《(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第五章数列4第4讲数列求和课件文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第五章数列4第4讲数列求和课件文.docx（62页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第4讲第五章数列数列求和理教材 ©0知枳檢理/1.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差 或等比数列的前项和公式.2.非等差、等比数列求和的常用方法倒序相加法 如果一个数列给,首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法, 等差数列的前项和即是用此法推导的.(2)分组转化法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，等 比数列的
2、前n项和就是用此法推导的.(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和.1.数列百，2扌，3舟,喘，的前兀项和是解析：前 n 项和 S“ = (l+2+3w) + |+p*=n (n + 1)2rt (兀 + 1)_12 十1 _尹答案:n (n + 1)2+1-寺(1+13寸噪如S 刑放 (1 + 3 寸 =+8寸« 匚 =七十+十卄+十丄-:首 圧IgEn (z+r)占 H£ 来E»1 厂 I IJ L L 只 展昼S温茫,(z+y)占"遐吃,吃=4隸门3. （2018-高考江苏卷）已知集合A = xx=
3、2n-19 n9 B = xx=2n9 丘N*将AUB的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列仏记必为数列仏的前项和，贝U使得SQ12给+i成立的n的最小值为 解析：所有的正奇数和2% WN）按照从小到大的顺序排列构成atl9在数列仏中，2、前面有16个正奇数，即。21=2',如8=2“当n = l时，S = 1v12°2=24,不符合题意；当n=2时，S?=3<12«3=36,不符合题意；当 n=3 时，S3=6<12a4=48,不符合题意；当=4时，S4=10v12«5=60,不符合题意； ；当n=26时,21X (1+41)22X (1-
4、25)+1P2=441+62=22 X (1 +43)503v12«27=516,不符合题意；当 n=27 时,S27=+2>£|2=484+62=546>12«28=540,符合题意.故使得SQ1M+1成立的n的最小值为27.答案：27d要点整台,1. 必明辨的3个易错点在应用等比数列的前n项和公式时，注意等比数列公比q的 取值情况，要分？ = 1和(2) 在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.(3) 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前 剩多少项则后剩多少项.2. 必会的2种方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路:(
5、1)转化思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、 错位相减法、倒序相加法等来求和.z+hIs应他J+ezxs 訂J+J+zz+ZLseGzI) xz® J+JXsi+：+tzxE+4xz+zz>aLbz Mfe 0«zxsi+EZXE+zzxz+ZXILb “怎藝 husim«z3HMMYfesw*»sILIlc00鶴也2.已知数列a:|+|,若»= 一-,那么数列/的前/ “卄1讳+磊+寻+濡,1项和sn=.所以加必“+厂4n (
6、n + 1)解析:n所以 S“=4(l-£+£_£+r1+2+3+ +« + 1=4 1 w + lj n + l*3.等比数列仏的首项为“，公比为g, S“为其前项的和, 求S1+S2+S处 解：当？ = 1 时，an=a9 Sn=na9jl(M + 1)所以Si+S2+S = (l+2+fi)a=31当狞1时,(1/)因为S斤=-_q所以 S1+S2 sn=白（1一4）+（1-）+ + （1-/）一（？+/）a r q（1一/）_qna _aq （1g"）1q（1?） 2析考点分类讲解化解疑难考点1 分组转化法求和2 IW1已知数列仙的前项
