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1、绝对值(根底)【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质；2 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比拟两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1. 定义：一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，记作|a|. 要点诠释：(1)绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数; 的绝对值是0 .即对于任何有理数 a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2 )绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝
2、对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3 )一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2. 性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比拟1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.女口： a与b在数轴上的位置如下图，那么 av b.-_2. 法那么比拟法：两个数比拟大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0 :正数大于0负数与0 :负数小于0要点诠释：禾U用绝对值比拟两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2)比拟绝对值的大小；(3
3、)判定两数的大小.3. 作差法：设a、b为任意数，假设 a-b >0，那么a>b;假设a- b= 0,那么a= b;假设a-b v 0, av b； 反之成立.aaa4. 求商法：设a、b为任意正数，假设一 1，那么a b ；假设 1，那么a b ；假设一 1，那么a b ；bbb反之也成立.假设a、b为任意负数，那么与上述结论相反.5. 倒数比拟法：如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1.求以下各数的绝对值.1 , -0.3, 0,2【思路点拨】11 , -0.3 , 0,13丄 在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字22就是各数的绝对
4、值.还可以用绝对值法那么来求解.【答案与解析】解法一:因为11到原点距离是1-11个单位长度，所以111丄.2222因为-0. 3到原点距离是0.3个单位长度，所以1- 0.3|=0. 3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0| =：0.因为1 13丄 到原点的距离是3-个单位长度，所以313-.2222解法二:因为11-0,所以111丄 11 .222 2因为-0. 3v0,所以卜0. 3|=-(-0.3) = 0. 3.因为0的绝对值是它本身，所以1 0|=0.因为1310，所以3131.222【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解如方法1,一种是利用绝
5、对值的代数意义求解如方法2，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0 再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相 反数，还是0 .从而求出该数的绝对值. 2.一个数的绝对值等于2021,那么这个数是.【答案】2021或-2021【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2021的点有两个，从原点向左侧移动 2021 个单位长度，得到表示数-2021的点；从原点向右侧移动 2021个单位长度，得到表示数2021 的点.【总结升华】 绝对值求原数的方法：1利用概念；2利用数形结合法在数轴上表示出 来.无论哪种方法都要注意假设一个数的绝对值是正数，那么此数有两个，且
6、互为相反数举一反三：【变式1】求绝对值不大于 3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题3】【变式2】如果丨x | = 2,那么x = ;如果丨一x |= 2,那么x=.如果| X 2 |= 1,那么x =; 如果| x |> 3，那么x的范围是.【答案】2或-2 ； 2或-2 ； 1或3； x3或x- 3那么点A表示的数为【变式3】数轴上的点 A到原点的距离是6,【答案】6或-6类型二、比拟大小.比拟以下有理数大小：1- 1和0;(2)-2 和 |- 3| ; (3)0.1【答案】10大于负数，即-1
7、0;2先化简卜3| = 3,负数小于正数，所以-2V 3,3先化简1111口11,即卩222332即-2v|- 3|4先化简| 10.10.1，这是两个负数比拟大小:因为I 0.10.1，而 10.1,所以10.1，即1 < 0.1再比拟两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小做出正确的判断.【解析】2、3、4先化简，再运用有理数大小比拟法那么.【点评】在比拟两个负数的大小时，可按以下步骤进行：先求两个负数的绝对值，举一反三:【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题2】【变式1】比大小:-I-3.2I.-(+3.2);0.00011000;1.38 1.384 ； n
8、-3.14 .【答案】；=；【变式2】山东临沂以下各数中，比一1小的数是A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如下图，那么a, -a, -1的大小关系是. ii 1 I口 70A . - a< a< -1C. a<-1 < - aB. -1 < - a< aD.a< - a< -1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用4. |2-m|+1 n-3| = 0,试求 m-2n 的值.【思路点拨】 由丨a |> 0即绝对值的非负性可知，丨2-m | > 0 ,丨n-3 | > 0，而它们的和 为 0
9、.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 = 0，所以 m= 2, n = 3.【答案与解析】 因为| 2-m| +| n-3| = 0且| 2-m| > 0, | n- 3| > 0所以 | 2-m| = 0, | n-3| = 0即 2-m= 0, n-3= 0所以 m = 2, n = 3故 m-2n= 2-2X 3 = -4.【总结升华】 假设几个数的绝对值的和为0,那么每个数都等于 0，即| a|+| b| +| m| = 0时，贝U a= b = = m = 0.类型四、绝对值的实际应用5. 正式足球比赛对所用足球的质量有严格
10、的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记缺乏规定质量的克数.检测结果单位：克：-25,+10, -20, +30 , +15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.【答案】 因为| +10 |v| +15 |v| -20 |v| -25 |v| +30 | <| -40 |,所以检测结果 为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，那么足球的质量越好. 这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小，越
11、接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量不含包装可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，缺乏规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表：+0. 0018-0.0023+0.0025-0. 0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：1哪几瓶是符合要求的即在误差范围内的？2哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】1绝对值不超过0. 002的有4瓶，分别是检查结果为+0. 0018, -0. 0015, +0.0012, +0. 0010的这四瓶.2第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点 O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程单位：cm依次记为：+5 , -3, +10 ,-8, -6, +12, -10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【答案】小虫爬行的总路程为：| +5| +|- 3| +| +10|+|- 8| +|- 6| +| +12| +|- 10| = 5+3+10+8+6+12+10 = 54cm. 小虫得到的芝麻数为 54 X 2 = 108粒.文档