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1、2020北京大学强基计划个人解析1正实数屁幵乙忡满.x>y>w ,且x+y<2(iv+z) r则上+二得最小值等于()x yA.|B.£C.lD前三个答宰都不对解析：因为 x + y<2(w+2)，则 z=X2h，,贝 y2T+£>+£1Zz = 1+2L_+1 = A+1+H'Zz£X y X 2y X 2y y 2 2y 2 qn丄+丄+1ZS尸丄+丄+q =丄+丄2v 2 AT 2v 2 X 2v v 22Ub9 9当且仅当入二血”，=wj + y = 2(w+z)时,等号成立,故选D.2. 在(2019x20
2、20)?血的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为()A.16B.31C.32, D前三个答宰都不对解析：素数唯一分解理论因为(2O19x 2020)1°21 = 2W2 xS2021 x 1O12021 X32021 X673202'可以选取最小质数 2 f 3 , 5 , 101 f 673 f 那么剩下 的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个不放选，再进行组合再5个因数里面分别选取2个， 3个，4个，5个则一共有32个，则最多可以选取32个，故选C.3. 已知数列©满足：5=1“ =4 ,且对任意的 12有小=2
3、心，则02020的个位数字是()ASB.4C.2D.前三个答宰都不对解析：因为":-"”_s =,则监-2 = 2"因为靳-J如=為-2曲“，则注也_ =如也=出竺因为& = aa3 + 2 r 则 =14 ,故?心 _ 邑=细 + 山=4%、 a2即.畑=也”,欲求个位数字,只需让5模10.其结果为 lr4,4r8/4>0f2/8/8r6/8/0r4,6i6,2r6f0r8r2i2f4z2l0f6r4Mr8r4 , 0.从a2开始周期为24 r则6/2020的个位数字是8 ,故选A.4. 设是方程.+2.0+3疋+心+ 5 = 0的4个复根,则吧+
4、二+工+仁的值为()“+2b+2c+2d+24 7 7 A+ B. c" Ds川济警渤 M fw端玄-田閤血凹sh: + 0+c+hi2 PL0 + w+A+?+E+c.d=3» all 011 c 1 dll A Hzbc +z->d 十zcd 十 bed H 卜 r Hzhcd H 5 耶+ a + 2 b + 2 ;2 d + 2 萝= 4 3(卜+卜+卜+卜一兀劭卜+卜+卜+卜 r+2 b + 2 c + 2 d + 2J a + 2 b + 2 c + 2 d + 2 «- + 1 1 + 1 M(b + 2)(c + 2)(d+ 2) I + 3
5、2 + 12S + 4P 16 a+ 2 b + 2 c + 2 d + 2£+2)(b + 2)(c + 2)£:+2) + 16 + 2q + 4p + 8s 9 密；4 2:2田Itcv凹®俳A3 35菸<0川>決匕c3貯木涉7K5OIC斋E AB呼m更回3S诜M AB3蛊木烷HI油D - ADVBD逵n 6令|3一 6B 4令37? 一 6»J SEO n召>1123 盘 c.166 站 xwzisk + v、M-BR 涉普CIJMlsin(y + zlx)2.n(x+z y)s.n(x + ylz)glA sinxsinysi
6、nz c 一 an a Jan y 二 an zB cos NnosyboszDs川-»胸树您另誇s?i-Iainv+zl.vTsinu + zlxTsxx+ylzTzsinycoxxlz)0= sin(x+ z)cosy lcos(x + lz)siny Hsin ycoAx z)淫 siAx + z)cos y H sin 二 cos(x + 2) + CO.XX I z)H 2sinycosA,cosz5!hanx +【anzH2【any s俳 c.7.M 谕 一 9x + 93y H4P3曝朝3-»鹫涉() A.4 B.8 C.1619涉 一 9x+93y=4p J
