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1、数学选修 21 知识点总结第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论 .3、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题， 另一个称为原命题的逆命题。 若原命题为 “若 p ，则 q ”，它的逆命题为 “若 q ，则 p ” .4、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命
2、题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ” .5、对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ，则p ”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：12两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 pq ，则 p 是 q 的充分条件， q 是
3、p 的必要条件若 pq ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q 当 p 、 q 都是真命题时， pq 是真命题；当p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q 用联结词“或”把命题当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q 是真命题；当p 、 q 两个命题都是假命题时，p q是假命题对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真命题9、短语“对所有的” 、“对任意一个
4、”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个 x ，有 p x 成立”，记作“x， px ”短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“x， px ”10、全称命题p ：x， px ，它的否定p ： x，p x 。全称命题的否定是特称命题。特称命题 p ： x， px ，它的否定p ：x，p x 。特称命题的否定是全称命题。第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点
5、Mx, y 及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。2、平面内与两个定点F1 ， F 2 的距离之 和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。MF1MF23、椭圆的几何性质：F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称2a 2a2c焦点的位置图形标准方程第一定义第二定义范围顶点轴长对称性焦点焦距离心率准线方程焦半径M ( x0, y0 )焦点在 x 轴上焦点在y 轴上x2y21 ab 0y2x21 ab0a2b2a2b2到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数2 a ，即 | MF1 |MF2|2a （ 2a| F1F2 |）与
6、一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即 MFe (0e1)da x a 且b y bb x b 且 a y a1a,0、2a,010, a、20,a10, b、20,b1b,0、2b,0长轴的长2a短轴的长2b关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称F1 c,0、 F2c,0F10,c 、 F20,cF1 F22c (c2a2 b2 )ecc2a2 b21 b2(0 e 1)aa2a2a2xa2ya2cc左焦半径：MF1aex0下焦半径：MF1aey0右焦半径：MF2aex0上焦半径：MF2aey0焦点三角形面积S MF1F2b2 tan(F1MF2 )2通径过焦点且垂直于长轴的弦
7、叫通径：b2HHa（焦点）弦长公式A(x1, y1 ), B( x2, y2 ) ， AB1 k 2 x1x21 k 2 (x1 x2 )24x1x24、设是椭圆上任一点，点到 F1 对应 准线的距离为d1 ，点到 F2对应 准线的距离为d2 ，则F1F2e 。d1d25、平面内与两个定点F1，F2的距离之 差的绝对值 等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。MF1 MF2 2a 2a 2c6、双曲线的几何性质：焦点的位焦点在 y 轴上焦点在 x 轴上置图形标准方程x2y21 a 0, b 0y2x21 a 0, b 0a2b2
8、a2b2到两定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数2a ，即第一定义| MF1 | | MF 2 | 2a （ 02a | F1 F2 | ）与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 e ， 即第二定义MFe (e1)d范围xa 或 xa ， y Rya 或 ya ， x R顶点1a,0、2 a,010,a、 20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、 F2 c,0F10,c、 F20,c焦距F1F22c (c2a2b2 )离心率准线方程渐近线方程焦半径M ( x0, y0 )焦点三角
9、形面积通径cc2a2 b21b2(e 1)ea2a2a2axa2ya2ccybyaxxabM在右支M在上支左焦：MF1ex0a左焦：MF1ey0a右焦：MF2ex0a右焦：MF2ey0aM在左支M在下支左焦：MF1ex0a左焦：MF1ey0a右焦：MF2ex0a右焦：MF2ey0aS MFFb2 cot(F1MF2 )122过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb2a7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1 ，点到 F2 对应准线的距离为 d2 ，则F1F2e 。d1d29、平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物
10、线定点 F称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、 两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即2p 11、焦半径公式：x0 , y0 在抛物线 y22 px pF x0p若点2 ；、0 上，焦点为 F ，则x0 , y0在抛物线 y22 pxp0Fx0p2 ；若点上，焦点为 F ，则x0 , y0在抛物线 x22 pyp0Fy0p2 ；若点上，焦点为 F ，则x0 , y0在抛物线 x22 pyp0Fy0p若点2 上，焦点为 F ，则12、抛物线的几何性质：图形标准方程定义顶点离心率对称轴范围焦点准线方程焦半径M ( x0, y0 )通径焦点弦
11、长公式参数p 的几何意义y 22 pxy 22 pxx 22 pyx 22 pyp0p0p0p0与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点 F 不在定直线 l 上 )0,0e1x 轴y 轴x0x0y0y0Fp , 0Fp , 0F0, pF 0,p2222xpxpypyp2222MFpMFpMFy0pMFpx0x02y0222过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2 pAB x1x2 p参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线 y 22 px ( p 0)焦点的弦， A( x1 , y1 ) 、B(x
