半径，出垂直 .DDCAAOPAOPBDCOOBCBBCPPAD圆外角转化为圆周角 .圆内角转化为圆周角 .构造垂径定理 .构造相似形 .MMMMAA
17、DBAO2BAO 102CO2NO102ND0101ECNEN两圆外切，构造内公切两圆内切， 构造外公切线与两圆内切，构造外公切线两圆外切，构造内公切线与平行 .垂直 .与平行 .线与垂直 .5AC OEDB两圆同心， 作弦心距，可证得 AC=DB.AOPBC一切一割出相似 , 并且构造弦切角 .DECFHOAGB圆的外切四边形对边和相等.O补全半圆 .AABCCOAO102EPODBB两圆相交构造公共弦，连C结圆心构造中垂线 .PA、 PB 是切线，构造双相交弦出相似 .垂图形和全等 .BAADAEOEBCPDOBFCPC规则图形折叠出一对全两割出相似, 并且构造圆双垂出相似, 并且构造等，一对相似 .周角 .直角 .AAADOEOFODBCBDCCEB若 AD BC 都是切线，连等腰三角形底边上的的RtABC的内切圆半径：结 OA、 OB 可证 高必过内切圆的圆心r=a bc .AOB=180°，即 A、 O、B 三和切点 , 并构造相似形 .2点一线 .ABCACo1o2o2o1BAB= O O2( Rr) 2 .AB= O O2(R r )2 .1212ADACGMFCO DBPPAOBBDN E CPC 过圆心， PA 是切线，构O是圆心，等弧出平行和相似 .作 AN BC，可证出 :造GFAM .双垂、 Rt .BCAN6