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1、离散序列傅里叶变换习题作者: 日期:1、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) xjn)(n 3)(2 ) x2 (n)12 (n 1)(n)12 (n 1)(3) X3(n)anu(n), 0(4 Wn)u(n 3) u(n 4)2、设 X(ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质求下列各序列的离散时间傅里叶变换。(1) g(n) x(n)x(n 1) g(n) x*(n)(3) g(n)x*(n)(4) g(n)x(2 n)(5) g(n)nx(n)(6) g(n)x2(n)(7)g( n)0,n为偶数 X2(n)anu( n), |a| 1(3) X3(
2、n)a|n|,0,|n| Mn为其他(4)X4( n)anu(n 3), |a| 1(5) X5(n)(；)n (nm 0 43m)（6）X6（ n）sin(n /3)sin(n /4)n为奇数3、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) %(n) anu(n), |a| 14、设x(n)是一有限长序列，已知x(n)1,2,0, 3,2,1,0,n 0,1,2,3,4,5n为其他它的离散傅里叶变换为 X(ej )。不具体计算 X(ej )，试直接确定下列表达式的值。(1)X(ej0)(2)X(ej )X(ej )d|X(ej )|2 d,dX (ej )5、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) X
3、i(n)1,0,|n| Nn为其他(2) X2(n)(3) X3(n)1 |n |/N,0,cos(-), 2N0,|n| Nn为其他|n| Nn为其他6、证明：若X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，而x(-),-为整数%(n)kk0,其他则 X1(ej ) X(ej )。7、设序列x(n) u(n),证明x(n)的离散时间傅里叶变换为1X(ej)甘 l (2l)8、如图所示四个序列，已知序列 捲5)的离散时间傅里叶变换为X1(ej ),试用X1(ej )表示其他序列的离散时间傅里叶变换。644324JtL3241123 443豪2X3(n)9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦
4、尔定理x/n),即21j2n |x(n)|2-|X(ej)|d10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质DTFTnx(n) j 罕)d式中，X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换。1 1、证明：X(ej )是的实偶函数。X(ej )是的虚奇函数。(1)若x(n)是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换 (2 )若x(n)是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换12、 设x(n)Rn)，试求x(n)的共轭偶对称序列 Xe(n)和共轭奇对称序列 x°(n)，并分别 画出其波形。113、 设实序列x(n)的偶对称序列xe(n)x( n) x( n),奇对称序列21x°(n) x
5、( n) x( n),试证明22 2 2|x( n)|Xe( n)|Xo( n)|nnn14、设实序列x(n)的波形如图所示，4 x(n)-101234 n(1 )试求x(n)的共轭偶对称序列xe(n)和共轭奇对称序列 xo(n),并分别画出其波形。(2) 设序列xi(n) Xe(n) x°(n),式中，Xe(n)和x°( n)为(1 )所求结果。画出 捲(n)的 波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？(3) 分别求序列x(n)、Xe( n)和Xo( n)的离散时间傅里叶变换 X(ej )、Xe(ej )和X°(ej ), 分析 X(ej )、 Xe(ej
6、)和 Xo(ej )的实部 ReX(ej ) XR(ej )、虚部 ImX(ej ) Xi(ej )的关系。15、 已知序列x(n) anu(n)( 0 a 1)，试分别求x(n)的共轭偶对称序列 沧)和共轭奇 对称序列x°(n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和Xo(ej )。16、 若序列x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的实部Xe(ej )为XR(ej )1 cos求序列x(n)及其离散时间傅里叶变换 X(ej )。17、 若序列x(n)是实因果序列，x(0) 1，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的虚实部XI(ej )为Xi (ej ) sin求序
7、列x(n)及其其离散时间傅里叶变换X(ej )。18、如果x(n)是实序列，试证明X*(ej ) X(e j )19、 设x(n)是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为X(ej )，若序列y(n)的离散时间 傅里叶变换为Y(ej ) DTFTy( n)£X(e巧 X(e 門2试求序列y( n)。离散时间傅里叶变换习题解答:1、试求以下各序列的时间傅里叶变换 (1)捲(n) (n 3)解： X(ej ) e j31 x2(n)- (n 1)(n 1)解：X(ej )1cos(3) X3(n) anu(n), 0解：X(ej )11 ae j x4(n) u(n 3) u(n 4)1解：
8、X(ej )12coscos22cos321 a7e j71 ae j2、设X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。(1) g(n) x(n)x(n 1)解：G(ej)(1 e j )X(ej(2) g(n) x*( n)解:G(ej )X*(e j ) g(n) x*( n)解:G(ej ) X*(ej )(4) g(n) x(2n)解：G(ej )x(n)e jnx(2n)e jnn' 2n ，G(ej )x(n ')e %n'为偶数1n也鮎x(n)("呗 21j_1.jn_(e