12、2 , y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为，则x1 x2p2, y1 y2p2 ; AB2 p;4sin 2以 AB 为直径的圆与准线相切；焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为；2112 .|FA|FB|P第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（ 1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（ 2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（ 3）向量 uuur 的大小称为向量的模（或长度） ，记作 uuur （ 4）模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量rrr（5）与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相
13、反向量，记作a （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空rrC间以同一点为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以 起点的对角线uuurrrC 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则 即：在空间任取一点uuuruuurr，作ar ，b ，uuurrr则ab rr3、实数ar 是一个向量，称为向量的数乘运算当0 时，与空间向量 a 的乘积ar 与 a 方向相同；当0时，rr0 时，rrrra 与 a 方
14、向相反；当a 为零向量，记为 0 a 的长度是 a 的长度的倍4、设，rr为实数， a ， b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：rrrrrrabab ；结合律：aa5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线r6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量rrrra ， b b 0， a / b 的充要条件是存在实数，使rrab 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量uuuruuuruuur8、向量共面定理： 空间一点C 内的充要条件是存在有序实数对y位于平面x ，y ，使xC ；或对空间任一定点， 有
15、uuuruuuruuuruuur，C 共面，则xy C ； 或 若 四 点uuuruuuryuuurzuuurx yz1 xC9、已知两个非零向量rruuur ruuurrrra 和 b ，在空间任取一点，作a ，b ，则称为向量 a ， b 的夹角，记作rr两个向量夹角的取值范围是：rr0,a,ba, b10、对于两个非零向量rrrrrrrra 和 b ，若a, b2，则向量 a ， b 互相垂直，记作 ab rrrrrrrr称 为rr11 、 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 则a b cos a ,ba， b的 数 量 积 ， 记 作 ab 即rrrrrr零向量与任何向量的
16、数量积为0 abab cos a,brrrrrrrrr12、 ab 等于 a的长度 a 与 b在 a 的方向上的投影b cos a, b 的乘积rrr13 若 a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有1r rr rrr rrrrr0；e aa ea cos a, e ；2 aba brrrrrr rr 2rr rrrrr rr r3ra b a与 b同向4r； 5brrrr，a a a，aa a ；a ba ba b acos a, brra ba与b反向a b14 量数乘积的运算律：rrrr2rrrrrrrrrr rrr1 a b b a ；a ba b a b ；3 a b c a
17、c b c 15、空间向量基本定理：若三个向量rrrrx, y, za ， b ， c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组，使rrrr得 pxaybzc rrrr rrrrR 这个16、三个向量 a ， b ， c 不共面，则所有空间向量组成的集合是p pxaybzc, x, y, z集合可看作是由向量rrrrrr称为空间的一个基底，rrra ， b ， c 生成的，a, b, ca ， b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底uruurururuurur17、设 e1 ， e2 ， e3 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 e
18、1 ， e2 ， e3uruurur的公共起点为原点，分别以e1， e2 ， e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量r重合，得到向量uuurrp ，一定可以把它平移， 使它的起点与原点p 存ruruururruruurur在有序实数组x, y, z，使得 pxe1ye2ze3把 x ， y ， z 称作向量 p 在单位正交基底e1， e2， e3下的坐标，记作rx, y, z 此时，向量r在空间直角坐标系xyz 中的坐标x, y,z pp 的坐标是点rx1, y1 , z1rx2 , y2 , z2 ，则18、设 a， brrx x
19、, yy, z z（1） a b212121rrx1x2 , y1y2 , z1z2 （2） a b（3）rx1 , y1 , z1ar ry1 y2z1 z2 （4） a b x1 x2rrrrrr0x1 x2y1 y2z1z20（5）若 a 、 b为非零向量，则aba brrrrrr（6）若 b 0bx1x2 , y1y2 , z1z2 ，则 a / barrr222（7） aa ax1y1z1r rrrx1 x2y1 y2z1z2a b（8） cos a, brrx2y2z2x2y22a bz111222（9），x2 , y2 , z2，则 duuurxx2yy2z z2 22x1, y
20、1, z11121uuuruuur19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量20、空间中任意一条直线l的位置可以由 l上一个定点以及一个定方向确定点是直线 l上一点，向rl 上的任意一点uuurrr量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线，有ta ，这样点和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方rr为平面上任意一点，存在有序实数对x, y ，使得uuurrr，这样点向向量分别为 a ， b xaybrr的位置与向量 a
21、 ， b 就确定了平面22、直线 l 垂直rr，取直线 l 的方向向量 a ，则向量a 称为平面的法向量23、若空间不重合两条直线a ， b 的方向向量分别为rra ， b ，则 a / brrrrR ， a brrrra / baba ba b 0 rr24、若直线 a 的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 ar，rrrr则 a /rrrrra /ana n 0 ， aara / nan 25、若空间不重合的两个平面，r/rrrr的法 向 量 分 别 为 a ， b ， 则a / bab ，rrrr0 abab26、设异面直线 a ， b 的夹角为rr，则有r r，方向向量为 a ， b ，其夹角为coscosa br ra br，平面r所成的角为rr，则有27、设直线 l 的方向向量为 l的法向量为 n ， l 与， l 与 n 的夹角为rrsincosln rrlnuruururuur28、设 n1 ， n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1 ， n2的夹角（或其补角）就是二uruur面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则 cosn1n 2uruurn1n 229、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量uuur的模 uuur计算30 、 在直线 l 上 找一点 ，过 定点r到直线 l 的 距 离为且 垂直于 直 线 l 的向量为 n ，则定