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1、精品资料欢迎下载利用导数研究方程的根函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数f (x)ex , xR .( ) 求 f ( x) 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程 ;() 证明:曲线 y =f (x)与曲线 y1 x2x 1有唯一公共点 .2【答案】 解:( )f (x)的反函数 g(x)ln x , 则 y=g(x) 过点
2、(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .g' (x)1kg' (1)1 . 过点 (1,0) 的切线方程为 :y = x+ 1x1 x2( )证明曲线 y=f(x)与曲线 yx1有唯一公共点 , 过程如下 .2令 h(x)f (x)1 x2x 1 ex1 x 2x1, x R, 则22h'(x)exx的导数h' '( x)ex1,且h(0)，h'(0)，0因此 ,1, h' (x)00 ,h'' (0)当 x0时 h''( x)0y h'( x)单调递减 ;当 x0时h''
3、;( x)0yh'( x)单调递增y h'(x) h'(0)0, 所以 yh( x)在 R上单调递增，最多有一个零点 x0所以 , 曲线 y=f(x)与曲线 y1 x 2x 1只有唯一公共点 (0,1).(证毕 )a22、已知函数 f (x)x1R ,e 为自然对数的底数 ).x ( ae(1) 求函数 f (x) 的极值 ;(2)当的值时 , 若直线l : y kx 1与曲线yf ( x)没有公共点 , 求k的最大值 .a 1(1)fx1a,ex当 a0时 ,fx0 ,f x 为,上的增函数 , 所以函数 fx 无极值 .当 a 0 时 , 令 fx0 , 得 exa
4、 , x ln a .x,ln a, fx0; xln a, f x0 .所以 fx 在,ln a 上单调递减 , 在 ln a,上单调递增 ,故 fx 在 xln a 处取得极小值 , 且极小值为fln aln a , 无极大值 .精品资料欢迎下载综上 , 当 a0 时 , 函数 fx无极小值 ;当 a 0,fx在 xln a 处取得极小值 ln a , 无极大值 .(2) 当 a1时 ,f xx11x .e直线 l :ykx1与曲线 yfx没有公共点 ,等价于关于 x 的方程 kx1x11在 R 上没有实数解 , 即关于 x 的方程 :ex1k1 x(*)ex在 R 上没有实数解 .当 k
5、1时, 方程 (*)可化为10,在 R上没有实数解 .ex当 k1时, 方程 (*) 化为11xex .k令 g xxex , 则有 g x1 x ex .令 g x0, 得 x1,当 x 变化时 ,gx 的变化情况如下表 :x,111,gx0gx1e当 x1时 ,gx min1时 , g x, 同时当 x 趋于趋于,e从而 gx的取值范围为1.,e所以当11,1时 , 方程 (*) 无实数解 ,ke解得 k 的取值范围是1e,1 .综上 , 得 k 的最大值为 1.3、已知函数 f (x)1 x3(k1)x 2， g( x)1kx ，且 f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数323（ 1
6、）求实数 k 的取值范围；k 的取值范围（ 2）若函数 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点，求实数解：（ 1）由题意 f ( x) x2(k1) x f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数，精品资料欢迎下载 f ( x)x 2(k 1)x0 在区间 (2,) 上恒成立即 k 1x 恒成立，又 x2， k12，故 k1 k 的取值范围为 k 1（2）设 h( x)f ( x) g( x)x3(k1)x2kx1，h ( x) x2323(k 1) x k (x k )( x 1)令 h ( x)0 得 x k 或 x1 由（ 1）知 k1 ，当 k 1 时，当 k 1 时，x
7、(h ( x) h( x)h ( x) ( x1) 20 ， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意h(x) ， h ( x) 随 x 的变化情况如下表：, k)k( k,1)100极大值k 3k 21极小值(1,)k16232由于 k10，欲使 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，即方程h( x)0 有三个不同的实根，2k132kk10 ，即 (k1)( k 2，解得 k13故需2k 2) 0 22k 2623k0综上，所求 k 的取值范围为 k134、 已知函数xg xfxsin x 是区间fxln ea(a)是实数集 R上的奇函数，函数为常数 一 1，1 上的减函数(
8、I) 求a的值；(II)若 g xt2t 1 在x 一 1，1上恒成立，求 t 的取值范围( ) 讨论关于 x的方程 ln xx22exm 的根的个数。f (x)解：（ I ） f ( x)ln( exa) 是奇函数，则f (0) 0 恒成立 . ln( e0a) 0.e0a 1, a 0.（ II ）又g ( x) 在 1， 1 上单调递减，g( x)maxg(1)sin 1,只需sin1t 2t1,(t1)t 2sin 110(其中1)恒成立 . 令 h() (t1)t 2sin1 1(1),t10t1则t 2tsin 10t1 .t1t 2sin110,而 t 2tsin 10恒成立 ,
