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1、2014 航班高一物理竞赛角动量习题课1、质量为 m，长 l 的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为Ek1 I2，L I其中I1 ml 223今如图 5-1-6所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能绕着过 A的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达 时，试求：（ i ）细杆转动角速度 和角加速度 ;(2)固定的光滑细轴为杆提供的支持力 N。解（ 1)因无摩擦，机械能守，有1I 2mg lsin22将 I1 ml 2 代入后，可得3g sin3l以 A为坐标原点建立垂直于图平面朝内的 z轴，细杆各部位相对 A 点角动量均沿z轴方向，叠加
2、后所得细杆的总角动量 L也必沿 z轴方向，大小则为 L I固定的光滑细轴为细杆提供的支持力 N相对 A 点力矩为零，细杆重力相对 A点力矩为lM 的大小： Mmgcos2方向：沿 z轴由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到M tL因为LI()Itt所以3g cos2l(2)如图 5-1-7所示，将 N分解为 Nn 和 N ，支持力与重力合成为细杆质心提供加速度，可建立下述方程Nnmg sinmaCnmg cosNmaC其中 aCn 和 aC分别为质心作圆周运动的向M 心和切向加速度 .所以l2aCn2laC25 mg sin ， N1 mg cos可得 N n242、质量为 M, 半
3、径为 R的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度 旋转时的角动量大小为 L I ，I 1 MR22有如图 5-1-8所示系统，细绳质量可略 .细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出， m1 >m2，试求 a. .解以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为L I设左、右绳中张力分别为 T1，T2.它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为M(T1T2 )R又因为LMI()It t对 m1， m2 有方程m1 gT1m1aT2 - m2 gm2a, m2 有方程a与的关系为 a=R:2(m1m2 )g可解得 a2( m1m2 )M3
4、、 质量为 m的物体拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的水平台面以角速度 0作半径为 r0的圆周运动，自 t=0时刻开始，手拉着绳的另一端以匀速 v向下运动，使半径逐渐减小 .试求：（ 1）角速度与时间关系(t ) ; (2)绳中的张力与时间关系.解：（ 1）物体 m 在水平方向仅受绳子拉力作用，它相对小孔的角动量守恒。当质点与小孔的距离为 r 时，设其角速度为 ，则有mvrmv0 r0 或 m r 22m 0 r0所以r020r2按题意， rr0 vt ，代入上式得r020(r0vt) 2(2)根据牛顿运动定律Fm(vrr2 )t由于 vr v是常量，所以vr0 ， F mr 2mr0 402
5、t(r0vt)34、两个质量为 m的小球，用长为 l的绳子连结起来，放在一光滑的水平桌面上 .给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度 v0，如图 5-4-2所示 .求此系统的运动规律和绳中的张力大小.解对整个系统来说，在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。按质心运动规律，有mv02mvc式中 vc为质心的速度，由此得vc1 v02方向与 v0相同，所以系统的质心以1 v0 的速度作匀速直线运动 -2由于整个系统对质心没有外力矩作用，故系统对质心的角动量守恒，即mv0lm ( l )2m ( l )2222v0 ，式中 为两小球对质心的角速度，于是l即两小球绕质心作匀速圆周运动，同时绳
6、中的张力T m 2 ( l )mv0222l5、如图 5-4-4所示，质量为 m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，其倔强系数为 k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度 b =2a,求两球的初速度 v0。解以初始时刻两球连线中点0为定点来考察，体系的角动量守恒。弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度。aabbmv0 2mv0 2mv2mv2体系机械能也守恒221 mv21 mv21 k(b a) 21 mv01 mv022222由，式消去 v，即得v0 bk(ba)2m(ba)v02ka 以 b=2a
