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1、n( n1) 在几何计数问题中的妙用2湖南省冷水江市七中（ 417500）李继龙从 n 个元素中任意取两个元素进行组合，其组合方法有n(n 1) 种，记作 Cn2 。如2果能够将n(n1) 公式灵活运用到平面几何图形计数问题中，可以大大简化统计过程。2下面就从几个方面谈谈n(n1) 在几何计数中的妙用。21. 直线交点的计数例 1 如图 1，平面内有 n 条直线，其中无任何三条直线交于一点，求这些直线的交点个数 .l n分析平面内这n 条直线可以看成n 个元素，因为每两条直线有一个交点，相当于从n 个元素中任取两个元素进行组合，故共有交点数C n2 n( n1) （个） .22. 线段的计数例
2、 2 如图 2，一条直线上有 n 个点，求这条直线上有几条线段？分析 因为任意两点可以确定一条线段，l3l1l 2图 1? ? ?A 1A 2A 3An图 2可以把 n 个点看成 n 个元素，从 n 个元素中任取两个点的方法共有Cn2 n( n1)（种），2故这条直线上共有线段的条数是n( n1) （条） .2例 3平面内 n 个点，其中任意三点不在同一直线上，求过任意两点所作线段的条数。分析由于过两点可以作一条线段，从n 个点中任意取两点的方法Cn2 n( n1)2（种），故可做n(n1) （条）23. 直线的计数例 4 平面上有 n 个点，其中无任何三点在同一直线上，若每两点作一条直线，问
3、共能作多少条？分析 将平面上 n 个点看成是 n 个元素，因为过两点有且只能作一条直线，从n 个元素中任取两个点的方法共有C n2 n( n1) （种），故可作直线n(n1) （条） .224. 角的计数例 5 从点 O出发引出 n 条射线，求由这些射线组成的角共有多少？分析角是由公共的端点的两条射线组成的图形，因此这 n 条射线中的任意两条射线就可组成一个角，故共有角Cn2 n(n1) （个）P25.三角形的计数例 6 如图 3 所示，其中有多少个不同的三角形？分析 因为每一个三角形均含有顶点 P，所以 A1An上的任意一条线段就对应着所要求的一个三角形；反之，每一个三角形在 A1An 上对
4、应着一条线段，故所求三角形的A 1A 2 A 3 A n-1 A n图 3个数就等于线段A1An 上线段的条数， 由线段的计数方法知共有线段C n2 n(n 1)（条），2即不同的三角形共有n(n1) （个）。26. 多边形对角线的计数例 7如图 4，求凸 n 边形对角线的条数。A4A3分析凸 n 边形的对角线的条数等于过n 个点 ( 任意三A 5A2?点不在同一直线上 ) 中的任意两点所作的线段减去凸n 边形的?n(n1)A n边数。由线段的计数方法知，线段共有( 条) ，又凸 n图 4A 12边形的边数为n 条，因此凸 n 边形的对角线有n(n1) n n(n3) （条）227. 四边形的
5、计数例 4平面上有两组相交的平行线，第一组m 条，第二组 n 条，试问能构成多少个平行四边形？分析要想构成一个平行四边形，必须在水平方向和竖直方向各选两条直线，即在第一组和第二组中各选两条直线。在第一组的 m 条平行线中任选两条直线的选法有C m2 m( m1) （种）2在第二组的 n 条平行线中任选两条直线的选法有C n2n(n1) （种）2由乘法原理可知， 可以构成平行四边形的个数为221(1)(（个）。CmCnn1)4mn m例如，有两组不同方向的平行线，一组有4 条，另一组有6 条，它们彼此相交，则1平行四边形共有46(41)(61)90 ( 个 ) 。4四边形的计数方法，与前面几种方法有一定的区别，它要分两步，第一步是用2n(n1)C n分别求出水平方向 （朝某一方向） 和竖直方向 （朝另一方向） 直线的选法 2数，第二步是根据乘法原理将两种取法数相乘。从上述几个例题可以看出，在数学教学中要善于发现问题中隐含的规律，并及时总结，这不仅仅能够起到事半功倍的作用，而且能培养学生的探索精神，也符合素质教育的根本要求。发表于考试报中考版2005 年第 37 期