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1、用 MATLAB 优化工具箱解线性规划1、模型： min z=cXs.t. AX < b命令： x=linprog (c, A, b)2、 模型： minz 二 cXs.t. AX < bAeq? X = beq命令： x=linprog (c, A, b, Aeq ， beq)注意：假设没有不等式 :AX 存在，那么令 A=, b=.3、模型： min z=cXs.t. AX < b Aeq? X = beqVLB<X<VUB命令： x=linprog (c, A, b, Aeq,beq, VLB, VUB)2 x=linprog (c, A, b, Aeq,b
2、eq, VLB, VUB, X o)注意：1假设没有等式约dAeq-X二beq,那么令Aeq=, beq=.2其中 X 。表示初始点4、命令： x,fval=linprog(.)返回最优解 x 及 x 处的目标函数值 fv “L例 1 max z = 0.4兀 + 0.28x2 + 0.32x3 + 0.72 x4 + 0.64x5 + 0.6x6 s?t? O.Olxj + 0.01x2 + 0.01 x3 + 0.03x4 + 0.03x5 + 0.03x6 < 8500.02X +0.05X4 < 7000.02X2 +0.05X 5 <1000.03x3 +0.08x
3、6 <900Xj >0 j =解编写 M 文件 xxghl.m 如下 :c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6;A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08;b=850;700;100;900;Aeq=; beq=; vlb=O;O;O;O;O;OJ; vub=;x,fval=li nprog(c%b,Aeq,beq,vlb,vub)例 2 min z = 6xt + 3x2 + 4x3S.t. X<+ X2+ X3 =
4、 120%! > 30/(3O>()%I 20丿<3 >OO丿0 < X2 < 50N-X3 > 20c=6 3 4;解：编写M文件xxgh2.m如下：A=0 1 0;b=50;Aeq=l 1 1; beq二120; vlb二30,0,20; vub=;区 fval=linpfog (c, A,b , Aeq , beq,vlb , vub)投资的收益和风险、问题提出市场上有n种资产$,i=l,2n可以选择，现用 数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产 在这一时期内购置亠的平均收益率为，风险损失率为 投资越 分散，总的风险越小，总体风险
5、可用投资的中最 大的一个风险 来度量。购置 ?时要付交易费，费率门，当购置额不超过给定值“ , 时， 交易费按购置“，计算。另外，假定同期银行存款利率 是从，既无交易费又无风险。讦 5%己知n二4时相关数据如下Si八幺A (%)Ui 兀Sx282.51103S2211.52198S3235.54.552S4_252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定到达资金M,有选择地购置假设干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。根本假设：1. 投资数额 M 相当大，为了便于计算，假设 M=l ；2. 投资越分散，总的风险越小；3 ? 总体风险用投资工程亠中最大的一个风
6、险来度量；4. n种资产S,之间是相互独立的；5. 在投资的这一时期内， ri,Pi,q ，'庇为定值，不受意外因素 影响；6. 净收益和总体风险只受仃5 pi, qx影响，不受其他因素干扰。符号规定：Si 第 i 种投资工程，如股票，债券ri, Pi, Qi 分别为Si的平均收益率，风险损失率，交易费率 UiSi的交易定额r 同期银行利率禺投资工程 Si 的资金 a 投资风险度Q 总体收益AQ总体收益的增量三、模型的建立与分析2. 购置 Si 所付交易费是一个分段函数，即PiXi Xi>Ui 交易费 =iI PiUixWlli而题目所给定的定值 W 单位：元相对总投资 M很小，
7、pg更小，可以忽略 不计，这样购置 Si 的净收益为 n-pDxi3. 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型：H目标函数 MAX 一 Pi?J z=0I MINmax qjXj约束条件 r ? 1 +朋二 MI i=0 xpO i=0，l，.n4 ? 模型简化 ：a? 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，假设给定风险一个界限a,使最大的一个风险qiXi/Mva,可找到相 应的投资方案。这 样把多目标规划变成一个目标的线性规 划。模型 1 固定风险水平，优化收益目标函数：n+1Q 二 MAXfa - p约束条件：r 竺?I MIpt)x. = M 应三 0i=0 9
8、 1， .nb.假设投资者希望总盈利至少到达水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型 2固定盈利水平， 极小化风险 目标函数： R= minmax qjXj 约束条件：n工 a - PX tk,J i = 0L 工 1+ 必兀？二 M，XjA 0i=0, 19 nc, 者在权衡贸严风险和预期收益两方面时，希望选择- 个令自己满意的投资组合。 布望填拜 釁对风险、收益赋予权重 S (OVsWl), S 称为投资偏好模型 3目标函数：(< -Pi)x，=minsfmaxfqiXj) - (1-s)约束条件IV§(1+ 讥二 M, x&O i=0 丄 2 ？ n
9、模型 1为：minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185,? 0.185) (xo xj X2 X3 X4 )1 X。 + I.OIXj + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1s.t.0.025xiWa0.015x20.055x3WaWa0.026x48Xi 20 (i=0 丄 4)由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准那么 , 不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0 开始，以步长 Aa=0.001 进行循环搜索，编制程序如下：从a=0开始，以步长厶a=0.001对以下组合投资模型求解 并绘图表示a与目标函数最优值 Q的对应关系：max
10、 Q = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (xo,xi X2,X3,X4 ) r Xo + l.Olxi+ 1.02x2+1.045x3+1.065x4 =1s.t. 0.025X1Wa0.015x2Wa0.055x3Wa0.026x4 W a、Xi MO (i = 0,1,4)a=0;while(l.l-a)>lc=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=l 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=l;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0
11、0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0O0,0,0 ;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x*Q=-valplot(aQT) ，axis(0 0.1 0 0.5), hold ona=a+0.001;endxlabel(Wylabel(Q)54 .010.020.03. 口50.000.070.060.090 1=0.0030x = 0.49490.12000.20000.05450.1154Q = 0.1266=0.0060x = 00.24000.40000.10910.2212Q = 0.2021=0.0080x = 0.
12、00000.32000.533302710.0000Q = 0.2112=0.0100x = 00.40000.584300Q =0.2190=0.0200x = 00.80000.188200Q =0.2518=0.0400x = 0.00000.99010.000000Q =0.2673计算结果:五、结果分析收益也大。1 ?风险大，1一2?当投资*'* iMI *<* *! *-<*-才，|越分散时，投资者承担的rW_ _风险越小，这与题0.5意一致。1一d I胃11III11,0.04即：冒险的投资者3曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险
13、对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。4?在a=0. 006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0. 6%"Q*=20% ,所对应投资方案为：风险度收益Xo X X2 X3 X40.0060 0.2021 00.2400 0.4000 0.1091 0.2212实验作业某厂生产甲乙两种口味的饮料，每百箱甲饮料需用原料 6千克，工人 10名，可获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克，工人20名，可获禾履万元 ?今工厂共有原料 60 千克，工人 150名，又由于其 他条件 所限甲饮料产量不超过 8百箱?问如何安排生产方案， 即 两种饮料各生 产多少使获利最大 ?进一步讨论：1) 假设投资 0.8万元可增加原料 1 千克，问应否作这项投资 .2) 假设每百箱甲饮料获利可增加 1 万元，问应否改变生产方案 .