7、和S”=T，求数列如的通项公式;(2)设bn=2an+(l)nan9求数列亦的前2n项和.【解】当 =1时，«1=S1当 “N2 时,a“=S“一S“-in2n(n 1) 2+ (w 1)=2 2如也满足an=n9故数列©的通项公式为5=n(2)由知 5=n,故 bn=2n+(-l)nn.记数列心的前2n项和为T2n9则T2w = (21+22+-+22n)+(-l +23+4+2).A=21+22H_,+22n, B= 1+23+4+2”, t2 (12加)2卄 1则匸Q=22w+1-2,B = (1+2) + (3+4) + + (2n 1)+2=兀 故数列鬧的前2n项
8、和T2fl=AB=22n+n-2.分组转化法求和的常见类型若an=bn±cn9且/, “为等差或等比数列，可釆用分组 转化法求仏的前项和.(2)通项公式为an =为奇数为偶数的数列，其中数列亦, “是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求冷的前兀项和.已知数列仏的通项公式是a” = 23"T +( l),l(ln 2-ln 3)+(-l)nwln 3,求其前 n 项和 S“解：S“=2(l+3+3"一1)+1 + 1 1(-l)n(ln 2-ln3)+1+23(l)"ln 3,所以当为偶数时，13" nnS兀=2X _3 +尹 3=3"
9、;+壬11 31；当n为奇数时,Sn=2Xy-(ln 2-lnIn 3M n 1 =3n-n 3-ln 2-1.3"+；ln3l, 为偶数，综上所述，S“=«3n 2In 3In 21, 为奇数.考点2 错位相减法求和(高频考点)例2在各项均为正数的等比数列仙中，已知°2=M+3,且3°2，5°3成等差数列.求数列曲的通项公式;(2)设bn=Yog3an9求数列a曲的前n项和Sn.【解】 设仙公比为q,由题意得彳0,a2=2ai+39 32 + 5“3 =加 4，|«1 (g_2) =3,即2_5?_3=0,6啥）。1=_亍 或 1
10、q=p所以数列仙的通项公式为a“=3X3"T=3", "UN：由可得方“=lo肿“=，所以anbn=n-3n. 所以S/f = lX3+2X32+3X33HnX3所以3Sn = lX32+2X33+3X34HwX3w+1,两式相减得，2S“= 3(32+33+ +3/)+w3/,+1= -(3+32+33H3")+zr 3+i+炉3+13+ (2n-l) 3"+i= 2 ，34- (2一1 )所以数列仏阳的前n项和S严4用错位相减法求和应注意的问题如果数列仏是等差数列，仮是等比数列，求数列仏加的前项和时，可采用错位相减法,般是和式两边同乘以等比
11、数列“的公比，然后作差求解.在写出“s“”与旬s“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn"的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.動跟踪训练已知数列如的前项和Stl=3n28n,他是 等差数列，且©=久+加+1 求数列佃的通项公式;(a +1) n+1(；“+；)求数列"的前«项和几解：由题意知当心2时,当 =1时，如=比=11,所以=6卄5 设数列%的公差为，由如=勿+方2，得卩1=2靳+必117=21+3，可解得 1=4, (1=3.所以 bn =3n +1
12、.(2)由(1)知伽+6) ”+1+3) ”=3( + 1)2小又 A=C1+C2Cn9所以 Tn=3X2X22+3X23H(w + l)X2n+1"+i_S + 1)X2Tw=3X2 X 23 +3 X 24H(w + l)X2,z+2,两式作差，得一7；=3X2X22+23+24+2+2=3X.4 (1-2W)4+ 1-2一 (n + 1) X2+2=一3”2"+2,所以 Tn=3n2n+2.考点3 裂项相消法求和例3已知数列仏的前n项和为S“，如=1, 求数列仏的通项公式;2(2)设bn=,求数列%的前n项和Tn.【解】因为Sn=nann(nl)9当n2时，Sn-i
13、= (n l)an-!(n l)(n2), 所以 a“=S“一S“i=nann(n 1) (n l)an-i + (n l)(n2), 即 a% 。几12.所以数列©是首项如=1,公差=2的等差数列, 故 a兀= 1+(/1 1)2=2兀一1, n EN*.(2&e咨 計 H (21 )d + l) H 劭习、 玮 7； H F + £ + .: + R HX'+X+X+ .: + 、1 :2二一 2=+lI 1 2n2S+1 2s+l互动探究本例条件不变，若数列低满足亦=詁二，求数列偽的前解：Sn=nann(n l)=n(2n l)n(n l)=n2.bn