7、代入，得3m6、小滑块 A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是 m,并用长为 l、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图5-4-3(a)所示 .开始时 A 、B间的距离为 l， A、2B间的连线与小槽垂直，如图5-4-3(a)所示 .今给滑块 A 一冲击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块 B开始运动时的速度。解设绳拉紧的瞬时，滑块 A 的速度为 vA，滑块 B的速度为 vB.在绳拉紧时，滑块 A 相对于滑块 B的运动是以 B为中心的圆周运动，其相对运动速度设为 v'，与绳垂直 , 如图 5-4-3(b)所示，因而，此时滑块 A的速度取坐标系如图 5-
8、4-3(b)，则有vAv'vBvAxvx 'v' sinvAyvy ' vB v' cos vB由图中的几何关系知600滑块在运动过程中，在 y方向系统不受外力，动量守恒mv0mvy mvB滑块 A对滑块 B原所在的位置的角动量守恒：mv0lmvAx l sin mvAy l cos23联立以上五式解得vBv077、在半顶角为 的圆锥面内壁离锥顶 h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的.（1)为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，则初速 v0 为多少？（ 2)若初速 v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。
9、解（ 1)物体在重力 mg和锥壁支撑力 N作用下做圆周运动 .因有mgv2mtanRR是圆周半径 .以R = htan代人上式，得v0gh(2)当初速大于 v0 时，小球不可能维持在原来水平面上做圆周运动，因为这样不满足式 .小球必上升；但又不可能停留在某一个高一些的水平面上做匀速圆周运动，这样小球必在一定的上、下高度间往返地做类似螺旋状的运动 .为求这两极限高度，我们来寻找小球运动的守恒量，首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支撑力 N不做功；其次，小球在做转动，如果还有守恒量，另一个守恒量必然是角动量或其分量 .不难发现，由于外力 N和mg都在过 z轴的平面内，故外力矩无z方向分量，
10、即z 0 ,因而 Lz 为常量 .用 h+x表示极限高度，注意到在极限高度上，小球速度必沿水平方向 .于 是可列出以下两个守恒方程：能量守恒： 1 mv2mg(h x)1 mv12mgh 22角动量分量守恒 :mv(hx) tanmv1 tan由，式可得 x的三次方程2gx3( 4gh v 2 )x22h(v 2gh) 011由式可见， x=0必为一个解 .这是合理的，因为射出速度沿水平方向，该高度必为一极值 .消去 x后，得 x的二次方程：2gx 2(4ghv12 ) x 2h(v12gh)0解之得v124gh(v124gh) 2 16 gh(v12gh )4g8、如图 5-2-6所示，在光
11、滑水平面上，质量均为 M 的两小球由一长为 l 的轻杆相连 .另一质量为 m的小球以 v0 的速率向着与杆成 角的方向运动，并与某一 M 发生碰撞，碰后 m以 v0 的速率沿原路线反弹 .试求碰撞后轻杆系统绕其质心转动的角速度.解系统水平方向动量守恒：mv02Mv cmv f机械能守恒：12121121l cos )2m1v02mvf2M （ vcl sin ）(2222系统绕轻杆系统质心的角动量守恒mv0l sinM( l )22 mvf l sin222其中v f1v02解之得3mv0 sin2Ml9、若上题中三球的质量相同，均为m，且 =450。.当运动小球以 v0的速率与连在杆上的某一
12、球发生弹性碰撞后，即沿垂直于原速度的方向运动，如图 5-2-6 所示。试求：（ 1）碰撞后，运动小球的速度 vf ；(2)碰撞后，轻杆系统绕其质心转动的角速度 .解系统水平方向动量守恒mv02mvc /（ 1）mvf2mvc（2）机械能守恒：1 mv02 1 mvf21 2m(vc2vc /2 )1 2m(l ) 2（3）22222系统绕轻杆系统质心的角动量守恒l0l0l2mv0 2sin 45mvf 2cos45m(2)2（ 4）由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） v f122 v00.55v0 ,3 22 ? v00.32 v077ll10、如图 5-2-7所示，在水平的光滑桌面上开有一小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m的物体 .开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体则以v03的速率作半径为 r。（即桌上部分的绳长2gr02）的勻速圆周运动，然后放手 .求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度 .解桌面上物体受有心力作用，角动量守恒：mv0r0 mv1 r1 mv2 r2（1）其中， r1、 r2 分别对应桌上部分绳索的最大长度和最小长度。机械能守恒：1 mv02mg(l r0 )1 mv12mg(l r1 )1 mv22mg(l r2 )（2）222由（ 1）（ 2）得r1 3r0， r2r0