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1、咸阳市 20192020 学年度第一学期期末教学质量检测高二数学(理科)试题祝考试顺利注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 用 2B 铅笔将答题卡上 试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上 新
2、答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用 0.5 毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内， 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的 非选修题答题区域的答案一律无效。5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。一、选择题1.一元二次不等式 (x 1)(x 2) 0 的解集为( )A. x|x 2或 x 1 B. x|x 1或 x 2C. x| 2 x 1 D. x| 1 x 2 【答案】 C【解析】【分析】 根据二次函数得图
3、像，可得结果 .详解】令 f(x) (x 1)(x 2) ，如图所以 2 x 1 故选： C 【点睛】本题考查一元二次不等式的的解法，属基础题 . 2.已知等比数列 an 中， a4 27 ，公比 q 3 ，则 a1 （ ）A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 【答案】 B【解析】【分析】 根据等比数列的通项公式可得结果n1【详解】由数列 an 是等比数列，所以 an a1qn 13则 a4 a1q3 27，又 q 3 ，所以 a1 1故选： B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题 .3.在 ABC中，角 A， B ， C所对的边分别为 a，b，c，若 A，B，a 3 2，34则
4、b （ ）A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 3 3答案】 A分析】ab利用正弦定理 ，可直接求出 b 的值 .a sinBsinA3 2 sin4sin3sinA sinBab详解】在 ABC中，由正弦定理得，所以 bsinA sinB故选 A.点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力， 属于基础题4.准线方程为 y 2 的抛物线的标准方程是（ ）A. x2 16yx2 =-8yB. x2 8yC. x216yD.【答案】 D【解析】【分析】根据题意，由抛物线的准线方程可得其焦点在y 轴负半轴上，且 2p42 ，由抛物线的标准方程可得答案【详解】解：根
5、据题意，抛物线的准线方程为 y 2 ，即其焦点在 y 轴负半轴上，且 2p 2，得 p 4，4故其标准方程为： x2 =-8y 故选 D 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线的标准方程的四种形式5.命题“x00,，ln x0 x0 1”的否定是（）A.x00,，lnx0x0 1B.x 0,，ln x x 1C.x0,，ln x x 1D.x0 0,，ln x0 x0 1答案】 C解析】【分析】按规则写出存在性命题的否定即可详解】命题“ x0 0,，ln x0 x0 1”的否定为“x 0,，lnx x 1”故选 C.点睛】全称命题的一般形式是： x M ， p x ，其否定为 x
6、Mp x . 存在性命题的一般形式是 x M ， p x ，其否定为6.已知 a b， c 0 ，则下列不等式一定成立的是(A.b2B.11ab)C. ac bcD.答案】 D解析】分析】 根据不等式的性质，可得结果 .1【详解】因为 c 0 ，所以 2 0 ，又 a b ， c2ab所以 2 2c2 c2故选： D点睛】本题考查不等式的性质，熟练记住一些结论，如：不等式两边同乘或同除以一个正数，不改变不等号的方向，属基础题7.若直线 l的方向向量为 ra (1,0,2) ，平面ur的法向量为nr ( 2,0, 4) ，则( )A. l /B.lC. lD.l 与 斜交【答案】B【解析】【分析