9、（ III）由（ I）知 f ( x)x,方程为 ln xx 22exm,x令f1( x)ln xf2 (x)x 2ex m ，1 ln x,2f1 (x)x 2，x精品资料欢迎下载当 x(0, e)时 , f 1 ( x)0,f1 (x)在 (0, e 上为增函数；xe,)时 , f1 ( x)0,f1 ( x)在 0, e) 上为减函数，当 xe时， f1 ( x) maxf1 ( e)1 . 而 f2 ( x)( xe) 2me2 ，e函数 f1 ( x) 、 f2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示，当 me21,即 me21时，方程无解 .当 me21,即 me21时，方程有一
10、个eeee根.当 me21 ,即 me21时，方程有两个根 .ee5、 .已知函数 f (x)ax sin x3 (aR), 且在 ,0,2上的最大值为3 ，22（ 1）求函数 f(x) 的解析式；(2)判断函数 f(x) 在（ 0， ）内的零点个数，并加以证明。（ I） f ( x)ax sin x33在 0, 上恒成立，且能取到等号222g ( x)x s i nx2a在 0, 上恒成立，且能取到等号22ag ( x) maxg ( x)sin xx cos x0yg ( x) 在 0, 上单调递增2()a1f ( x)x sin x32ag2223（ II ） f ( x)xsin xh
11、( x)f(x)sin xx cosx2当 x0, 时， f (x)0yf ( x) 在 (0, 上单调递增2332f (0) f ()0yf (x) 在 (0, 上有唯一零点2222当 x2, 时， h ( x)2cos xx sin x0f( x) 当 x , 上单调递减22f() f ()20存在唯一 x0(,) 使 f ( x0 )022f( x)02xx0 , f (x)0x0x得： f (x) 在 , x0 ) 上单调递增， ( x0 , 上单调递减2精品资料欢迎下载f ( )0, f ()3022得： x, x0 时， f ( x)0 ，2x x0 , 时， f ( x0 ) f
12、 ()0 ， yf ( x) 在 x0 , 上有唯一零点由得：函数f (x) 在 ( 0,) 内有两个零点。6、已知函数f (x)ax3bx2cx 在点 x0 处取得极小值 4，使其导数f '( x) 0 的 x 的取值范围为(1,3) ，求：（1） f (x) 的解析式；（2）若过点 P(1, m) 可作曲线 yf (x) 的三条切线，求实数m 的取值范围解：（ 1）由题意得：f '( x)3ax22bxc 3a(x 1)(x 3),( a0)在 (,1) 上 f '( x)0 ；在 (1,3) 上 f '(x)0 ；在 (3,) 上 f '( x)0
13、因此 f ( x) 在 x01处取得极小值4ab c， f '(1) 3a2bc0 ， f '(3)27a 6bc 0 4a1由联立得：b6， f (x)x36x29xc9（2）设切点 Q (t,f (t) ， yf (t)f , (t)( xt)y( 3t 212t9)( xt)(t 36t29t )(3t 212t9) xt(3t 212t 9)t (t 26t9)(3t 212t9) xt(2 t 26t) 过 (1,m)m(3t 212t9)(1)2t 36t2g(t )2t 32t212t9m0令 g '(t ) 6t 26t126( t2t2)0，求得： t
14、1,t2 ，方程 g(t )0 有三个根。需：g( 1)023 129m0m16g(2)01612249m0m11故：11m16；因此所求实数m 的范围为： (11,16)7、已知 f ( x)x3ax24x （ a 为常数）在 x2 时取得一个极值，（ 1）确定实数t 的取值范围，使函数f (x) 在区间 t,2 上是单调函数；（ 2）若经过点A（ 2， c）（ c8 ）可作曲线 yf (x) 的三条切线，求c 的取值范围解：（ 1）函数f ( x) 在 x2 时取得一个极值，且f( x)3x22ax4 ，f (2)12 4a40 ，a2f(x)3x24x4(3 x 2)( x 2) x2
15、或 x2 时， f ( x) 0, x2 或 x2 时， f ( x) 0, 2x 2 时，333f(x)0 ，f ( x) 在 (,2) 上都是增函数，在2使,2, 2 上是减函数32 ,2)3f (x) 在区间 t,2上是单调函数的t 的取值范围是 x32x23f ( x0 ) 3x02（2）由（ 1）知 f ( x)4x 设切点为 P( x0 , y0 ) ，则切线的斜率 k4x0 4 ，精品资料欢迎下载所以切线方程为：y ( x032x024x0)(3x024x04)(x x0 ) 将点 A(2, c) 代人上述方程，整理得：2x03 8x028x08 c 0 经过点 A(2, c)(c8) 可作曲线 yf ( x) 的三条切线， 方程 2x038x028x0 8 c0 有三个不同的实根设 g ( x0 )2x038x028x08 c ，则g (x0 )6x02 16x0 80 x02 或x02 ， g( x0 ) 在 (,2) 上单调递增， 在 (2, 2) 上单调递3332280减，在 (2,) 上单调递增，g极大 g( ) 0,c8 故3得：g极小g(2) 0,27