7、W(4xl93)(4yll9T93xl9M3xl9x31邑4H14x193 U93X-9;淫4x193 H93X191.制豊X此时无解;则4y 19 = 34.v-93 =-31x19 '此时'v = 4 .v = -124:二;：；呎此时无解;则1级-19 = 194x-93 = -93xl9则卩19 = 31牡-93 = 57，此时无解；则、4v-19 = -31493 = 57，此时y = -3x = 9贝叽f4v-19 = 57493 = 31二;则4v-19 = -57號一93 = 31，此时无解f4v-19 = 93493 = 19，此时伫加则(4v-19 = -9
8、2爲+5街"1冈9此时493 = 314y-19 = -31x194入一93 = 3f4v-19 = 19x93此时无解;则.'4y-19 = -19x934.y-93 = -1= -437'此时"解析二:同余 因为 19人+93.，=49 ,贝y(4x-93)(4y-19) = 93x19 = 3x19x31 因为 4.v -93 = 3( nxxl4).4y -19 = 1( mod4),故共8组，选B.牡-19 = 391311767一1一57,-93,-5894y - 93 =28. 从圆As = 2AB d =审 Jr（241-F） <10
9、,故面积的最大值为10 故选B + V2 = 4上的点向椭园C: 7 + b = 1引切线，两切点间的线段成为切庶弦贝！I椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A.fB，vC.fD.前三个答宰都不对234解析：切线系方程如图所示,设点A2血8）则BC直线方程为cos&'X2sin& y = 1由于二+=1在点（“so加初o） e的切线方程为竺空+时丄T/r'ah则1.匕气f因此sS + 2Ty = l为椭酣+4宀1的切线系方程由椭圆的面积可得血专故 选A.9. 使得5a +12 «（-v+y） 5x+12元a（x*y）对所有正实数儿$都成立的实数a
10、的最小值为（）A.8B.9C.10D.前三个答宰都不对解析：侍定系数66°5x +12Jxy = 5x +12 m.r <(5 + 6加)x + y,令 5 + 6m = ,m =二mmm3则5x+12J7T<9（x + y）,则 70 J, * 解析二：仿射变换 不妨设=X= = y，则X + 尸=1，直线为4Y = 15X + 14Y=15X+1 4 v + 12<9 ,则a>9 ,故选B. x + y10. 设P为单位立方体ABCD - AQCQ上的点则PA.+PC ；的最小值为（）A. J2 + 4B. j2 + 2>/IC. 2斗D.前三个最都
11、不对解析：最小值为血，故选D.11 数列aK满足q = g = 9 ,且对任意n » 1有畑=*伽-H -20 f其中前”项和为S”，则函数Sn的最大值等于（）A.28B.35C.47D前三个答宰都不对解析：因为 J =5-地一 20，则 %2-%T0 = 3（%-%-10）, 故71-5=10-2x3 ,则当C3时，数列为单调递减数列 可求得5 = 1344=5，当沦5时,a.<0 ,则二的最大值为S4 = 28，故选A.12.设直线y = 3x+m与椭園気+ $ = I交于A'B两点，O为坐标原点，则三角形OAB的面积的最大值为（ ）A.8B.10C.12D前三个答
12、宰都不对 解析一:直接计算联立方程可得 241x2 + 150找+25/?r-400 = 0则B =皿Z 7 1=皿？心i'.d =鉴则 5 = 20S' <10 r故面积的最大值为10 ,故选B.241y/1013.正整数门3称为理想的，若存在正整数1SG 1使得CJV.CT构成等差数列f其中C； =（ t为组合数，则不超过2020的理想歇个数为（）k !（,】一A?）!A.40B.41C.42D前三个答案都不对名迈 0 ins : "0 ins<5ins( )痕®gU2&U2 旨-I«H，:& M 0P_G7 &am
