《7.1.2弧度制及其与角度制的换算2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7.1.2弧度制及其与角度制的换算2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、7.1.2弧度制及其与角度制的换算课标要求素养要求1理解角度制与弧度制的概念，能对弧1借助单位圆建立弧度制的概念，体会度和角度进行正确的转换.引入弧度制的必要性，重点提升学生的2.体会引入弧度制的必要性，建立角的数学抽象素养.集合与实数集的一一对应关系.2应用弧度制下的弧长公式和扇形面积3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和公式解决相关问题，重点提升数学运算扇形面积公式.素养.课前预习教材知识探究摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度”摄氏度的发明者是安德斯摄尔修斯(Anders
2、 Celsius 17011744)，其结冰点是0 C,沸点为100 C .1714年德国人法勒海特(Fahre nheit)以水银为测温介质，制 成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“ 1”.按照华氏温标，贝沐的冰点为32，沸点为212华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中,多采用这种温标规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度华氏温度用字母F”表示.摄氏温度（C）和华氏温度（）之间的换算关系为
3、：华氏度与摄氏度的进率：华氏度（戸32+摄氏度CC） X 1.8,摄氏度C）=（华氏 度（）32）化8.问题1.温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？2 摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？3 今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？提示1弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.2可以，1°= rad，1 rad= 18°°.3 弧度书写方便简单.新知杭理1. 度量角的两种单位制 单位圆中长为1个单位的弧所对的圆心角就是 1弧度 的角角 度 制定义用度作为单位来度量角的
4、制度1度的角把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度， 记作 1°1 = 60', 1'= 60：弧度制定义以弧度为单位来度量角的制度1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.1弧度记作 1 rad2. 弧长公式在半径为r的圆中，若弧长为I的弧长所对的圆心角为 a rad.则 a-，由此得到 r1803.角度制与弧度制的换算牢记180 = n rad 1 rad=角度化弧度弧度化角度360° = 2n rad2n ra= 360°180°= n radn ra= 180 °。n1 =rad 0.017
5、45 rad1 rad8? ° 57.30 °n度数x 180=弧度数180 °弧度数X =度数 n4.扇形的弧长及面积公式牢记公式是解决数学问题的关键设扇形的半径为r，弧长为I， a0<a<2n为其圆心角，贝U度量单位类别a为角度制a为弧度制扇形的弧长, anI =180I = a 扇形的面积an2S=S=?l = 2 a 教材拓展补遗微判断1. 1弧度就是1 °勺圆心角所对的弧.（X ）提示1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角.2. “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.（V）3. 160°化为弧度制是|n rad&qu
6、ot;）4. 1 rad的角比1°勺角要大.（"）5. 扇形的半径为1 cm,圆心角为30°则扇形的弧长1 = r|M= 1 X30= 30.（x） 提示 扇形的弧长公式I = | o|r, a的单位为弧度.微训练1 .下列命题为假命题的是（）A .“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位1 1B. 1°的角是周角的360, 1 rad的角是周角的才冗C. 1 rad的角比1°勺角要大D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.答案 D2. 2 340转化为弧度为.n解析 2 340
7、X 180 13 n.答案 13 n33已知半径为1的扇形面积为8n则扇形的圆心角为 .13 n 13 n解析由S 2l ar2得3 2X aX 12,所以a才. 答案3n4.若0 5,则角B的终边在第限.解析2n 5与一5的终边相同，nT 2 n 5 0, 2，二2 5是第一象限角，则一 5也是第一象限角.答案一微思考对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如ank360° + 6(k Z), A 2k n+ 60°(k Z)等写法都是不规范的，应写为 a k 360°
8、+。n30°k Z)，p 2kn+3(k Z)】果冨且理i题辛&忻illll IIIIHIMIHtllEI题型一 角度与弧度的互化进行角度与弧度之间换算的桥梁是n=180°I例1】将下列角度与弧度进行互化：7 n 4(1)20 ° (2) 800° (3)乜；(4) 5冗.n n解(1)20 20X = 9；一800° 800 Xn _40180 9 n；77n 7n 180° 1272X 0 1054 41800一5尸一4我T = 144 规律方法角度制与弧度制互化的原则和方法n180 °(1) 原则：牢记180&