14、=Sn1 _1n (m + 1)w+12-3J+13-4+1厂用丿=1-士一+r利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项 和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将 通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项 之差和系数之积与原通项公式相等.動跟踪训练S为数列心的前项和已知an>0,ai+2an=4S+3.求仏的通项公式;(2)设bn=-,求数列/的前n项和. °/1给+1解：由怎+2a/=4S/I+3, 可知处+i+2«+i=4S卄i+3 一，得怎+i尤+2（。卄1。=4«卄1，即 2(给+1 + Utl) =4：+1
15、 Un =(。畀+1 + n)(an+l an) 由。农。，得给+ 1 Un = 2.又af+2«i=4ai+3,解得如=1（舍去）或如=3 所以给是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+ 1,兀GN (2)由 an=2n H-1 可知2盂1(2n + l) (2/i+3)22n +12n3j 设数列/的前项和为几，则Tn=bi+b2-bnO-IWH-h -1、2比 + 13 (2n+3) *考点4 倒序相加法求和例4设于(兀)=昇何，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得 /(-5) +/(-4)+ +/(0) + * * +/(5) +/(6)的 值为【解析
16、】因为冷尸?*；羽,±2*I所以/*(1_对=2乂+羽,、伍所以 f(x)+f(lx)= 2 4C H (9)J+ +(0)J+ +(寸 I )J+ (s I M 辰些9H r(9)J+ (s g+ : + G)J+ (ss+【(s)J+ (92Lbz M £ (s <+:+(S)J+ (9<=us 旨(9)J+ +(b)J+ (sMLS 澀这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一 个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到个仙 +如，其最简单的形式为：若数列©中有a1-an=a2+an-1 = 如+给-2=，就可以用此方法求和.(2)
17、当数列具有“首尾配对” “中心对称”特征时，常用倒序相 加法求和.已知函数 /（x）=p,则 £+£l+«O+/（i）+/(2) +/(3) +/(4)=解析:因为加）+£=缶+詆=1，所以閘+閑+澗+7«1)+/(2)+/(3)+/(4)=2-讲方法素养提升助学培优转化思想在数列求和中的应用典卿（2019南京调研）已知正项数列仏,偽满足：如=3, 。2 = 6, 亦是等差数列，且对任意正整数tt,都有叽,fonf 亦+ 1成等比数列.求数列血的通项公式;(2)设 5=-+-+-+-,试比较2S“与2如岂的大小.【解】(1)因为对任意正整数，都
18、有亦，炖，亦+1成等比数列, 且数列划, ”均为正项数列，所以 an =bflbll+1(n e N*).方 2=3,由"尸3,如=6得仁=妙3=6,又“为等差数列，即有bY+b3=2b2f解得祈=书,方2=哮， 所以数列血是首项为迈，公差为罗的等差数列.所以数列加的通项公式为bn =书 S+1)2(兀詁).(2)由得,对任意neN(n + 1)(n+2)n=bnbn+i = 从而有廿5 + 1) 5+2)所以S =a 3丿+13一"+n+2-2代+i n+iyEe可ZA.SZ teEA證训£s“ zv/z 尺泪&飯 小q(E+s) (z+e) Z+SE+
19、S! 8sl 守 z+帶 弟亠Isz強 r+sI+£zK z+eJq p PUZM飯&感悟提高 数列求和把数列通过分组.变换通项、变换次 序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的.IEL跟踪训练已知数列曲满足如F+1m+划-1=（辰曲，且求数列仏的通项公式;（2）设加=薛尹丘眄c为非零常数），若数列血是等差数列,S/!=Ci+c2cnt 求 Sn.解：由a卄1+。厂1 an+an + l得(m l)a 卄 i S + l)a=( + 1),当n$2时,川 + 4死1m + 1 n 1 n 1，所以1f 11(w1) nn
20、(n 1)b l ny”川+1 n (m + 1)由叠加法,得当三3时,an=n(2n l).把兀=1, ©=6代入,得给+i+a 1n+l-«w + l得如=1,经验证,«1 = 1,。2=6 均满足 an=n(2n l). 综上，an=n(2n l)9 nN*>亠一rdn (2n 1)十口16=皋，由数列加是等差数列，得如+加=2加，即1 1512(2)由(1)可知：bn=和二, 于是 方1=石二，2=刃匚，方3所以。=一；满足题意.所以“l+c+K=芜，解得c=龙=0舍去). 此时bn=2nf所以数列碉是等差数列.2*所以S“ = l+§+亍+#=!,由错位相减法,n+2得 S巾=4 2-1