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1、学习必备欢迎下载一元二次方程及根的定义1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.思路点拨： 从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.解： 将代入原方程，得即解方程，得当时，原方程都可化为解方程，得.所以方程的另一个根为4，或-1.总结升华： 以方程的根为载点 .综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住 “根 ”的概念，并以此为突破口 .举一反三：【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值 .思路点拨： 抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.解： 因为是方程的一个根 ,所以,故,所以.学习必备欢迎下载.总
2、结升华： “方程 ”即是一个 “等式 ”，在 “等式 ”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.类型二、一元二次方程的解法2.用直接开平方法解下列方程：22(1)3-27x =0； (2)4(1-x) -9=0.2解： (1)27x =3.2(2)4(1-x) =93.用配方法解下列方程：(1)；(2).解： (1)由，得，学习必备欢迎下载所以，故.(2)由，得，所以故4.用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).解： (1)这里并且所以，所以，.(2) 将原方程变形为，则，所以，所以.(3) 将原方程展开并整理得，学习必备欢迎下载这
3、里，并且，所以.所以.总结升华： 公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握， 它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.5.用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3).解： (1)将原方程变形为提取公因式，得因为，所以所以或，故，(2) 直接提取公因式，得所以或，(即故.(3) 直接用平方差公式因式分解得即所以或故.学习必备欢迎下载举一反三：【变式 1】用适当方法解下列方程22x+2=0 ；(1)2(x+3) =x(x+3) ；(2)x -2(3)x22-8x=0 ；(4)x +12x+32=0.解： (1)2(x+3) 2=x(x+3)22(x+
4、3) -x(x+3)=0(x+3)2(x+3)-x=0(x+3)(x+6)=0x1=-3 ， x2=-6 2x+2=0(2)x -2这里 a=1，b=-2， c=222b -4ac=(-2) -4 ×1×2=12 0x=x1=+， x2=-(3)x(x-8)=0x1=0 ， x2=8(4)配方，得2x +12x+32+4=0+4 (x+6) 2 =4 x+6=2 或 x+6=-2x 1=-4 ， x2=-8 点评 : 要根据方程的特点灵活选用方法解方程.6.若，求的值 .思路点拨： 观察，把握关键：换元，即把解：由，得，看成一个 “整体 ”.，所以，学习必备欢迎下载故或(舍
5、去 )，所以.总结升华： 把某一 “式子 ”看成一个 “整体 ”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来 .类型三、一元二次方程根的判别式的应用7.(武汉 )一元二次方程4x2+3x-2=0 的根的情况是 ( )A. 有两个相等的实数根 ;B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 ;D. 没有实数根2解析 : 因为 =3 -4 ×4×(-2) 0，所以该方程有两个不相等的实数根.答案:B.28.(重庆 )若关于 x 的一元二次方程 x +x-3m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ( )A.m B.m C.m -D.m -思路点拨： 因
6、为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.解 : 由题意，得 =12-4 ×1×(-3m) 0，解得m -.答案:C.举一反三：【变式 1】当 m 为什么值时，关于x 的方程有实根 .思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.解： 当即时，方程为一元一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：，解得当且时，方程有实根.学习必备欢迎下载综上所述：当时，方程有实根.【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 (a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数解，求ax+3 0 的解集(用含 a 的式子表示 )思路点拨： 要求 ax+3 0 的
7、解集，就是求ax -3 的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0因为一元二次方程22(a-2)x -2ax+a+1=0 没有实数根，即 (-2a)-4(a-2)(a+1) 0 就可求出 a 的取值范围解： 关于 x 的一元二次方程 (a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数根(-2a)222-4(a-2)(a+1)=4a -4a +4a+8 0满足 ax+3 0 即 ax -3所求不等式的解集为.类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值9.(河北 )若 x1， x2 是一元二次方程2x222的值是 ()-3x+1=0 的两个根，则x1 +x 2A.B.C.D.7思路点拨
8、: 本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入22x1 +x 2 ，求得其值 .但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x +x和 x x的代数式，再整体代入 .1212解 : 由根与系数关系可得x1+x2= ， x1·x2=2222， x1 +x 2 =(x 1+x 2) -2x1·x2=()-2× = .答案:A.总结升华 : 公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用考点讲解：1构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键2注重解法的选择与验根：在
9、具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性学习必备欢迎下载10.(陕西 )在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图 .如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是()A.x 2+130x-1400=0B.x2+65x-350=022C.x -130x-1400=0D.x -64x-1350=0解析 : 在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm 的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm ， ?宽为(50+2x)cm ，由题意，可得2(8
10、0+2x)(50+2x)=5400 ，整理得 x +65x-350=0.答案:B.11.(海口 ) 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解： 设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得 (500-20x)(10+x)=6000 整理，得 x2-15x 50=0 解这个方程， x1=5， x2=10 要使顾客得到实惠，应取x=5答： 每千克应涨价5 元总结升华 ：应抓住 “要使顾客得到实惠 ”这句话来取舍根的情况12.(深圳南山区 )课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130 平方米的花圃 (如图 )，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得又当时，当时，不合题意，舍去.答： 花圃的长为13 米，宽为10 米