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1、线性规 划题型 总 结1.“截距”型考题在线性约束条件下，求形如 z ax by（a,b R）的线性目标函数的最值问题，通常转 化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1. （2017?天津）设变量x, y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A. 2 B. 1 C.厶 D. 332答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最 由沪彳可得A（0,3）,目标函数z=x+y的最大值为：3.1«=02. （2017?新课标川）若
2、x，y满足约束条件x1-y-2<0，z=3x - 4y 的最小值为答案：-1.解：由z=3x- 4y，得yx-亍，作出不等式对应的可行域（阴影部分） 平移直线y=-x-了，由平移可知当直线y=：x-,经过点B （1, 1 ）时，直线 启x -手的截距最大，此时z取得最小值,44将B的坐标代入z=3x- 4y=3 - 4=- 1,即目标函数z=3x - 4y的最小值为-1.>03. （2017?浙江）若x、y满足约束条件x4y-3>0，则z=x+2y的取值范围是（）A. 0，6 B. 0，4 C. 6，+x）D. 4 , +）答案：D.解：x、y满足约束条件x4y-3>0
3、,表示的可行域如图:x-2y<0目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由"二解得C （2, 1），|.x-2y=0目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是4， +x）.4. （ 2016?河南二模）已知x，y R，且满足 x+3y<4，则z=|x+2y|的最大值为（）kx>-2A . 10 B . 8C. 6 D . 3答案：C.解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=|x+2y|，平移直线y= - *x+*z，由图象可知当直线 y=-寺-gz经过点A时，z取得最大值，此时z最大.即 A (- 2,- 2),代入目标函数 z=|x+2y|
4、得z=2 >2+2=6。irx - yO5.（ 2016?湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x-y的最大值为（）A （7，丄）所以t最小为义，由约小，由距最小，的最大值max二*二 9答案：D.解：约束条件对应的平面区域如图: 令2x - y=t，变形得y=2x - t,根据t的几何意 束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最垃-产0、得到交点x+2y=l < | -丄；过C时直线y=2x - t在y轴截33 3t最大，由 ' 解得C （1, 0）,所以t 为 2 > - 0=2，所以 t 2 2 ,故2 .“距离”型考题在线性约束条件下，求形如 z= （
5、x-a ） 2+ （y-b ） 2的线性目标函数的最值问题，通 常转化为求点（a, b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值.6. （ 2016?山东）若变量x, y满足- 3y<9 ,则x2+y2的最大值是（）A . 4 B. 9 C. 10 D . 12答案：C.解：由约束条件'- 3y<9作出可行域如图， A (0, - 3), C (0, 2),> |0C|,联立，解得 B （3, - 1）3尸9x2+y2的最大值是10.7.（ 2016?浙江）在平面上，过点P作直线I的垂线所得的垂足称为点P在直线I上的投影，由区K -戈 w ok-成的线段记为AB，则|AB
6、|=（中的点在直线x+y - 2=0 上的A . 2: B . 4 C . 3 .工 D .答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影区域内的点在直线 x+y - 2=0上的投影构成线段SAB ,投影构部分），R'Q',即而 RQ=RQ,得，即 Q (- 1, 1),尸一 2X - 3y+4=0 x+y=O，即 R (2,- 2),则ABFQRF J ( _ _ 2 ) 2十(+2 )亠寸 g+g=37,8.（ 2016?安徽模拟）如果实数 x,y 满足 x+y - ，则z=x2+y2 - 2x的最小值是（答案:解：由z=x2+y2- 2x= ( X - 1) 2+y2
7、1,设m=(x - 1) 2+y2,则m的几何意义是区域内的点到点D （1,离的平方,作出不等式组对应的平面区域如图:由图象知D到AC的距离为最小值, 此时 d= =，V2 V2则 m=d2= （了） 2=匚，贝 V z=m -仁-1=22O3.“斜率”型考题在线性约束条件下，求形如 z= 的线性目标函数的最值问题，通常转化为 求过x a点（a, b）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.9.（2016?唐山一模）若x，y满足不等式组，则A .3-B . 1C .2D . 32答案:C解：由题意作平面区域如下，二的几何意义是阴影内的点（x, y）与原点的连率，结合图象可知，y 20过点A （1，2
8、）时有最大值，此时丄二 =2，M 1 - 010.（ 2016?莱芜一模）已知x，y满足约束条件,A .岭 2 B. B 4J C 哇，肖3 5 D 上，答案：C 解：画出满足条件的平面区域，如图示:由严，解得A ( 1, 2),k+2? - 5二Q 由1解得B (3, 1),x+2y - 5=0而的几何意义表示过平面区域内的点与（- x+11,- 1）的直线的斜率,显然直线AC斜率最大，直线 BC斜率最小,1413+1 2则1的取值范围是（11.（ 2016?衡阳二模）已知变量y满足*x+y- 2>0IA .号B .务劭C卓号D.尙2答案：丄，上飞-2y+4>0解：作出满足x&l
