《《高等代数》下总复习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等代数》下总复习题.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载复习题计算题1. 化二次型 f ( x1 , x2 , x3 )2 x124x1 x24x1 x35x228x2 x35x32 为标准形，并求相应的线性替换和二次型的符号差 .用非退化的线性替换化实二次型x122 x1 x22x224x324 x2 x3 为标准型 .求实二次型 x1 x2 x3 x4.x2( n 1) x2n 的正惯性指数、符合差与 R 上的规范型 .2.判断二次型是否正定， x12x22x32x1 x2x1 x3 x2 x33. 用初等变换的方法求 A 1 , 其中：223012223A1-10A 114， A110 .- 121210121111111
2、2546求矩阵 X使X 022110，13X111021124.在R3中，求从标准基到1（），2（），3（）的1,2,11,5,60,2,1过渡矩阵 .求（1,0,0 ），（1,1,0 ），（1,1,1 ）到标准基的过渡矩阵 . 并求(2, 1,3)在这组基下的坐标 .在 P x3 中，求标准基到 2, 2 2 x, 2 2x 2x2 的过渡矩阵 .5.已知11212,22310,3122311111,21011,31304优秀学习资料欢迎下载V1 L( 1,2, 3 ),V2L (1 ,2 , 3 ) .求线性空间 V1V2 的维数与一组基 .6. 求 R2 2 的子空间 W=a ba, b
3、,cR的基和维数 .c 07. 在 P3 中， A( x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x3 , x1 ) ，A L (P3 ) ，求 A 在标准基下的矩阵 .2101103248. 求 A 的特征值与特征向量，其中 A 1210， A430， A202,123102423判断 A 是否可以对角化，可以对角化时，求出可逆矩阵X 和对角矩阵 .9. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 -1,1,2，求 2A2 A E 的特征值与行列式，并说明它的可逆性 .10.已知三阶矩阵 A 的特征值分别为1,2，-3，求 A 3A 2ERn 中，定义 (n11., )ia i bi ，求标准基的度
4、量矩阵 A.i 112.将欧氏空间 R3的基1 (1,0,0), 2(1,1,0), 3 (1,1,1) 化为标准正交基证明题1.设 A2A 6E 0 , 证明： A+3E,A-2E 都可逆并求其逆 .2.设矩阵 B 可逆， A,B 满足220都可逆AAB B, 证明 A和 A+B.3.证明： 1, (x 1), ( x1)( x2) 为线性空间 Px 3 的一组基 .4. 证明：如果 A,B 是正定矩阵，那么 A+B 也是正定矩阵 .5. 证明：每个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和 .6.设 V1与 V2 分别是齐次线性方程组x1x2.xn0 与x1x2.xn 的解空间，
5、证明：P nV1V2优秀学习资料欢迎下载(aij ) Pn nn7.设 W1 Aaii0 ，W2EP证明： W1 W2是直和 .i 18.设 是 A 的特征值，证明：2是 A2的特征值 .3 22 1是 3A22A E的特征值 .9.证明：若是可逆矩阵 A 的特征值则不为零，且1是A1的特征值.填空题1.A,B 为 n 阶矩阵， ( A B)( AB) A2B 2 成立的充分必要条件是.2.A,B 为 n 阶矩阵， AB=0 ，且，则 B=0.A,B,C 为 n 阶矩阵， AB=AC且，一定有 B=C.1113.已知A= 211 ，则 (A E) 1(A2E) =.1204.A，B 是 n 阶
6、可逆矩阵， (AB )T =, kA =,(AB) 1=.A =,A1=.5. 二次型 f ( x1, x2 , x3 )x124x1x 23x222x2 x36x32的矩阵为1二次型 f ( x1, x2 , x3 )2x1 x 224x2 x32的矩阵为3x112x25x36.n 元正定二次型的规范型为, n 阶正定矩阵与合同，正定矩阵7.A 的行列式一定0.维线性空间 .实数域是实数域上的8. P3 中，由标准基 (1,0,0)T , (0,1,0)T , (0,0,1)T到基 (1,2,3) T , (2,3,4)T, (3,4,5)T的过渡矩阵是.9.Q(2,3)ab 2c3d6a,
7、b,c, dQ对数的运算构成Q 上的维线 性空间 .优秀学习资料欢迎下载10.线性空间 P xn 的标准基是.线性空间 R 2 2的标准基是.11.P x3 中，由标准基到基 2, 3x, 1 x x2 的过渡矩阵是12. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 -1、 1、 2，则 A E 的特征值为13.奇异矩阵 A 必有特征值. 幂零矩阵 A 的特征值为.14.矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量一定线性.15. n 阶矩阵 A 能对角化的充分必要条件是16. Rn 中标准基的度量矩阵是.判断题1.若 A2A则 A=0 或 A=E2.A 为 n 阶矩阵，若 A20,则 A=0 .3.设 A,B
8、,C 是 n 阶矩阵，若 AB=AC, 且 A0,则 B=C.4.设 A,B,C 是 n 阶矩阵，若 ABC=E , 则， BCA=E.5.A, B是 n阶矩阵，则 （ AB )kAk B k6. 复数域是实数域上的线性空间7. 实数域是复数域上的线性空间 .8. 设(1,2,3), 则 L( ) 是 P 3 的一维子空间 .9. P 2是P 3 的二维子空间 .1223x1122310. 二次型 f ( xx , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 012x2的矩阵是012 .153x3153优秀学习资料欢迎下载123x111211.二次型 f (xx , x2 , x3
9、) (x1, x2 , x3 ) 012x2的矩阵是114 .163x324312. 数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵 .13. 任意 n 阶矩阵都可以作为 n 维线性空间中从一组基到另一组基的过渡矩阵 .14. 数域 P 上两线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数 .15. 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值全大于零 .16. 幂零矩阵的特征值必为零 .17. 幂等矩阵的特征值为 0,118. 相似矩阵的特征值相同，行列式相同 . 秩相同 .19. 矩阵 A 与 B 有相同的秩，那么 A 与 B 一定相似 .20. n 阶矩阵 A 可以对角化的充要条件是 A 有 n 个不同的特征值 .21. n 阶矩阵 A 可以对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 .22. 实对称矩阵一定可以对角化 .