《线性代数习题二解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数习题二解答.doc（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、B策略石头剪刀1. 两个零和对策问题 .两个儿童玩石头 -剪刀- 布的游戏，每人的出法只能在 石头- 剪刀- 布 选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势” ，也就 得出了各自的输赢 .若规定胜者得 1 分，负者得 -1 分，平手各得零分，则对于各种可能的局 势（每一局势得分之和为零即零和） ，试用赢得矩阵来表示的 A 得分.策石头0策略策剪刀 1布布110删了 2. 有 6 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手 1 胜选手 2，4，5，6 负于 3；选 手 2 胜选手 4，5， 6 负于 1，3；选手 3 胜选手 1， 2，4 负于 5，6；选手 4 胜选手 5， 6
2、 负于 1，2，3；选手 5胜选手 3，6负于 1，2，4；若胜一场得 1分，负一场得零分试用矩阵表示 输赢状况，并排序 .123456110111200111解311100 ，选手按胜多负少排序为 1 2 3 4 5 64000115001016001002. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵 A与矩阵B.且35721320A 2 0 4 3 ， B21570 1 2 30648试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量35721320解AB20432157012306481111233.设A111，B124，求 3AB2A 与 AtB111051111123111解
3、3AB3A31111242 1 111110511114. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量 用如下矩阵表示：若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为 10元，8 元，7元，试用矩阵的乘法求出以 何种方法获利最多 .10 7222AB25解 A 8 44 ，方法一获利最多7 5912105. 设 A，B，问1312（1）ABBA吗？（2）AB 2 A22ABB2吗?（3）AB A BA2B2吗？因为 AB34，12BA，所以 AB BA4638（2）A2BA222AB B2解（1） AB BA,因为A2 2AB B2 3868101016411812341
4、5272 2 2所以 A B 2 A2 2AB B2（3） A B A B A2 B2因为 A B 2 2 ，A B 0 22 5 0 1220206A B A B250109A2 B2 3 8 1 04 11 3 4故A B A BA2 B26. 举反例说明下列命题是错误的：（ 1） 若 A2 O ，则 A O ；7(2) 若 A A，则 A O 或 A E ;(3) 若 AX AY，且 A O，则 X Y .2O，而 A O ,1 0取 A 0o，有 A。，A E，而 A2A，1010(3)取 A，X00007.设A1 05求A2，A3,|,1'III'21010解AAA1
5、1321010A A A211由此推出Ak10k 2k1Y 1 0，有 X Y，而 AX AY. 0 1Ak.10 ；21 ；10 ；31 ；下面利用数学归纳法证明这个结论. 当k 1, k 2时，结论显然成立.假设k 1时结论成立，即有Ak 110k 11则对于k时，有Ak A< 1 1'1A0 10k 111108.增加设A 01，求 Ak.00解首先观察kk k1 k(k1) k 22由此推测Ak0kkk 1(k2)00k1 k，故结论成立.用数学归纳法证明： 当k 2时，显然成立.假设k时成立，则k 1时,k k1由数学归纳法原理知：Ak00k(k 1) k 2 2k k
6、1k8.设A B都是n阶对称矩阵，证明ab是对称矩阵的充分必要条件是 abba.证明由已知：at abt b充分性：由ab ba，得ab btat，所以ab ab t即 ab是对称矩阵. 必要性：由 ab t ab得,BtAt AB所以 BA AB.删了9.设A B为n矩阵,且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵.从而证明已知：At Abtabb' b'aaBtAtB BtAB11.btab也是对称矩阵求下列矩阵的逆阵（a（1）、（ 3）用公式法和初等行变换法求解）2100a2On公式法:故 A1初等行变换法:所以a1故A 1存在从而A1cossinsincos 公式法；A
7、2, 故A 1存在On 0 改 4100032104321210故A 2 1 1113X2104321 1 1|A1331A221671而A213A226A321初等行变换法:(4)由对角矩阵的性质知 A丄印 1a2210所以A1空312216711234100010341200认,0123010001230100改40012001000120010000100010001000101an10.解下列矩阵方程:(1)2111 13(2)X21074 3211101010 0143(3)100 X00 120100101 012021546解(1)X132 111X141 23120 1 101