9、t;2所对应的区域（如图阴影），計厂2>0£变形目标函数可得表示可行域内的点与1的和,1+亠丄0+2 24. “平面区域的面积”型考题12.设平面点集A= (y)l(yx)( y 1 ) >0, b= (x,2 2y)l( X 1) + (y 1) < 1，贝y An B所表由图象可知当直线经过点 B (2, 0)时，目标函数取最小值 1+丄丄* ;2+2 4当直线经过点 C( 0, 2)时，目标函数取最大值示的平面图形的面积为A.3 nn40,或0B表示示的平于直线0,集合0.x1xAn B所表答案：D 解:不等式(y x)( y 圆(x 1)2+ (y 1)2=
10、 1上以及圆内部的点所构成的集合，面区域如图阴影部所示.由线y ,圆(x 1) + (y 1) = 1均关xy = x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项.5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过 定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析 才能准确获得答案13.(2016兴安盟一模)若x，y满足不等式组，且y+冬的最大值为2，则实数m的值为( )-C. 1D .22A . - 2 B .答案：D解： yx的最大值为2,此时满足y+x=2，作出不等式组对应的平面区域如图:同时A也在直线y=mx上，
11、则 m=P,214.（ 2016?绍兴一模）若存在实数x, y满足- y - 2<0 x-2y+2>0 n+y- 2>0 ip (x+1) - y=0则实数m的取值范围是（答案：DB .(二C.(Iir2x-y-2<0解：作出x - 2y+2>0所对应的区域（如图 ABC即内部，不包括边界），s+y - 2>0直线 m （x+1） - y=0，可化为y=m （x+1 ），过定点D (- 1, 0),斜率为 m,ir2ic-y - 2<0x-2y+2>0存在实数x, y满足's+y2>0m (时1)- y=0则直线需与区域有公共点,s
12、+y - 2=0 2x-y- 2=0解得B烂挣,解得A （上，上）3 3<m v6. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成直线的斜率”、点到直线的距离”等模型进行讨论与研究x -15.( 2015?山东)已知x, y满足约束条件'x+y<Z2，若z=ax+y的最大值为4,则a=()A . 3 B . 2 C. - 2 D . - 3答案：B解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为 4，则2a=4，解得a=2,目标函数为z=2x+y，即y= - 2
13、x+z ,平移直线y= - 2x+z，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z最大为4,满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为 4,则a+仁4,解得a=3，此时，目标函数为 z=3x+y ,即 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z最大为6,不满足条件，故 a=216.( 2016?扶沟县一模)设x, y满足约束条件若目标函数z=ax+by ( a> 0, b> 0)的最小值为2，则ab的最大值为()答案：C解：满足约束条件2s -的可行域如下图所t 目标函数 z=ax+by (a> 0, b>
14、 0)故 ZA=2a+2b, zB=2a+3b,由目标函数z=ax+by (a> 0, b> 0)的最小值为 2,则 2a+2b=2，即 a+b=1-=1则abw 故ab的最大值为丄7. 其它型考题17. （2016?四川）设 p:实数 x, y 满足（x- 1） 2+ （y- 1） 2<2, q :实数x, y满足pAx - I ,则p是q的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案：A 解：（X- 1 ） 2+ （y - 1） 2W表示以（1, 1）为圆心，以为内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必
15、要不充分条件.18.某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg ,用3个工时，生产一件解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件，获利为z元.由题意,去皿N1. 5x+0. 5yl5011-0.L5xf3y600z=2100x+900y .不等式组表示的可行域如图：由题意可得I代.3y=90L5x+3y=600，解得:,A(60, 100),-Too产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料90kg, 则在不超过
16、600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.目标函数z=2100x+900y 经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值:2100 >60+900 ><100=216000 元.答案为：216000.A, B, C三种主要原料，生产 1扯皮甲19.（2016?天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:10现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生 产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x.y
17、表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1 )用x, y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润.r4n+5y<200解：(1) x, y满足的条件关系式为:< 3x+10yC3Q0 玄0作出平面区域如图所示：(2)设利润为z万元，则z=2x+3y .y= -rx+=.3 3当直线y= - -x+T经过点B时，截距 Jz最大.最大，即解方程组-得 B (20, 24)3x+10y=300 z 的最大值为 2 >20+3 >24=112 .答：当生产甲种肥料 20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元.