《2020年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、绝密启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷：草稿纸上作答无效.。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1. 已知复数z= (1 - a) +
2、(a2 1)i(i为虚数单位，a>1),则z在复平面内的对应点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合 A = x|3x<x + 4, B = x|x2 8x + 7<0，贝U A n B =A.( 1, 2)B.(2 , 7)C.(2 ,+s )D.(1 , 2)3. 某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120 °并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径 为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘
3、米A. 3 B. 2 C. 1D.16. 已知 a = log.2 , b= ln3, c = 2 0.99,则 a, b, c 的大小关系为A.b>c>aB.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a7. 执行下面的程序框图，则输出 S的值为A.126020602的偶数都可以写成两个8“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于质数(素数)之和，也就是我们所谓的“ 1+ 1”问题。它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，
4、加数全部为质数的概率为1A.-1 B.-3 C.D.-53539已知正项等比数列an的前n项和为Sn,S2 =,S3，则a2an的最小值为92723454444A.B.C.D.272722722710已知点xP是双曲线C: 一書1(a0,b0,c-a2 b2)上一点，若点P到双曲线Ca2b21 2的两条渐近线的距离之积为c，则双曲线C的离心率为4A. 2一3D.211.已知f(x) = 1-2cos2( 3汁一)(3 >0)给出下列判断： 3若 f(x 1)= 1 , f(x 2)= 1 , 且 |X1 X2|min = n, 则 3= 2；存在3 (0,2),使得f(x)的图象右移-个
5、单位长度后得到的图象关于6y轴对称;若f(x)在0 ,2n上恰有7个零点，则若f(x)在,上单调递增，则64其中，判断正确的个数为41473的取值范围为 , )；242423的取值范围为(0 ,。3A.1B.2C.3D.412.如图，在平面四边形 ABCD中，满足 AB = BC , CD = AD，且 AB + AD = 10, BD = 8，沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC= 2,则三棱锥P BCD体积的最大值A.12B.12D.163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f(x) = lnx + x2,则曲线y = f(x)在点(1, f(1)处
6、的切线方程为14若xo R, X。2 3.,对1 + 5<0为假，则实数a的取值范围为 。uuu15.在直角坐标系xOy中，已知点A(0 , 1)和点B( 3, 4)，若点C在/ AOB的平分线上，且|0C一uuu|= 3、一 10，则向量OC的坐标为 16已知抛物线C: y2 = 4x，点P为抛物线C上一动点，过点 P作圆M : (x 3)2 + y2= 4的切线，切点分别为 A , B,则线段AB长度的取值范围为 。三解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60
7、分。17. (本小题满分12分)在厶ABC中，角A , B , C的对边分别为 a, b, c,且csinB = bsin( C) + 、3 b。 3(1)求角C的大小；若c= '、7 , a+ b = 3,求AB边上的高。18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD , CD = 2AB = 4, AD =、. 2 , PAB为等腰直角三角形，PA= PB，平面PAB丄底面ABCD , E为PD的中点。(1)求证：AE/平面PBC;若平面EBC与平面PAD的交线为I，求二面角P I B的正弦值。19. (本小题满分12分)一种游戏的规则
8、为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分。(1)设抛掷4次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望。* 1当游戏得分为n(n N )时，游戏停止，记得 n分的概率和为 Qn, Q1 =2 求Q2；1 当n N*时，记 An= Qn+ 1+ Qn, Bn= Qn+ 1 Qn,证明：数列An为常数列，数列Bn为2等比数列。2 2已知椭圆E：二-2a b20. (本小题满分12分)1(a b 0)的离心率为T，且过点(弓冷)，点P在第一象限，A为左顶点，B为下顶点,PA交y轴于点C, PB交x轴于点Do(1)求椭圆E的标准方程;若CD/AB，求点P的坐标。21. (本小题满分12分)已知函数