8、删了13.利用逆阵解下列线性方程组：12 3X11解(1)方程组可表示为22 5X22351X33x1123111故x222520x335130X11从而有X20X30111X12方程组可表示为213X21325X30X1111125故X22131 0X332503X15故有X20X33102 1删了14.把矩阵203 1化为行最简形矩阵30431021o 1 02 2r121解2031r3 3r1 0 01330430 02015.设方阵A满足A2A 2EO，证明A与A2E均可逆，并求其逆矩阵证明由A2A2EO 得 A2 A 2E两端同时取行列式：A2A2即 |A|A E 2,故 |A 0所
9、以A可逆,而A 2E A22 2A 2E A A 0故A 2E也可逆.由A2 A 2E O得所以A 1A(A E) 2A 1E，贝U A 1 丄(A E)2又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E所以(A 2E) 1(A 2E)(A 3E)4( A 2E) 11 1则 (A 2E) (3E A)4.改11.设方阵A满足A2 2A 5E O，证明A 3E可逆，并求其逆矩阵由 A2 2A 5E O 得 A3E A E2E，即3e1 A所以，a 1才A12.已知对给定方阵A，存在正整数k，成立Ak试证E1A可逆，并指出E A的表达式.证明E AkE A EA 川 Ak1 ，而
10、Ak所以 E A E A |Ak 1E，贝U E A 1 = E川A'解因为A 1Aa，12A 5A1 +1A 2，求2A5A13.设A为3阶方阵,所以A AA1，代入，得1 11 1-A5 A221a1 5AA12A又 AA 1 E 1, A 丄，故 A 12.2114.设方阵A可逆，证明其伴随矩阵 A也可逆，且 A A证明由A1所以 当A可逆时，有AA" '0 ,从而A也可逆.因为A A A 1，所以A 11A1A1 A A1 ，所以另外：1辅导书中n阶矩阵A的伴随矩阵为A的性质证明. AA A A AEP41.定理，当A可逆时，A |A A1（证：由AA A E
11、左乘A逆得出）；1 _当A可逆时，A A 1|AA(证:A A 1左乘A得AAAE,由定理推论，得A1 1aa，A E左乘A，得 A 11 A)；At(证:AAAE,得TAAAtAE，同样atatatAE，所以at(证:AEAE,A又AA AE,故AAA,当A可逆时,n 11 A ).AB=B AAB AB=AB E ABEABA BBA B EAB AABAE，得 AB=B A )；(证:AAAE，AA当A可逆时,An1 0.同样E，左乘A，得AAA AEAn2A).(8)AAAE,当A可逆时，左乘A1，A 1AAA A1，即 AAA1，证明：(1)若 A 0,则 A 0;(2)证明(1)用
12、反证法证明假设0则有A (A ) 1 E，由此得1A AA (A )1A E(A) OO，与A0矛盾，故当| A 0时，有A0.AnA1故 A |A a(9).2.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A E，取行列式得到：A A A .1 1由于A A ,则AAIAI0由(1)知0此时命题也成立.故有A A115.0，AB E A B，求 B.1由AB EA2加了16.设三阶矩阵A，B满足关系：A1BA6A BA，且10021A00 ,40017求B.033加了17.设 A110 ，AX A2X，求X .12303 3删了19.设 A110 ，ABA2B，求B.12 31000 00 11 0因为10,所
13、以A E可逆，则2313033033故B (A12E) A110110123121123110删了21.设 P 1AP其中P1141，=-1"00，求 A11解因为P 1AP故AP P 1所以A11P11p 111101 0而11020 21114故A11141033273127321102111 1683684331 111删了22.设APP，其中P 102 ,_11 115求 AA8 5E6AA2.解因为APP，所以AP P 1;22 21又P6,P1 303 ,8_16812 1511 11222所以A PP1 1 10 21303611 15 121所以A8 2A 5E 6A
14、 AA8E A5EA1 0 0E A 0100 0 1120020232222021020又因为5 5822 58158所以 A1 2 2 5824 5822 5861 522 585581加了18已知APP，其中P22B均可逆,19.设 AB和A证明A0204202222220200240010010 ,=000 ，求A及A511001B 1也可逆，并求其逆矩阵.因为CA B 1BB 1A，由 ABAA1B 1B E所以A11可逆,其逆为B.解二由A1，又A、B均可逆，故A 1可逆,所以，A1B 1也可逆.解三A B均可逆，A1AE, BB 1A1 B 1 A 1E EB 11BBA 1AB