7、】rrrr通过 a(1,0,2) ， n ( 2,0, 4)可以得出n 2a ，所以可以判断直线 l, 之间的关系rr详解】 a (1,0, 2) ，n ( 2,0, 4)，n 2a，即 a/n.l点睛】本题考查了利用空间向量的关系，判断线面垂直uuur r8.如图，在空间四边形 OABC 中， OA a ，uuurOBr uuurb， OCc ，点 M 在线段 OA 上，解析】uuuurOM 3MA，点 N为 BC的中点，则 MN1r2r1r3r2r1rA. abcB.abc2324321r1r1r3r1r1rC. abcD.abc222422【答案】D【解析】【分析】uuuur 详解】 由
8、题,MNuuurMAuuurAN1uuurOA4uuurABuuurAC1uuurOA4uuurOBuuurOAuuurOCuuurOAuuururB uuO 1uuurrc1 rb1 ra3根据空间向量的线性运算求解即可点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,属于基础题型9.数列 an 满足 ann2 3n2 ，则1的前 10 项和为(an)1517A.B.C.D.312212【答案】 B分析】根据裂项相消法求和1详解】因为an1n2 3n 2(n 1)(n 2)n1所以的前 10 项和为 1 1 + n 2 31 1+L + 13 4 111121 1 52 12 12，选 B.点睛】本题
9、考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题an 是递增数列”的（10. 已知 an 是等比数列，则“ a2 a4 ”是“A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案】 B解析】分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果详解】由数列 an 是等比数列，可假设 a12,q2 ，则 a12,a2 4,a38,a4 16 ，可知 a2a4 ，但数列 an 不是递增数列，若数列an 是递增数列，由定义可知， a2a4 ，故4，“ a2 a4 ”是“ an 是递增数列”的必要不充分条件故选： B【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列
10、的单调性，巧取特殊值， 快速解决问题，属基础题 .11. 有下列四个命题： 若 p q 为假命题， 则 p，q 均为假命题； 命题 “若 x 1，则 x 1 的否命题为 “若 x 1，则 x 1”；命题 “若 x2 3x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题为 “若 x 1，则 x2 3x 2 0”；设 a、b R ，命题“若 a b，则 a b ”的逆命题是真 命题；其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4答案】 B 【解析】【分析】 根据四个命题和逻辑连接词的性质逐个分析即可 .【详解】对 , 若 p q为假命题 ,则 p, q均为假命题 .故正确 .对, 题“若 x 1,则
11、 x 1”的否命题为 “若 x 1,则 x 1”；故错误 .对, 命题 “若 x2 3x 2 0,则 x 1 ”的逆否命题为 “若 x 1, 则 x2 3x 2 0”；故 正确.对, 设 a、b R ,命题 “若 ab, 则a b ”的逆命题是 “若 a b,则 a b”为,假命题；故错误 .综上, 正确 .故选： B【点睛】本题主要考查了命题真假 判断与四个命题间的基本关系 , 属于基础题型 .2212. 已知点 F 为双曲线 C: 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点，以 F 为圆心的圆过坐标原点 O ， ab且圆 F 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A、B两点，若四边形 OAFB是菱
12、形，则双曲线 C圆 F 的半径为 c ，且四边形 OAFB 是菱形，所以 OF OA AF c，可知 AOF 60o ，所以 b tan60o3，即 b 3aa所以 b2 3a2 ，又 b2 c2 a2 ，则 c2 a2 3a2 ，由 e c ，且 e 1 a所以 e 2故选： A点睛】本题考查双曲线的离心率，高考常考题，正确分析题干，理清思路，属基础题、填空题13.不等式x 2 0 的解集是x2答案】2,2解析】分析】根据分式不等式的方法求解即可x2x2详解】 x 2 0x 2 x 2 02x2故答案为： 2,2点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题型 .214.已知 VABC 的