9、 f(x) = lnx x2 + ax(a R)。(1)若f(x) w 0恒成立，求a的取值范围；设函数f(x)的极值点为X0,当a变化时，点(X0, f(X0)构成曲线M。证明：过原点的任意直 线y = kx与曲线M有且仅有一个公共点。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。22. (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程 n(n为参数)。若直线li, 12的交点为P,当k变化时，点P的轨迹是曲线C。在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为x 1 m(m为参数)，直线12的参数方程y k m 12 -k(1)求曲线C的普通方
10、程；以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线13的极一4坐标方程为0= a (祚0) , tan a= (0< a< )，点Q为射线13与曲线C的交点，求点Q的极径。3 223. (本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲已知函数 f(x) = |x1|+ |x+ 2|。(1)求不等式f(x)<x + 3的解集；若不等式m x2 2x< f(x)在R上恒成立，求实数 m的取值范围。202（1年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学参考答案、提示及评分细则1. B当a>l时1 aVOv； 1>O.W以复tt ft复平向内对应的
11、点位十第二鞭限故选112. D 由 A=2 x<2HB=U 1OC7几则人nB=Lr 1V*2>故选 D.3B因为汎长比较短的悄况F分成6雪分毎部分的兹K和弧氏相光很小町以用加匸近似代替弦长所以导 线丘復为¥乂 30=20x63（匣米）.故选U4. C由广（_工=_尹°丁 =_/（£可知函数/XP为奇函敎所以函数图象关于原点对称.o<<y 时 t/（r）>0.故 iiC5. B山（1+心）（1+工=（1+刃$+心（1+工几冉F的系数为Ci+£5d + 10,*的系敦为C+2 10a+10.展开式中jt .Xs的系数之和为（5
12、d 10） （1也+10= 1氐+20= 10.得必=2.故选B&八 g lofo /2<loR： /3>所以 a<*因为 3>c所以 In 3>b2°>f = 2 小>2 1即故有 b>c>a.故选 A.7. O S=*（1+2+3+4+5一（1+寺+*+）=菁.故迭 D.& A由占典（型的菇本爭件的等可能性可得6拆成两个正帑敕的和含有的皐本事件有&（15人（24）（3,3（4>2）.（5<l）.lfif加数全为质数的右（3.3）所以所求橘率为+故透A.卜&=十.L9D出胚恵右“LS文
13、一*叫一 i斛叫1 27或丨5+山9=亍q=25时«>6时g Al则的最小值为=伽>=（守）所以agg的只小侑为（寺）故选D10. A 设点P的坐标为52有牛存一1得嚇 一<?宀曲双曲线的两条渐近线方稈为bx-ayQ 和仏心一0則点线C的两糸渐近线的距岛之积为弓寺:X 半工牛-处二丁-字则有学 一+口所以»a:（r a:>-cS所以2 4-e:.所以e2.所以t-Jl.故选入11. B 肉为 / < t > 1 2cx（mr+专）一cg（2ftu 卜宁）一切（2卜育）忻以谢期 /'对于（!） 了 1印帰期为N所叽寺故错因对丁柬敌图
14、象右4叶个单位长度后得到的頑数为品（也-習+卡）其阳象关于轴対称则-晋一卡一于+Z妊Z解得纽一一1 一戏"WZ）.故对 仟匚笊敌人虫心.？>所以错 寸于，由条件得瓮一越s<刍一奁解得芳 务故正_号+专夕_于.22跖对千由条件得解得兴令 乂心、0所以（Xo恳有故正確.故选KT 6Tf12.C 过P作PE±BP于E连接”；由题意知易证 CE丄D且PE-CE所以BD丄平曲PCE所以-V” +匕+, -寺Sg DD-号Sg所以当Sg 最大时. j.取得最大趾 取 /V 的中点 F则 EF _PC所以 SwPC El - /Fl? 因为 PISPP-10.B/)-8所以点
15、P在以lit)为焦点的槿岡上所以PE的駁大值为对应担半轴长所以PE愀大值为A- 4 一3.所以"g启火值为2亦所以V«a>的虽大值为呼故透Q13. lr > 2-0由/W"B£h 2丄枸/1L3杭所求切敎方程为y 13(jt1).»理为3丄>-2-0.11. < .1"因为K.x; a Zr« + l 4-5<0为假贝§其否定为真即”彳&儿，一a /PTT 晔。为 貢所以“M手担对任意实数恒直立.所以(壬三)又孚苹 =77=1亍纠当且 /r 1十】J Zr4-1/r+1仪当/厂
16、丁一 -即/士何肘等号展立所以a<4.J jT _ 115. <3.9>点 CXf AAOB 的孚线上存7FAG (0.+«o) ft(r-A (y + -p|-) ；(0,1>+1( -y.y) = ( yi>yA).又:=3 /10. AA = 5. AfX-< 3.9>.16. 2疗.4) 如图il按PM.PA. PB.易得M4丄FAMB丄P13.PM丄AB所以四边形P.XMli的面积为牛PM肋另外四边形rmPAA仍的面积为-角形PAM面枳的两倍，所以寺PM AB PA MA .所以 | AB| =?門魁闷 /|PM|2-4-2J- |