9、#176;= n rad充分利用1 °=祀0 rad和1 rad= 进行换算.n a(2) 方法：设一个角的弧度数为 a,角度数为n,则180=n【训练1】把112把In化成度.3化成弧度;225解 （1）112 °兀225 n 5 n =X =2 180 8.5 n 5 n 180(2)=一 石 X12 12题型二用弧度制表示区域角的集合在书写时，注意角度制与弧度制不能混用I例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内 的角的集合(不包括边界，如图).n2 n解(1)以 OA为终边的角为6 + 2knK Z)，以0B为终边的角为一§ +
10、 2knK Z)，2 nn所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为aE+2kn<<6+2kn kZ 终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是a2n+ 2kn«7n+ 2k n k Z 规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.写出区域边界作为终边时角的表示.用不等式表示区域范围内的角.按逆时针方向书写.【训练2 已知角 a 2 010.将a改写成 时2knk Z , 0W仟2n的形式，并指出a是第几象限的角；(2)在区间5n 0)上找出与a终边相同的角.n 67 n7 n解 (1)2 010 丄2 010X 180= 6 = 5X2 卄76,7 n
11、3 n又冗<6<"2，7 n - a与百终边相同，是第三象限的角.7n与a终边相同的角可以写成 尸百+ 2knK Z),又一 5 n y0,当 k= 3 时，尸一 29 n亠17当 k= 2 时，=6 n5当 k= 1 时，=6 n.题型三 扇形的弧长公式与面积公式的应用【例3】 已知扇形AOB的周长为10 cm.(1)若这个扇形的面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数；求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于半径r的二次函数.解 设扇形圆心角的弧度数为 &0<9<2冗)弧长为I，半径为r
12、，面积为S，l + 2r = 10，(1)依题意有11lr = 4,代入得r2 5r + 4 = 0,解得 r1= 1, r2= 4.当 r = 1 时，1 = 8 cm,此时，0= 8 rad>2 n,舍去；2 1当 r = 4 时，I = 2 cm,此时，0= 4=2 rad.由 I + 2r = 10得 I = 10-2r,1 1 2 S= qlr = 2(10 2r) = 5r r225 25=r 2 + 才(0<r<5).当r = 2时，S取得最大值25,5这时 1 = 10 2X 2= 5,5 5二=_= = 2 rad.r 52规律方法弧长公式及扇形面积公式的应
13、用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、 扇形面积公式 均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制. 一般地，在几何图形中研 究的角，其范围是(0, 2 n,)其次，利用a, I, R, S四个量“知二求二”代入公 式在求解的过程中要注意：(1) 看清角的度量制，选用相应的公式；(2) 扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常 转化为某个函数的最值问题.【训练3】(1)若一扇形的圆心角为72°半径为20 cm,则扇形的面积为()A. 40 n cmB . 80 n cmC. 40 cm2D. 80 cm2(2)一个扇
14、形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.2 n11 2 n(1)解析 T 72° =亏，二 S扇形=2ar= 25 % 202 =80 n (.答案 B解 设扇形的半径为R,弧长为l，则2R+1 = 4,、 1二I = 4 2R，根据扇形面积公式S= qlR，e1得 1= 2(4 2R) R， R= 1， .J = 2，二 a= R= 2 = 2，即扇形的圆心角为2 rad.核心素养:全提升一、素养落地1 通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.2. 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°= n ra”这一关系式.易知：度数Xrad=弧度数，
15、弧度数X =度数.180n3. 在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要 注意角的单位取弧度.二、素养训练1. 将一1 485化成a+ 2k n停a<2 n k Z）的形式是（）冗一4-A-c-410 n7冗解析 1 485 = 5X 360° + 315°化为a+ 2kn (匪亦2冗，k Z)的形式为 i0n 选 D.答案 D2 已知扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（）A扇形的圆心角大小不变B. 扇形的圆心角增大到原来的2倍C. 扇形的圆心角增大到原来的4倍D扇形的圆心角减小到原来的一半解析 设扇形原来的半径为r，弧长
16、为I，圆心角为a,变化后半径为2r，弧长为I 21 I、2I，圆心角为B,a= -， A2?=7 = a即扇形的圆心角大小不变.答案 A5 n3. 若a （0, n）且a与角一三终边相同，贝U a.解析罟二2 n-n，故a=；答案n4. 已知一个扇形的周长为 a,求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并 求这个最大值.解 设扇形的弧长为I，半径为r，圆心角为a面积为S.由已知，2r + I = a,即I = a 2r.二 S= 9 = 2（a 2r） = r2+ |rI r>0，I = a 2r>0，二 0<r<|，a2a2=r4 + 16.此时，I = a 2 *