13、顶点 A 是椭圆 x y231的一个焦点，顶点 B、C 在椭圆上，BC 边经过椭圆的另一个焦点，则 VABC 的周长为【答案】 4 3【解析】分析】根据椭圆的定义求解即可详解】易得VABC 的周长为 B、C两点到两个焦点间的距离之和为 2a 2a 4a 4 3.故答案为： 4 3【点睛】15.已知【答案】【解析】【分析】1因为x可.【详解】,属于基础题型 .y 的最小值为 19x y 再展开用基本不等式求最小值即 xyy 9x 10 2 y 9x 10 2 9 16.x y x y当且仅当 y 9x, y 3x时等号成立 xy故答案为： 16【点睛】本题主要考查了基本不等式求最小值的问题,属于
14、基础题型0 ， S21 0 ，则当 Sn 取最大值时，16.设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1 0 ， S20n 的值为 .【答案】 10【解析】【分析】根据等差数列求和的公式分析即可详解】由题有 a1 0且公差 d 0 .故等差数列 an 为首项大于 0, 且逐项递减的等差数列0a11 0.因为 S200所以 20a1a200a10a110.又21a1a2122故 a10 0,a11 0.当 Sn 取最大值时 ,n 的值为 10 故答案为： 10【点睛】本题主要考查了递减等差数列的运用,需要根据等差数列前 n 项和的性质确定由正变负交替的两项进行分析 . 属于中等题型 .三、解
15、答题17. 设等差数列 an 的公差为 d（d 0）， a1 1，a2为a1,a4的等比中项 .1）求数列 an 的通项公式；2）设 bn an 2n ，求数列 bn 的前 n项和Tn.答案】(1) an n(2)Tnn(n 1) 2 2n 12解析】分析】1）根据等比中项的概念求出公差 d ，结合等差数列的通项公式，可得结果2）根据（ 1）的结论，结合分组求和的方法，可得结果.详解】解： （1）Q a11，a2为 a1与 a4的等比中项，22a22 a1 a4，即 (1 d)2 1 (1 3d)，由 d 0 ，所以 d 1 ，数列 an 的通项公式为 an1 (n 1) 1 n.2）由（ 1
16、）得 an n ， bn n 2n ，n(n 1)22 2n2 1 2nTn (1 2 L n) 2 11 22【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和，掌握求和的基本题型，比如：分组求 和，裂项相消，错位相减等，属基础题 .18. 如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E， F分别为 AB， A1C的中点 .(1)求 EF ；(2)求证： EF / / 平面 AA1D1D【答案】( 1) 2 ；(2)证明见解析【解析】【分析】(1) 根据空间坐标中的距离公式求解即可 .uuuur uuur(2)根据空间向量 AD1 2EF 即可证明 AD /EF 进而有 EF /
17、/ 平面 AA1D1D . 【详解】解： ( 1)由题知 , E(2,1,0) , F (1,1,1),uuur EF ( 1,0,1) ,uuur |EF | ( 1)2 02 122uuuur(2)由题知 , A(2,0,0) , D1(0,0,2) , AD1 ( 2,0,2) ,uuuur uuur AD1 2EF , 故 AD /EF ,又 AD1 平面 AA1D1D , EF 平面 AA1D1DEF 平面 AA1D1D . 【点睛】本题主要考查了空间向量求点到点距离和线面平行的证明.属于中等题型 .19. 在ABC中，a、b、c分别是内角 A、B、C的对边，且sin2 A sin2
18、 B sin2 Csin AsinB1)求角 C 的大小；2)若 c 7， a b 8，求 VABC 的面积 .【答案】（1） 2 ；（2） 15 334【解析】【分析】（1） 根据正弦定理将角转换为边 ,再利用余弦定理求解即可 .（2） 根据余弦定理可求得 ab 15,再根据面积公式求解即可 .【详解】解： （ 1） sin2 A sin2B sin2Csin A sin B ,由正弦定理可得 , a2 b2 c2ab ,2ab20C, C 23（2）由（1）可得 , a2b22 cab , 即 (a b)2 c2 ab又c7,a b 8, ab151由余弦定理有, cosC222 abc1
19、 15 32215 341 VABC 的面积 Sab sin C2【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式解三角形的问题,属于中等题型 .20.已知 F为抛物线 C:y2 2px（p 0）的焦点，点 A 4,2为抛物线 C内一定点，点 P为 抛物线 C 上一动点，且 PA PF 的最小值为 8.1）求抛物线 C 的方程；2）若直线 x y 3 0与抛物线 C交于 B x1, y1 、 D x2,y2 两点，求 BD 长.答案】（1） y2 16x ；（2） 8 14【解析】【分析】（1） 根据抛物线的定义可知分析PA PF 取得最小值时的情况列出关于 p 的方程求解即可.（2）联立直线
