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1、§ 5.4离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点)设x(k 1) Ax(k), x(0)Xo, k 0, 1, 2, |,(5.仃)称AXe = 0的Xe为(517)的平衡状态(点).当A奇异时，有无数个平衡状态.2. 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定：00,使当| XoXel卜&时,有|x(k)Xell ，L 0；(2)渐近稳定：0,使当X0kim|x(k)XeII时,有Xe0 ；(3)全局渐近稳定:任意X0(4)不稳定：00,无论l|x(ki)-对定常系统，渐近稳定Rn,都有 pmlMk) Xe|0；多小正数，总有ki 0,使 Xe全局一致渐近稳定
2、3.稳定性判别对定常系统x(k1)= Ax(k)假设xe = 0稳定(渐近稳定)，那么其它xe也稳定(渐近稳定)；假设Xe = 0渐近稳定，那么Xe必为一致全局渐近稳定;简单介绍Xe = 0稳定性条件设(517)的解x(k) Akx0, k 0, 1, 2, III那么渐近稳定"kim|x(kr 0 kiml|AkXo|卜 0(x 0),kk -1k=limAk0= limTJkT 10= limJk 0k：k 3: 二A的所有特征值的模全小于1-A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内其中J为A的假设当形.kJi 如 Jk=.JrJ：且再如k-.k亠 1 k1101ICkJif101
3、1>=0 ? k00K J! 00-A的所有特征值的模全小于 1-A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内例设A有互不相同特征值 “ 2,111, n，那么T,使ATT-1由此可得I i | 1,i1,2, |,n二 lim /0,i1,2,111,nk*二 lim Ak 0.k?定理5.12系统为(517)的稳定性判定如下：(i) Xe= 0稳定二A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的；(ii) Xe= 0渐近稳定二A的所有特征值模全小于1.对一般非线性系统x(k 1) F(x(k), k 0, 1, 2, III (5.18)在Xe = 0(设F(0)
4、 = 0)的稳定性判定方法有定理5.13对(5.18),假设x(k)的标量函数V(x(k)，满足(j)V(x(k)为正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k)负定；(iii) 当 |x(k)| 时，有V(x(k).那么Xe = 0全局渐近稳定的 假设无(iii),那么Xe 0是渐近稳定的；再假设(ii)中 V(x(k)为半负定,那么xe 0仅是稳定的 定理用于定常系统(517),即得定理5.14线性定常离散5.17的xj 0为渐近稳定二对-Q > 0,李雅普诺夫方程AtPA P Q有唯一正定解P.证只证充分性,即已有对- Q > 0,atpA p Q有唯一解p0,
5、令 V(Xk) = x：PXk,那么有V(xQ V(Xk J V(xJX： iPXk 1 - X： PXkx：(A：PA P)xr x：QXk,显见V(Xk)为负定，故Xe = 0渐近稳定.例5.6设a x(k 1)0试分析稳定的条件解选Q = I,那么有AtPA P = a0皿P12a0II II II I0-x(k)bI,即fllpi210I Ip210 '0bP21p220b整理且比拟，得2Pii(1ab2r i,)1, MO ab) = 0, P22CI需满足|a|1,|b| 1,(5.19)要P为正定，11b2'PllPl20,1.解出i1 a2'Xe = 0 一致全局渐近稳定实质上：|a1, |b|r 所有特征值的模全小于