13、p; H 一GV哥怒、。脣Q H 售Q6=& h WQCIHQf!nl隹g-Hog理盘冬径JQQ.OOZHVZ任u马股龙 c 寸<g朝副凹tig二 聞凹攫昴eAIwAItr駅出鼻氏旨档H7S.7SI-閱凹攫祐EAIWAI耳駅屮乐氏旨榕 1 J H c e cH73's -EAIwAItHM WHeifim 疑心怜湘曲朵 e+Tg z7*龙丄i< one丈飞+N守J#密刪限+H采4玄 OHe J铮+XI +寺)IW 咖向廻艺 Ju+Tvuvcg 屐蠢tt烙舉卡VUTU驱冋駅制田-1e>9 呂。qe+9:s导白品gBbQE:QU2t7 + 9 ,。+ 9 SOEe
14、 I 存 A 9 §©+goe + g V (9)、sylsr9ICWBTr+ 9 "so。+ q sou% I 号 + 9 sou +H (9)、只図、起晋9弭眾呃-归魅 e+wu铃+se q 铅+gvHUMuyluYHOClup Fl.ssfi.sSMZOe 10.ZSU I WXQW? fl=2 去図7 U.S &u_s 72s &UIS 第H自到叵剤H嚼去図0 uis & U.S w ins & ins a n - v H - m Qv E _Qy £ 一匚 sn ? ¥J<7V7 赛K-1 ozo
15、c 0-2 d V因为 4v/r() + 2>/2c'os0 < 4sin0 + 2y/2cos6 = 26$加(&+°) < 2>/6两个等号不同时成立,故+ 2l2cosO < 2>/6 ,则选D.16方程Jx + 5-4麻+1 +厶+ 2-2石+1 = 1的实I艮个数为()A.1B.2C.3D前三个答宰都不对解析：由题意可得原1 -2卜|厶+1 -= 1当1<V77T<2时，上式恒为1,故选d17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G .已知BF：ra = 5:4,AG:GD = l:h
16、CF:FG:GE = 2:2:3 ,工问 和丄俶 分别为 山应)和显BE的面积，则S°CFD :的值等于()A.8 : 15C.11 : 23D.前三个答宰都不对解析：如图所示，廷长CF=CM则根据比例可得加加Q则777 = 777 = 7 -因为G为找)中点GD GM 2综上所述：满足条件的 "决133组，故选B.19満足对任意心1心1有伽=23© ,且严格递堵的数列叫的个数为（）A.0B.lC.无穷多个D.前三个答宰都不对，其中均为正实数，则有（）B/有最大值但无最小值D.前三个答宰都不对屮.乜=2y+z+x z+x+y解析：因为“十2"-恥，则守”
17、弓守+ 则，则务卜卜肌异）皿”=列心0” 当q =：时，满足严格递堵，当“严（时，会出现正负交替，不满足，故选B.20设函数= 亠 + 亠 + 亠 x + y V + z Z + XA/既有最大值也有最小值C/有最小值但无最大值解析：糖水不等式因为$ =亠+_ +厶< L + x+ y y+ z Z + X X + V + z当x = O.z = L v->-kc时，5->2，故无最大值a- a xy zxvz.x + yy + zz + xx+y + zx + y+zx + y + z当x = O.y = l,ZTRC时，S->1，故无最小值，故选D.14因此 AO
18、= OG = 1GD,A/D = -B£MD = 2OE ,则 OEBE .不妨设 S财=598贝!J S“aoe = 2Sa = 4.S® = 4x：=)因此 S®：Sm=8:15,故选 A.1&设p , g均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式/(x) = P + /u + g的个数为()A.99B.133C.150D.前三个答宰都不对解析：因为f(x) = x1 * * * 5pxq有有理根，则有理根必小于零设A(1=-，且(加皿円，则-哮一竺+厂0nn n贝!J qn = ms + pm/C f 显然川加 f 因为(加 f ”)=1 r 贝!J ”1 f 故 q = nd + mp因为 § = nF + mp < 1(X) r 故 1 < < 2当加=1 时， = 1 + /?<1OO r 因此 1<</<99 ,共 99 组当加=2时，<y = 32+2p<100 , SXl<p<34，共 34 组