20、x y 3 0与抛物线 C,求出对应的二次方程的韦达定理 , 进而利用弦长公式 求解即可 .【详解】解： （ 1）设 d为点 P到 xp的距离 ,则由抛物线定义知 , PF d2当点 P 为过点 A 且垂直于准线的直线与抛物线的交点时 , PA PF 取得最小值 即 48, 解得 p 8,2抛物线 C的方程为 y2 16x .x y 3 0 2（2）联立 2, 得 y2 16y 48 0,y 16x显然 V 0, y1 y2 16, y1y2 48 , y1 y2y1 y24y1y2162 4 48 8 7 , |BD| 2 y1 y2 8 14 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义与根据直
21、线与抛物线相交的问题求解弦长的公式 属于中等题型 .21.如图，在四棱锥 S-ABCD 中， SA 底面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 SA 1，点 M 是 SD的中点 .请用空间向量的知识解答下列问题：（1）求证： SC AM ；（2）求平面 SAB与平面 SCD 夹角的大小 .【答案】（ 1）证明见解析； （2）45°【解析】【分析】uuur uuuur（1） 以A为原点 ,AB为x轴,AD 为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系 ,再证明 SC AM 0即可 .(2)分别求出平面 SAB与平面 SCD的法向量 , 再利用空间向量的公式求解二面角即可.
22、【详解】解：( 1)证明：以 A为原点 , AB为 x轴,AD 为 y轴,AS为 z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 ,11则S(0,0,1) , C(1,1,0), A(0,0,0) , M 0,12,12uuur uuur 1 1 SC (1,1, 1), AM 0, ,22uuur uuuur 1 1 SC AM0,22 SC AMr(2)易知 ,平面 SAB的一个法向量为 n (0,1,0) ,由图知 S(0,0,1) , C(1,1,0) , D(0,1,0) ,uuur uuur SC (1,1, 1), SD (0,1, 1),ur设平面 SCD 的法向量为 m (x,y,z)
23、,v uuuv(0,1,1),m SC x y z 0则 v uuuv , 取 y 1, 得平面 SCD 的一个法向量为 m SD y z 0设平面 SAB与平面 SCD 的夹角为则 cosur r mn2,故45ur r|m|n|2平面SAB与平面SCD 夹角的大小为 45,属于中等题点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线垂直与二面角的空间向量求法型.22222.已知椭圆 E: x2 y2 1（a b 0）的左焦点为 F1（ 2,0） ，直线 l1:xa 与x轴交于a2 b22点 N -3,0 ，过点 N 且倾斜角为 30°的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点（1）求直线 l
24、和椭圆 E 的方程；（2）求证：点 F1 2,0 在以线段 AB 为直径的圆上 .22【答案】（1） l：y3（x 3），E： x y 1 ；（ 2）证明见解析3 6 2【解析】【分析】（1） 根据点斜式与椭圆的基本量求法求解即可 .uuur uuur（2）联立直线 l椭圆, 设A x1,y1 , B x2,y2 利用韦达定理证明 F1A F1B即可.2由a23, 得a2 6,详解】解： （ 1）由题知 ,直线 l的方程为 y又 c 2, b2 a2 c2 2,22椭圆 E 的方程为 x y 162x22）联立方程组33(x,得 2x23)6x3 0,设 A x1,y1 , B x2,y2 ,则x1 x23, x1x2uuur F1( 2,0) , F1Ax1 2,y1uuurF1Bx2 2,y2uuur uuurF1A F1Bx1 2x22y1y2x1x22 x1 x2443x1x2 3 x1 x273( 3)703 1 2 1 232x13 x2 3 F1( 2,0) 点在以线段 AB 为直径 圆上 .量的方法求解圆过定点的问题.属于中等题型 .的,利用韦达定理与向点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程