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1、八年级数学暑假专题因式分解技巧和方法湘教版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：暑假专题因式分解技巧和方法教学目标1. 灵活掌握教材所介绍的二种方法：提公因式法和公式法。2. 熟练运用提公因式法和公因式法的同时，再介绍并掌握其它的因式分解的方法，从而提高解题能力。二 . 重点、难点：重点：因式分解的方法和技巧。难点：因式分解方法的灵活运用。三 . 因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。（ 1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2b2 （ a
2、b）（ ab）。（ 2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。（ 3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。四 . 因式分解的方法：（一）提公因式法方法介绍： 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分解因式：x 3x2 yxy分析： 此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。解： 原式x
3、x 2xyy（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。22例2.分解因式：x2yxy分析： 此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解： 原式x2yxyx2yxyx2yxyx2yxy3y 2xy例 3. 分解因式： a2 4ab 4b2分析： 此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。解： 原式2a 2b（三）分组分解法方法介绍： 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的
4、目的。下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：例4.分解因式：m2mnmpnp分析： 此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2 项有公因式m，第3、4 项有公因式p，可将它们分别分为一组。解： 原式m 2mnmpnpm mnp mnmn mp2. 按系数特点分组：例 5. a32a2a2分析： 由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1： 2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。解： 原式a32a2a 2a2 a2a 2a2 a21a2 a1 a1或原式a3a2a22a a212 a21a21a2a1a1 a23. 按字母次数特点分组
5、：例 6. 分解因式： 4a2b24a2b分析： 此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。解： 原式4a2b24a 2b2ab 2ab2 2a b2ab 2ab24. 按公式特点分组：例 7. 分解因式： 9x 22xyy 2分析： 此题可将第2、3、4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。解：原式 9x22xyy 232xy23xy3x y3xy3x y5. 拆项分组：例 8.分解因式： x 2y22x4y3分析：为了便于运用乘法公式，可将 - 3 拆成 - 4 1，再适当分组， 达到因式分解的目的。解： 原式x22x1y 24y4x12y22x1y
6、2x1y 2x1y2x1y2xy1xy36. 添项分组：例 9. 分解因式： x 5 x 1分析： 根据题目特点可添上 x 2x 2 项后，再分组，就能运用公式分解。解： 原式x5x 2x 2x 1x 2x 31x 2x1x 2x 1 x 2x1x 2x 1x2x1x 2x 11x2x1x 3x 217. 换元分组：2例 10. 分解因式：xy2xyxy2xy1分析： 观察代数式中的x y， xy 可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。解： 设xym， xyn ，则原式 m2nm2n21m 22mn2m4nn22n1m 22mnn22m2n1m22 mn1nmn21xyxy21xyxy21x
7、y1y12y1 x1222y1x18. 按主元分组：例 11.分解因式： x32a1x2a2a1x a212分析：题中的多项式是关于x 的三项式排列的， 按其结构分解有一定的难度，可考虑换个角度，选定a 为主元，即整理为关于a 的多项式。解： 原式x 1 a22x 22x a x 3x 2x 1x 1 a22x x 1 a x 2 x 1 x 1x1a22axx 21x1a22axx 21x1a212xx1ax 1a x1（四）利用特殊值法方法介绍：比如说将2 或 10 这些特殊值代入字母，比如说P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成式，将 2 或 10 还原成 x，即
8、可得因式分解的式子。x，求出一个数P，然后将数2 或 10 的和与差的形例12.分解因式：x39x 223x15解： 令 x 2，则原式8364615105357将 105 分解成 3 个质因数的积，即105 3×5× 7观察到多项式中最高项的系数为1，而 3、 5、 7 分别为x 1，x 3， x 5，在x2 时的值，则原式（x 1）（x 3）（ x5）（五）待定系数法方法介绍： 首先判断出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 13. 分解因式： x4x 35x 26x4分析： 观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两
9、个二次因式。解： 设x 4x 35x 26x4x 2axb x 2cxdx 4a c x 3ac b d x2ad bc x bd利用恒等式的性质可得：ac1acbd5adbc6bd4a 1 b 1解之得：c 2d 4原式x2x 1 x22x 4（六）十字相乘法：方法介绍：对于 mx2 pxq 形式的多项式，如果abm，cd q 且 ac bd p，则多项式可因式分解为： （ax d）（ bx c）。例 14. 分解因式： 7x 219x 6分析： 这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：7 213解： 原式7x2x3（七）双十字相乘法：方法介绍： 可将其中的可用
10、十字相乘法的三项放在一起， 先分解因式后， 然后再与剩下的项再用十字相乘法。例 15.分解因式： a 6a11b4b 3b1 2分析： 可先将其先去括号后的项6a2 11ab 3b2 应用十字相乘法可分为（2a 3b）（ 3a b）。解：原式62113b24ab2aab2a3b3ab4ab22a3b23ab1（八）巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。1. 取相同部分换元例 16. 分解因式：m 25m3 m 25m 2 36分析： 若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m2 5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。
11、解： 设 m25my，则原式 y3y236y 2y42y7y6m 25m7m 25m6m 25m7m6 m12. 取部分式子换元例 17. 分解因式： 1 x x 2x3 2x 3分析： 观察题目特点，可考虑设1x x2 y。解：设y 1xx 2 ，则原式yx 3 2x 3y 22yx 3x 6x 3y 22yx 3x 3x 31y 22yx 3x 3 x1 x 2x 1y 22yx 3x 3x1 yy y2x3x 3x 1y yx 4x 3x 2x 1 x 4x3x 2x 13. 取倒数换元例 18. 分解因式： 2x 43x35x 23x2解： 原式 x 2 2x 23x 532xx 2x
12、 22 x 213 x15x 2x2x 22 x13 x19xx设 yx1，则x原式x 22y 23y9x 22y3y3x 22x23x13xx2x 23x2x23x1同学们， 以上我们介绍了八种方法， 除了这些方法外， 还有求根法、 图像法、 配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。【模拟试题】（答题时间： 25 分钟）分解下列因式：1.x 36x1 62.x 32x 22x3.2x 4x 36x 2x24.x 445.axby22bxay6.x23 xy10y7.3x312x 2 y12xy 28.x 4x36x 25x59.x 22xyy 22x2y
13、 3【试题答案】1. 解：原式x 31 6x 6x1x 2x16 x 1x1x 2x16x1x 2x72.解：原式x x 22x23.解：原式 2 x 41 x x 21 6x 2x22 x21x16x 2x设 yx1 ，则x原式x 22 y 22y6x 2y22y5x 2x122x25xxx 22x12x 25x2x21x212x4.解：原式x 44x 244x 2x 22222xx 22x2x 22x25.解：原式a2 x 22abxyb2 y 2b 2 x 22abxy a2 y 2a2 x 2b 2 y2b2 x 2a2 y 2a2 x 2y 2b 2 x2y 2x 2y2a2b26.解：原式xy5xy27.解：原式3x x24xy4y 223x x2y8. 解：原式 x 4x 3x 25x 25x 5x 4x3x 25x 25x 5x 2 x 2x 15 x 2x 1x 2x1x 2 59. 解：原式x22 xy3yxy3xy 1