15、 1ABB所以，A1 B1也可逆,1B A.20将矩阵A2442122135641420化为行阶梯形矩阵,2并求矩阵1A的一个最高阶非零子式.142542f 001 2426 2001 22140001 11 31131其一个3阶介非零子式为0 12，对应于A的3阶非零子式为2540 01262312132r1B的秩为3,解 A2131即为矩阵A的行阶梯形矩阵，矩阵A的一个最高阶非零子式为21.用初等变换法求下列矩阵的逆：111(1) 21171203201/、 0221(3)1232012122.求方阵A的秩.10013103解 A12011457所以R A410 0 1r2 3r1r3 r
16、010 0r4>1020 204561357/、 0123(4)00120001321(2)315；32323.设A为n阶矩阵，且A2 A,证明R ARAEn.增加矩阵秩的性质1. 0 R Am n min m, n P57;2. R A R kA 其中 k 0 ；3. R AtR A，即行秩二列秩P57；4. 若 A, B 等价，贝U R A R B ； P585. 若P,Q是可逆矩阵，则R A R PA R AQ R PAQ ;6. max R A， R BR A,B R A +R B ;注：证明R A，B R A R B，特别地，当B b为列向量时，有证明 设1, 2,1, r为A
17、的列向量极大线性无关组，1,2,1， t为B的列向量极大线性无关组，贝U A, B的列向量均可由1,2,|,r, 1, 2,卅，t线性表出，而1, 2,|, r, 1, 2,| , t中线性无关的向量一定不超过r t个，所以R A, B R A R B .特别地，当B b为列向量时，有R A, b R A 1.为A的列均可由A, B线性表出，B的列均可由A B线性表出，所以R A R A, B , R B R A, B，于是 max R A , R B R A, B .7. R A B R A +R B ；abbabb证明一因为R A B R，对于方阵作初等变换，有B BB BA BBr1Er
18、2A O cEC2AOBBB BOBEEABB E OAO即OEBBEEOB所以RABBA ORBBO B从而RA OABRR ARB .O B证明二RABR AE BERA,BEEmin R A,B ,nRA, B R A R B证明三 因为A B的列均可由A, B的列线性表出，所以R A B RA B R A R B .8. R AB min R A , R B ；.证明 设Ami, Bln, R a r, R B s.因为R A r，所以存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ E °，于是 O OR AB R PAB R PAQQ 1B R E O C , O O其中C Q 1Bqbn
19、I*IIIbn4所以E Obr1R AB RC RIIIBnO O0III04*0III40显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非 0行数（=r ）,也不超过C的秩（=s ）,所以R AB min R A， R B故A8A8OO a29. 若 Am nBn i O，则 R A +R B n;证明 P146.3 4O43，求A2 2,A3 解 A，令A 2 0 O2 0O2 224.设 A3 4O5. 设 A 0 ,证明 R AB R B证明因为A 0,故A可逆，则存在有限个初等矩阵P，B,|, P，使 A PP2|p ,于是 AB RP2|pB由于初等矩阵左乘某一矩阵相当于对该矩阵进行了一次初等行
20、变换，这个矩阵的秩不改变, 从而 即 R AB R B2.设A为n阶方阵（n 2 ）, A为其伴随矩阵，证明证明当R A n时，A为满秩矩阵，故A 0.由AA AE，得AA| A A |A E |An，于是有 A |An 1 0，则 R A n.当R A n 1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n 1阶子式不为0，从而A至少有一个元素不为0，所以R A 1，另一方面，因R An 1，故A 0，所以AAAE O根据秩的性质，有若A, B为n阶矩阵，且AB O，R B n，有 R A R A n，从而 R An n 11，故A n 1时，由矩阵秩的定义知,A的所有1阶子式全为0,从而A O，故0
21、.27.设n阶方阵A和s阶方阵B均可逆,，利用这个结果求矩阵的逆矩阵.利用这个结果取则由An11CsnAn1A11121CA 1112A11242412012AnCs no得1得B 1s丄24OBsEnOOEs1241231121021200310004丄2424121230124500820006O a改25.设矩阵A和B均可逆'求分块矩阵b。的逆矩阵'并利用所得结果求矩阵的逆矩阵.26.证明 AB A B （ A、B为n阶方阵）证明设A aj，B bj 记2n阶行列式为j列上而在D中以bij乘第1列，b2j乘第2列，bnj乘第n列，都加到第nj 1,2,n ,有其中C Cijn, Cj aiibij ai2b2jIII anj，故 C AB，再对 D 的行作rirnj j1,2,j, n，有从而由第一章的例题结果有于是AB A B