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1、精品资源欢迎下载第2讲 整式及因式分解考查角度整式作为初中数学的基础 内容之一，在中考试题中多以填 空题和选择题的形式命题，重点 考查其基本概念及运算法则，同 时也会设计一些新颖的探索与 数、式,有关的规律性问题.舟触0迎9考标要求1 .明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能 用代数式探索有关的规律.2 .会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式 的值的方法.3 .理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号 的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、 除、乘方等混合运算.4 .能对多项式进行因式分解 .知识梳理一、整式的有关概念1 .整式整式是单项式与 的统称.2 .
2、单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子.；单项式中的 因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的 叫做单项式的次数.3 .多项式几个单项式的 叫做多项式；多项式中，每一个 叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中 项的次数就是这个多项式的次数.二、整数指数哥的运算m正整数指数哥的运算法则：am- a=, (am) n=, (ab)n=anbn, A = am-n(man是正整数).三、同类项与合并同类项1 .同类项所含字母相同，并且相同字母的 也分别相同的项叫做同类项.2 .合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做 ,合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的 ,字母和
3、字母的指数不变.四、求代数式的值1 .代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做 代数式的值.2 .求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果. 五、整式的运算1 .整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项.注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要 .2 .整式的乘除(1)整式的乘法.单项式与单项式相乘：把、分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
4、单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma mb+ me多项式与多项式相乘：（n）（ a+ b） = m升mb na+ nB.（2）整式的除法.单项式除以单项式：把系数、同底数哥相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个因式.多项式除以单项式：（a+ b） + mp a+b+ m3 .乘法公式（1）平方差公式：（a+b）（ ab） =a2 b2；（2）完全平方公式：（a± b） 2= a2±2 ab+ b2.六、因式分解1 .因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做多项式的因式分解.2 .因式分解的方法（1）提公因式法.公因式的确
5、定：第一，确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；第二，确定字母或因式底数（取各项的相同字母）；第三，确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次哥）.（2）运用公式法.运用平方差公式：a2- b2=.运用完全平方公式：a2±2ab+ b2=.3 .因式分解的一般步骤一提（提取公因式法）；二套（套公式法）. 一直分解到不能分解为止.自主测试1 . （2012福建福州）下列计算正确的是（）A. a+a=2a B . b3 - b3=2b3C. a3+a=a3 D . （a5）2 = a72 .下列各式中，与 x2y是同类项的是（）A. xy2 B . 2xy C . x2y D . 3x
6、2y23. （2012四川绵阳）图（1）是一个长为2m,宽为2n（m> n）的长方形，用剪刀沿图中虚线 （对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 （2）那样拼成一个正 方形，则中间空白部分的面积是 （）4. （2012四川宜宾）分解因式：3m2-6mn+ 3n2=【例1】（2012湖南郴州）下列计算正确的是（）A. a2 a3 = a6B. a+a=a2C. （a2）3= a6D. a8+a2=a4解析：A项是同底数哥的乘法，a2-a3=a2+3 = a5,故A项错误；B项是整式的加减运算， a+a=2a,故B项错误；C项是哥的乘方，（a2）3= a = a6,故
7、C项正确；D项是同底数哥的 除法，a8+a2 = a-2=a6,故D项错误.答案：C方法总结哥的运算问题除了注意底数不变外, 是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.触类旁通1下列运算中，正确的是（）A. x3 x2 = x5 ,B. x+x2= x3考点二、同类项与合并同类项还要弄清哥与哥之间的运算是乘、除还C. 2x3 + x2 = x【例2】 单项式一1xa+byaT与3x2y是同类项，则a b的值为（）3A. 2 B . 0 C.2 D.1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由一1xa+byaT与3x2y是同类项,a+ b=2a- 1 = 1解得a=2,b=0.3所
8、以 a b= 2 0=2.答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数分 别相同.二者必须同时具备，缺一不可；2 .同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与一y2x也是同类项.3 .根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程（组）是解此类题的一般方法.触类旁通2如果3x2nTym与一5x3是同类项，则 m和n的取值是（）A. .3 和一2 B . 3 和 2 C . 3 和 2 D . 3 和一2考点三、整式的运算【例 3】 先化简，再求值：（a+b）（ a b） + （a+ b）2 2a2,其中 a=3, b=；.3解：(a +
