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1、直线与圆、圆与圆的位置关系教学设计（第一课时）彭泽一中 艾文宇一、教学课题： 北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修二第二章2.3 节直线与圆、圆与圆的位置关系。二、学情分析 ：学生在初中平面几何中已学过直线与圆及圆与圆的几种位置关系，在前面学习了平面直角坐标系中点点、点线间的距离公式及直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。通过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“应用数学”及合作学习的意识。三、教学目标：1 知识目标
2、：掌握由直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系 ;2 能力目标：（ 1）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。（ 2 ）通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3 情感目标：通过学生的自主探究，增强学生团队协作能力。培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。四、教学重点、难点：（ 1 ）重点：由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系。（ 2 ）难点：判断直线与圆的位置关系的代数表示五、教学方法及手段：情境导入法、探究式教学法教学手段：借助多媒体辅助教学六、教学过程：（ 铺垫导入 】多媒体展现多张现实生活中的图片，让学生观察直线与圆的位
3、置关系1 创设情境，提出问题多媒体展示引题：你站在我们 2#教学楼的门口 A处，沿直线到科技楼门口B处，路途经过喷泉，假设喷泉中心O点位于你正西50m处，喷出水落地的范围是半径长为 30m的圆形区域,且科技楼位于喷泉中心正北50m处，如果你不改变方向，是否会被水淋湿？(哪位同学想去试一试？)教师提出：利用所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们分组讨论，动手试一下。设计意图：通过学生自主探究，互相讨论，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，并且为学生创设一种环境的氛围，让学生在交往中学习数学。2 .切入主题，提出课题(1)由学生将现实问题建模，展示平面几何解决方法，得
4、出结论。与学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。(2)教师提出：能否用所学的坐标法来解决这个问题？让学生点出本节课要研究的课题。3 .探索研究，解决问题(1)寻找切入口：师：如何利用坐标法解决问题？在这个问题中如何建立直角坐标系使圆的方程应用起来简便？生：以喷泉中心为原点 O,东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取 10m为单位长度。则喷泉喷出的水落地的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：x2 + y2 = 9 ,你所走的直线l的方程为：x+y -5=0设计意图：让学生讨论，坐标系不同，直线和圆的方程不同，为解决问题方便，经过讨论，建立统一的直角坐标系，为后面学生的自主探究
5、放在一个统一的平台上，对学生之间的交流 提供了方便。(2)自主探究，讨论思考：师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系。设计意图：通过学生自主探究，互相讨论，以较高的热情探究知识之间的内在联系。(3)交流方法，探究新知经过生生、师生间的探讨、合作，总结出以下两种证明方法：方法一：代数法x2 y2 9由直线与圆的方程，得： y 9 消去y,得x2-5x+8 = 0,x + y - 5 = 0因为 = (-5)2 -4X1X8 = -7<0所以，直线与圆相离，从教学楼去科技楼不会被水淋湿。怎样从解的个数理解直线与圆的关系(解的个数即交点的个数)方法二：几何法 圆心
6、(0,0)到直线x + y -5 =0的距离1 M0+1M05Tr=3/.d>r几何法的实质是什么？(点到直线的距离)所以，直线与圆相离，从教学楼去科技楼不会被水淋湿。深入导问：若给喷泉装个阀门，阀门可以调节水的大小(即可控制水落到地面的圆的半径)， 那么，阀门调多大(即圆的半径为多大时)你经过是才被淋湿？设计意图：通过展示学生解决问题的方法，揭示知识之间的内在联系，培养学生的语言表达 能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，教师的任务是：提出问题，为学生创设一种环境 的氛围，让学生在交往中学习数学。(4)抽象概括，总结提高直线与圆的位置关系的判定：(为算法思想作铺垫) 代数法：(1)将直
7、线方程与圆的方程联立成方程组(2)利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程(3)求出其判别式的值.由方程组'Ax + By+C =022Jx-a) +(yb)(4)比较与0的大小关系，2 ，得 mx2 + nx2 + p = 0(m 丰 0), 二r A 0 =>方程组有两解=> 相交 = 0。方程组有一解。相切 < 0 =>方程组无解=> 相离 几何法：d < r=直线与圆相交d =>直线与圆相切d >r=>直线与圆相离4.新知应用，深化理解例5判断下列直线与圆(x 1)2 +(y 1)2 =1的位置关系(多媒体放映)(1) x