9、2)2nx(n)ee X2(n) a丄 X(ej2)丄 X(e% ) x(n)ejne%22n(5)g(n)nx(n)?解：m dX(ej+dJjnx(n)G(ej) jdXd(ej)d(6 ) g(n)x2 (n)? 解：G(ej )1X(ej )* X(ej )2 g(n)xg).n为偶数解:G(ej )x(n)e jnnx(m)e j2m X(ej20,n为奇数123、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)为(n) anu( n),|a| 1解: X(ej )厂亠1 aeu( n),|a| 1解:X(ej11 a 1ej(3) X3(n)a|n|,0,|n| Mn为其他解:X(ej )x(
10、 n)e jnn jn a eM1 2Ren MMn2 Re a eMjn21a cosM 1M 2a cos( M 1) a cos M 1 2I1 2 a cos ac M2a1M 2cos(M 1) 2a cosMX(ej ) x(n)ejnn(4)3m(n3m)e jn3m j3mm0(4)e11 (1)3ej3(4) X4(n)anu(n3),|a| 13 n 3/a a u(n3),|a| 1解:X(ej3 j3)a e11 a 0 12X(ej)-ej(5 )X5(n)(4)nm 0 4(n 3m)(1)3m (nm 043m)解(72X(ej )(6必(n)sin( n/3)s
11、in(n /4)1sin(n /3)sin(n/4)nn12n / 3n/4解：sin(詔)g2c()小csin( n/3)3(3)sin(nn/4)4g_()2n/3'/412712X(ej )( -)/27(12)/2X(ej )012)/2 ,712124、设x(n)是一有限长序列，已知x(n)1,2,0,0,3,2,1,n 0,1,2,3,4,5n为其他它的离散傅里叶变换为X(ej )。不具体计算X(ej ),试直接确定下列表达式的值。(1)X(ej0)解：X(ej )x(n)e jnX(ej0)5x(n) 1n 0 x'n)0,(2) X(ej )解：X(ejx(n)
12、e jnX(ej )5(1)nx( n)(5)dX(ej|X(ej)|2d2|x( n)|2n(11)38nn 0X(ej)d解:1x( n) 2X(ej )ejn dX(ej )d2 x(0)2(4)|X(ej )|2d解:|x( n)|21|X(ej )|2dnjnx(n)|屮2d|jnx(n)|22 (0 19 9 1625)2174348试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) %(n)1,0,|n| Nn为其他1|n |/N,|n| Nn为其他 X3(n)ncos(), 2N0,|n| Nn为其他6、证明：若X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换,而Xi(n)0,-为整数k其他则
13、 Xi(ej ) X(ej )。7、设序列x(n) u(n),证明x(n)的离散时间傅里叶变换为1X(ej) L l(2 1)8、如图所示四个序列，已知序列x1(n)的离散时间傅里叶变换为X1(ej )，试用 X1(ej )表示其他序列的离散时间傅里叶变换。9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即21i2n |X(n)|2-|X(ej)|d10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质DTFT nx(n) j dX d式中，X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换。11、证明:(1)若x(n)是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的实偶函数。(2 )若x(n)是实奇
14、函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的虚奇函数。Xe(n)和共轭奇对称序列 x°(n)，并分1 2、设x(n) R4(n)，试求x(n)的共轭偶对称序列别画出其波形。113、设实序列x(n)的偶对称序列xe(n)x( n) x( n),奇对称序列21Xo(n)x( n) x( n)，试证明22 2 2|x( n)|Xe( n)|Xo( n)|nnn14、设实序列x(n)的波形如图所示,(1)试求x(n)的共轭偶对称序列xe(n)和共轭奇对称序列 xo(n),并分别画出其波形。(2 )设序列捲(n) Xe (n) x°( n),式中，xe( n)和x°( n)
15、为(1 )所求结果。画出 Xi(n)的波 形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？(3)分别求序列 x(n)、Xe(n)和x°(n)的离散时间傅里叶变换X(ej )、Xe(ej )和Xo(ej )，分析 X(ej )、Xe(ej )和 X°(ej )的实部 ReX(ej ) XR(ej )、虚部 lmX(ej ) Xi(ej )的关系。1 5、已知序列x(n) anu(n)( 0 a 1),试分别求x(n)的共轭偶对称序列 xn)和共轭奇 对称序列xo(n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和Xo(ej )。16、若序列x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的实部Xe(ej )为XR(ej ) 1 cos求序列x(n)及其离散时间傅里叶变换X(ej )。1 7、若序列x(n)是实因果序列，x(0) 1，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的虚实部XI(ej )为X|(ej ) sin求序列x(n)及其其离散时间傅里叶变换 X(ej )。18、如果x(n)是实序列，试证明X*(ej ) X(e j )1 9、设x(n)是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为X (ej )，若序列y(n)的离散时间傅里叶变换为j1jj_Y(ej ) DTFTy(n) X(e2) X(e j2)2试求序列y( n)。1 2a cos a