9、 b)( a b) + (a+b) 2a = a b+a+ 2ab+ b 2a = 2ab> 当 a=3> b= q时) 32ab=2X3x方法总结整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时，要认清公式中a, b所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式.触类旁通3已知.2x 1 = 3,求代数式（x 3）2+2x（3+x）7的值.考点四、因式分解【例4】（2012湖南常德）分解因式：n2-n2 =.答案：（m n）（ mr n）方法总结 （1）因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他
10、 方法继续分解.（2）提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y-x =-（x-y） , （y-x）2=（x-y）2.（3）应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点.（4）封式分解要分解到每一个多项式不能分解为止.庐瑞劈照蛇般>>1. （2012湖南常德）下列运算中，结果正确的是 （）C. a2+a3=a5D. 4a-a=3a)C. ( ab3) 2= ab6 D . ( -1)°= 1A. a3 , a4=a12B. a10+a2 = a52. (2012湖南益阳)下列计算正确的是(A. 2a+ 3b=5ab B . (x+
11、2)2=x2+43. (2012湖南湘潭)因式分解：n2-mn=4. （2012湖南益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:5. (2012 湖南怀化)当 x=1, y=1 时，3x(2x+y) 2x(x y) =56. (2012湖南株洲)一组数据为：x, 2x2,4x3, 8x4,观察其规律，推,断第n个数 据应为.MS颂号理鳏取1 .蒋代数式x2+4x1化成(x+p)2+q的形式为()A. (x- 2)2+3 B . (x+2)24C. (x+2)25 D . (x+2)2 + 42 .如图所示，在边长为 a的正方形中剪去一个边 长为b的小正方形(a>b),把剩下
12、的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 (A.C.(a+ b) 2= a2+ 2ab+ b2 a2 b2 = (a + b)( a b)8. (ab)2= a22ab+ b2D. (a± b)2= a2±2 ab+b23 .多项式 与m2+m- 2的和是m22m4 .若3x*5y2与x3yn的和是单项式，则 nm=.5 .若 m- n=2,n=5,则 n2- n2的值为6 .若 2x=3,4 y=5,则 2"2y 的值为.7 .给出 3 个整式：x2,2x+1, x22x.(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能
13、因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少?参考答案【知识梳理】一、1.多项式2.数字 和3 .和 单项式 次数最高._.m+ n mn三、1.指数 2.合并同类项系数五、1.(2)变号8 . (1)系数同底数哥(2)指数六、1.积29 . (2) CD( a+b)( a-b)(a± b)导学必备知识自主测试1. Aa+a=2a,A项正确；b3-b3= b6,B项错误；a3+a=a2,C项错误；(a5)2=a10,D项错误.2. C只有C选项中相同字母的指数与x2y分别相同.3. C因为长方形的长为2m,宽为2n( m
14、>n),则小长方形的长为m(宽为n,小正方形的边长为(m- n),所以面积是(m- n)2.4. 3( m- n)2 原式=3( m22m什 n2)=3(m- n) 2.5.探究考点方法B项中的两项不是同类项，不x 3 x3 x32 = 23=8.触类旁通1.A A项是同底数哥相乘，x3 - x2=x3+2=x5,能合并，C项是单项式相除，2x3+x2=(2+1) x"2 = 2x, D项触类旁通2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得2n1 = rqmm= 3,解得m= 3,n = 2., 触类旁通3.分析；本题需先把 2x- 1 = 3进行整理，得出x的值
15、，把代数式进行化简， 再把x的值代入即可求出结果.解：由 2x1 = 3 得 x=2,又(x3)2+2x(3+x) 7=x26x+9+6x+2x27=3x2+2,当x=2时，原式=14.品鉴经典考题1. D a3 a4 = a7,所以A项不正确；a10+a2=a8,所以B项不正确；a2与a3不是同类项， 不能合并，所以 C项不正确；4a- a=3a, D项正确.2. D 2a与3b不能合并，A项不正确；(x+2)2=x2+4x+4, B项不正确；(ab3)2=a2b6,C项不正确；由任何一个不等于零的数的零次哥等于1,知D项正确.23. m(m- n) m mn= n(m- n).4. 答案不
16、唯一，如 x21.5. 5 3x(2x+y) 2x(xy) =6x2 + 3xy2x2+2xy = 4x2+5xy.1当 x=1, y=5时，原式=4X 12 + 5X 1 X 1=4+1= 5.56. (2)nTxn x的系数为1 = (2)1-,次数为1; 2x2的系数为一2=( 2)2j,次 数为2; 4x3的系数为4=(-2) 3 1,次数为3; 8x4的系数为一8=( -2)4 1,次数为4;. 所以第n个数据的系数为(一2)一,次数为n,即(一2)nTxn.研习预测试题1. C x2+4x- 1 = (x2+4x + 4) -4 - 1 = (x+2)2-5.2. C因为第一个图是
17、一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a2- b2.一， ， 1第二个图是一个梯形，下底为2a,上底为2b,图为(a b),其面积为万(2 a+2b)( a- b) = (a+ b)( a b),所以两个图验证了公式：a2 b2= (a+ b)( a b).3. 2 3m 由题意得此多项式为 (m22m)(m2+m- 2) = n2i- 2m- m2-2=2 3m1 m 2114. 4 由题意得 m»- 5=3, n=2,所以 m= - 2,所以 n = 2 =2=4.5. 10 m2- n2= (n)( m- n)=5X2=10.6. 3 2x 2y=2x + 2 2y=2x + 4y=3+5=3. 557. 解：(1) x2+(2x+1) =x2+2x+1=(x+1)2 或 x2+(x22x) = 2x22x=2x(x 1)或(2x + 1) + (x2 2x) = 2x+ 1 + x2 2x= x2+ 1.(2)由(1)可知，概率为2.3