《2-22.3数学归纳法学案2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2-22.3数学归纳法学案2.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资源课堂探究探究一利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数是多少，项的多少与 n的关系是什么，由n=k到n=k+1时项数增加多少项，增加怎样的项等.【典型例题1】用数学归纳法证明:i i i1n_1 X4+ 4X 7+ 7X 10+(3n 2 13n+ 1 厂 3n+ 1(nC N + ).证明:(1)当n=1时，左边=1X4 4右边二113X1 + 1 4,欢迎下载左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(k>1, kC N + )时等式成立，即1111_ k1X4 4X 7 7X 10 3k2 3k+13k+1则当n=
2、k+ 1时，111111X4 4X 7 7X 10(3k-2 j3k+ 1) (3k+1j3k+4)k13k2+4k+ 1= + =3k+ 1 (3k+1 pk+4) (3k+ 113k+4)(3k+ 1 j(k+ 1) k+1k+1=.(3k+ 1 n(3k+ 4 ) 3k+ 4 3(k+ 1 )+ 1所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)知等式对nCN+成立.探究二用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明.【典型例题2】用数学归纳法证明：1+打+十 才>赤(其中nCN+, n>1)
3、.思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由 n=k证n= k + 1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论.证明:当n=2时,左边=1 + 1=，2,右边=2, h+2，寸2=1乎0,所以左边右边，即不等式成立.(2)假设当 n=k(k>2,kC N + ）时，不等式成立，即1+爰+J+>Vk,则当 n= k+1 时,.k+ 1（方法1）因为如向- 6 5：+1Hk+1)，k2+k- k所以 #+ F= > 'k+1 ,k+1业+而+或+河>k+ 1.（方法2）因为5+什五2A/k+1+ k+1Vk2+1k+ 1k+ 1,所以1 +忑+诉+
4、+反+不>k+1.即当n= k+ 1时原不等式也成立,由（1）（2）知原不等式成立.点评 本例中在应用归纳假设后，方法1是利用了比较法，方法2是利用了放缩法来进行后面的证明.探究三用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n=k+ 1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.【典型例题3】 用数学归纳法 证明：n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除（nC N + ）.思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.证明：（1）当n=1时，13+ 23 +33 = 36能被9整除，所以结论成立；(2)假
5、设当n=k(kCN + , k> 1)时结论成立，即 k3+ (k+ 1)3+ (k+ 2)3能被 9 整除.则当n=k+ 1时，(k+ 1)3+(k+ 2)3 + (k+3)3=k3+ (k+ 1)3+(k+2)3 + (k+ 3)3k3=k3+ (k+ 1)3+ (k + 2)3+9k2 + 27k+ 27=k3+ (k+ 1)3+ (k + 2)3+ 9(k2+ 3k+3).因为k3+(k+ 1)3+(k+2)3能被9整除，9(k2+3k+3)也能被9整除，所以(k+1)3+(k+ 2)3+(k+3)3 也能被 9 整除，即n = k+ 1时结论也成立.由(2)知命题对一切 n C
6、 N +成立.探究四归纳一猜想一证明1 .由已知条件首先计算数列an的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列an的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法.2 .在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的 方法.【典型例题4】 某数列的第一项为1,并且对所有的自然数 n> 2,数列的前n项之积 为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律.同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可
7、分段表示.证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.解：(1)已知a1=1,由题意，得a1 a2= 22,-32= 22. a 1 02 a3 3 , a3 22.4252同理，可得 04 = 32, 35 = 42.因此该数列的前五项为1,4,4,196,25.1, n=1,(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为an =2n2, n>2, nC N + .n- 1卜面用数学归纳法证明当 n>2, nC N+时,2nan=2.fn 1 当n=2时，a2= 222,猜想正确.2T假设当n=k(k>2, kCN + )时，猜想正确,k2即 ak= -Jk-.L)&
8、ak 1 = (k 1)2,_ (k+1 )_(k+ 1 2k (k+1) 12,当门=卜+1时，猜想也正确.根据和，可知当 n>2, nCN+时，这个数列的通项公式是2nan =2.n-1n= 1,2 n 2, n>2, nC N + .n 1探究五易错辨析易错点：因不运用归纳假设而出错【典型例题5】用数学归纳法证明:2X4+4X6+6X 8+ 2n(2n+2 : 4(n+1 )(n。N )错证：(1)当n= 1时，左边=,右边=2X4'4(1 + 1) 4X2,等式成立.(2)假设当n=k(k>1, kC N + )时等式成立，那么当 n=k+1时，直接使用裂项相
9、减法求112X4 4X6-1-+ +1+6X 82k 2k+212k+2 2k+41-1 1、1 1、，工_=2上一4尸16.尸一段2k+21+1110k+2 2k+4 11k+1Cl 141=2k+ 44 k+ 1 + 1n= k+1时等式成立.由(1)和(2),可知等式对一切 nCN+都成立.错因分析：由n= k到n= k+ 1时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，不符合题目要求.111正确证法：当n = 1时，左边=71 = Q，右边=O ,等式成立.2X488(2)假设当 n=k(k>1, kC N + )时,2X 4+4X 6+ 6X 81 +k .、成立.2k(2k+2) 4(k+ 1)那么当n=k+1时,2X 4+4X6+6X8+ +2k(2k+2(2k+212k+4)4 k+ 14 k+1 k+24 k+ 1 k+2k+1 2 k+1 k+14(k+ 1 Jk+ 2 ) 4(k+2 ) 4(k+1 1 1，当n= k+1时，等式成立.由(1)和(2),可知对一切nCN +等式都成立.