8、-y-2=0;(2) x+2y-1=0.设计意图：由于在上面的抽象概念中归纳了两种方法，在这里可以运用两种不同的方法来解决此类问题当然，这道例题只是要我们判断两者之间的位置关系，显然用第一种方法更加的.（两种方法简单，但如果要求的是求它们有没有交点，交点是多少时我们可以用第二种方法 的对比）【课堂练习】1.判断直线4x-3y-2=0与圆（x 3）2 +（y+5）2 = 36的位置关系.例6:设直线mx-y+2=0 与圆x2 +y2 =1相切，求实数m的值.（多媒体放映这两种不同的解 法）设计意图：这道题目已经给出了两者的位置关系，要我们确定直线的方程.要求学生会利用两种方法判断直线与圆的位置关
9、系。【思考交流，拓展提高】 为什么在此处，m的值会出现两个呢？教师可以让学生先思考一下，是选用哪种方法来做，用哪种方法更加的简单，此外，我们计算的结果，为什么会出现两个 结果？教师可以在平面直角坐标系中先把圆画出来，培养数形结合的思想，知道了直线恒过某点，来具体分析出现这两种情况，为什么会出现两个不同的值.从代数和几何两个方面来分析。（多媒体展示）变式练习：若k为实数，直线kx + y-1 =0与圆x2 +y2 =16能否相离？设计意图：要求学生会利用两种方法判断直线与圆的位置关系。变式练习是为增加思维的梯度，对于含有参数的方程，既能从基本方法上解决，又能从参数的几何意义上运用变化的观 点看问
10、题。5 .总结反思，共同提高（提问式）引导学生从知识、思想、方法上总结(1)入/位直大系几何特征方程特征几何法代数法相交后两个公共点方程组有两个/、同实根d<r >0相切有且只有一公共占八、方程组有且只什-实根d=r 二0相离没有公共点方程组无实根d>r <0（ 2 ）研究直线与圆的位置关系主要方法有：代数法，几何法（ 3 ）研究直线与圆的位置关系：注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。【 课后作业 】必做题： P85 习题 2-2 A 组 第 4 、 6 题 B 组 第 1 题选做题： P86 B 组 2研究性问题： 圆 x2+y 2=4 上有_个点,到
11、直线3x+4y-10=0 的距离为 1.设计意图：研究性问题是为让学生学会用方程解决几何问题的一个例子，让学生通过又一次的探究，体会几何法与代数法在解析几何中的应用，提高学生自主探索能力。【 教学说明 】数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。本节借助多媒体辅助手段，创设课题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。虽然学生在初中对直线与圆的位置
12、关系有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。本节课从实例出发，设计了自己身边的案例做一些理性的探索和研究。在教材处理上，大胆创新，根据日常生活中的事例，结合学生的认识能力和思维习惯在问题的处理上，让学生在解决问题的过程中回顾总结知识点，并不是直接给出教材中的方式，而是让学生自主探究，思考讨论得出结论，再抽象概括，得出判断直线与圆的位置关系的两种方法，从中去体会探索的乐趣和数学中的几何与代数的和谐美。学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单
13、也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。 ”说着，苏格拉底示范做了一遍， “从今天开始，每天做 300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的
14、优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市
15、面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和 视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法 章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种
16、学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最 适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面” ，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”
17、 ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远
18、，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆
19、，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。
20、那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技
21、巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己
22、之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习
23、准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。