17、|，Ia2 a = 2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 届课后作业巩同症玮基础达标一、选择题n1. 与 a 12+ 2knK Z）终边相同的角是（）11 n 23nA. 345°B. 375°C. pD.p解析因为k= 1， aa h+ 2 a 375，所以选B.答案 B2. 已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为3,则其面积为（）C. 9D. 12、 6 11解析设扇形的半径为R,由题意可得r= 3,贝U R= 2,扇形的面积S= qlR = 1X 6X 2= 6.答案 B3. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为（）A. s
18、in 22B.而C. 2sin 1D. tan 1解析故选B.答案n4.若扇形圆心角为3,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为B. 2 : 3C. 4 : 3D. 4 : 9解析 设扇形的半径为R,扇形内切圆半径为r，则R= r +r + 2r = 3r. n sin 6二S内切=n21S扇形=2 a2 1 n 21 n _ 2 3 2R = 2X 3X R2 = qx3X 9r2=2 冗r2二S内切：S扇形=2 : 3.答案 B5.下列表示中不正确的是（）A .终边在x轴上的角的集合是 a a= k n k ZnB. 终边在y轴上的角的集合是2+ kn k ZC. 终边在坐标轴上的角的集合是
19、 aa= kn, k ZnD. 终边在直线y=x上的角的集合是 aa= 4+ 2kn k Z1由图可知，弦长AB = 2,所以半径为 而，由弧长公式可得解析 终边在直线y=x上的角的集合应是 aa=n+ kn k Z.答案 D二、填空题3 n6. 若亍勺圆心角所对的弧长为3n则扇形半径长为.解析I=i a,二 r = a=4.a答案47. 已知a是第二象限角，且|a+ 2|<4,贝U a的集合是.n 解析 T a是第二象限角，+ 2knV aV n+ 2kn,k Z ,°.° | a+ 2|W 4,二6W aW 2,3冗当 k = 1 时，一2 V aV n,t n当
20、 k= o 时，2< a 2,当k为其它整数时，满足条件的角 a不存在.答案-竽-n U n，238. 如果一扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的.13111313解析 由于S= 尹，若1'= 3, R'=歹，贝U S'= ql'R'h勺x尹=护3答案4三、解答题9. 用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.解（1）阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 6|2kn-亍0<2kn+才，k Z.nn阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 qkn+ g< 0<kn+2，k Z.
21、10 .已知 ca= 1 690 ° 把a写成2kn+ Rk Z ,氏0, 2n 的形式;求9,使B与a终边相同，且庚(-4n 4n)25解 (1)1 690 =1 440 0+ 250° = 4X 360° + 250°= 4X2n+ 仏冗.25/ 9与a终边相同, 9 2k n+ 8冗(Z).口25又 9 ( 4 n 4 n, 4 n <2+ 花冗 <4n97<36< Z).二 k= 2,- 1, 0, 1.471125619的值疋一18冗，18 n 飞冗，屁冗.能力提升11.已知集合 A= x|2kn<x<2kn
22、+ n k Z，集合 B = x| 4<x<4，则 AG B解析如图所示,|1 亠-2ir -4-7T朴TT1 2v3 IT A A B= 4, n J 0, n )答案4, nJ0, n12.用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大 面积是多少？解 设扇形的圆心角为 a半径为r，面积为S,弧长为I，则有I + 2r = 30, l2=30 2r，从而 S= 2lr = (30 2r)r =+ 15r = r 2+ 4 (0 < r v 15).1515当半径 r =2 cm 时，1 = 30 2X = 15 (cm),扇形面积的最大值是cm2，
23、这时a= - = 2 rad.当扇形的圆心角为2 rad,半径为cm时，面积最大，为%5 cm2.创新猜想13.侈选题）下列命题正确的是（）nA. 60°化成弧度是3B.-10 、-g n化成度是600°C.-150化成弧度是一6 n23D. 6号是第四象限角解析nA选项，60 = 3，正确；B选项，-10-n= 600°,止确；C选项中-150=-n523150X雋=5冗，错误;D选项中23nn=4 n-6，为第四象限角，正确.故选ABD.答案ABD14.（多空题）如图所示，长为：3,宽为1的长方体形木块在桌面上作无滑动翻滚,n翻滚到第四次时被一铁块挡住，使木块底面与桌面所成角为 6，则点A走过的路程是 扇形ABA1的面积S为.*4h吊%A.卫%毎/ 、* *Jf'如>nBCD解析 在扇形ABA1中，圆心角恰为2，弧长h = ABX 3+ 1 冗;nn n n在扇形A1CA2中，圆心角也为2，弧长12=A1CX1X2= 2；在扇形A2DA3中，圆心角为n弧长 13= A2D X 3 =所以点A走过的路程为|1 + 12+ 13 =(9+ 2.3)66BA= '12+C. 3) 2 = 2.n/ ABA1 = 2，S= 2af= 2 n 22 =答案(9+ 2*3) n