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1、立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整； 二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形 的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。一、添加垂线策略。因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面. 线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理， 正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理就需要把没有的垂线补上。 尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线 定理或其逆定理。例
2、1在三棱锥O ABC中，三条棱OA、OB、0C两两互相垂直，且0A二0B二OC, M是AB 边的中点，则与平面ABC所成的角的大小是（用反三角函数表示）。解：如图1,由题意可设OA = a,则AB=BC = CA = J%,V_ABC=1a3, 0点在底面的射影D为底面AABC的中心，0D= "ic =邑。又DM = -MC = a, 0M与平面ABC所成角的正切值是tan0 = - L - = V2 ,所以二面角大小是arclan迈。点评：本题添加面ABC的垂线0D,正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三 棱锥里面的RtAODM , RtAODC另一方面也构造出了 0M与平
3、面ABC所成的角。二、添加平行线策略。其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱 形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形.梯形的中位线来作出所 需要的平行线。A B例2.如图2,在正方体ABCD ABiGDi中，B|E=DF =丄，则BE】与DF所成 角的余弦值是（A R解析：取A,G = -L ,易得四边形ADFG是平行四边形，则 AGE|E/AG GEEA ZBEBEp图3, 0是半径为1的球的球心，点A、B. C在球面上, OA、OB. 0C两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距 离是()714C.
4、兰D.如图3解析：添加辅助线OE. OF,连结EF,构成AOEF,关键是求ZEOF。为了使EF与已知 条件更好地联系起来，过E作EG丄AO,垂足为G,连结FG,构造AGEF.在图3中，EG = lxsin- = = FG.ZEGF = -0:.EF = VEG2+FG2it4OE5ZEOF 肓422点E、F在该球面上的球面距离为討专，故"点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线.高、角平分线.面对角线和体对 角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤 其是添加三角形中位
5、线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中 位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和 未知集中在一个三角形中。例4.如图4,正三棱柱ABC-A.B, G的各棱长都为2, E、F分别是AB、AQ的中点, 则EF的长是()。Bi图4A. 2BC.、你D. J7解析：如图4所示，取AC的中点G,连结EG、FG,则易得FG = 2,EG = 1,故EF = V5 , 选c。点评：本题充分体现了中位线的重要性。五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。例5. 个四面体的所有棱长都为"，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3兀B. 4兀C. 3、/5兀D. 6 兀解析：把这个正四面体A-BCD补成正方体，如图5,正四面体A-BCD可看成是由正 方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体 A-BCD的棱长为血，所以正方体棱长为1,正方体的体对角线长为球的直径2R = J5, 所以球的表面积S = 4kR2=47t- = 3兀，选A。4点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系 易于理解。