17、歯，所以当|PM|ft小时.| AB|最小设点P(x,y). 则 | PM | >/ < J-3>24-x Zr 6«r+9 Lr J £ 2r+9 所 以当x-1时.|PM|s-2庇所以|A川-J 专-2、/?当卩向尢穷远处运动时 |AB|的K度趁近干M的直仪故|AB|的JR值范围为2/7.4) 17怕因为 csinB-fenn(号 C)+/36,由正舷定理有 sin fB5in ffcdn(-y (*) + /3sin li.园为 B6(0«x)« 所以 7nB>0所 WsinC-sin(- C)F 所以 sin(C y )-
18、1. 3分因为OVCVic所以卡VC一青V4分所以C于二严所以(、一普 5分(2>由余热定理有a* 勿心 C有*十，+ "一7得(卄必 ab-1.得a2. 7分故”氐的面积为丄如n C=sin每=红u«> u设.43边1_的高为/«.令牟“一.故台=厶二.即边匕的岛为孕 12分18. (l)i£明：如图1取PC的中点F.连後EF.BE :PEmDEPF=CF EFCDCD=2EF.VAB#CD.CD-2AB. :.AliEF.且 EF-AB.:.四边形ABFE Wh四边形:AEBF. :BFU平面 PBC.AE(Z平面 PB(：.AE/平面
19、PBC. 解血图2城-AB中点(LCD中点Q连铤(XJ.Q4=OB.CQ=DQPA=PB.PO丄ABOQ_AB图】平面PAB丄半曲ABCD平向PABO平面ABCD-.A".:.P() 1 平面 A1H：D()Q T 面 P4B.:.AB.OQ.OP两两垂玄.以点O为半标原点向凰方向分别为轴IF方向建立如图所不空卸直角宝标系.由 P4丄F“.AB=2口J得 flA=OB = f)P=1DQ=Q=2在竽腰榜形 A/XD中-4B=2,CD=4 .AD J2 所以 OQ 1、 /(XO.O.O).A(O.1.0)./H0.1.0).f7U2.0). P(0.0.1)./HI. 2.0).E(
20、 + 】号).7分设平面 PAD 的法向童为M = (xf«),AP=<oa4)MD=(L-hO)f屮4P=，+n=O.(x= vt由(得JRy1.得 ru1). 8 分in ADxy-0设平面EBC的広向屁为/i-QGQ.BC (1丄0)EB-(-*2 寺).“BC-a+10bftl<i a i 得。取6r_l.得 n 9分I it BP q + 2b c=0. lr=5A.右m =/3 , n m3/3'则 cos朋上" "=十、 M 分IF! /f平ifil Eir *5平向F4D所嚴二Ifil角的正技值为Ji 斜聽二1". I
21、分19, «：(1)变虽X的所有可能取值为4567&由每次抛押一次礎币正面向上的概率为寺反面向上的1率也为寺. 2分WP(X-4)-(y)t-<P(X-5)-aX(y)<-.P(X-6)-CiX(y)<|-t p(x=7)=qx(-)<=-|-.p(x=8)=ax(-|)i 4 分所以变员X的分伤列为X4557RP丄3丄故空量X的数学期望为IXX4X磊+5x+6X«|"+7><+8X君f 6分得2分只需麦抛掷次正面向丄或曲次反面向丄，亀率的和为Q #+(*)：¥. 8分得分分购种悄况第 种为徉 2分后抛为:一次
22、正面向上第二冲为得 1分匚抱揮一次反曲向上 故有当 n3 且 /i6N-Ut-0.-40-! 4 yQL-.S=Q2+*Qhi=+Qu+*Q- lQ 宀+*Q 二 A.故数列 AJ为常数列；10分氏为 U-J Q.L*Qt+*Q Q+寺 J+*Q-寺d. QJ- yK.又BlR-R=寻-寺 #，故数列：为等比数列.12分fa1-4,20*h(l)由駆菽得 £/3解得* 4分|T=T-4i圧一用-r-r 所U椭冏E的方程为扌+，= 】5分(2)由(1知点At-2e儿BW.-l儿由題奪可设rg APd=N冷)所以点。的坐标为2如.我立方程，消去”并帑理得“+倨云+ 1W*+16F-4=O
23、.I+r-i*设卩5心则2小一¥ 所以中一営录.所以m=M4M)=冷所以卩(一於岛)设D点的坐标为rc.0.W为点PUD三点共线所以如一如即0)11十仪btP. _2 U：昭叮 n/弓 肿-2 所以*讦丑所以"1 + 4F寅为CQAB.所以島”一他心M%+1)1即-所以4圧M上1-010分12分所以"又0辰寺所以所以点p的宝标为(7L孕).方迭一由八 *0恒成立得oCr 呼恒成立. 1分令 X(x)=x- 5§如=上一护'.令ACr=F-l + ln,则”(刃=2工+工>0.厂(刃>0JbCr)=e-l+inH在(0, 8上单弼逢塔，
24、又人=0, 3分(03 > /(QVOaW «1+8/(PAO,BP 工 <0.1 > & (x)<o,x < h+«o> .g(x»o>* <oa > .geo单调或减口 <i+" >£(»单调递埋时rGt取极小值4卩最小值<(1) BAa<l. 5 分力进二；广(工=亠_2工+<1二“ .“ '. 1分由二次换散性质町知存在几£ (O.+oo) 粳得”(几一0即卜1一0且当丿W(O.JQ时/(»0：当丁 (及+8
25、时/(CV0.： /a)在(0皿)丄单凋递增.在g, +丄单调违减./*八=/<q)=ln 才o分+皿=如 n+云一1 3 分由題意町知2山=fg >=lnxv +三-l<0.设g(工)一h“+F 1 则扌(工一+2”>0即g(x)单两逸增.又祇1)=0.%<Cr)<0的解集为(0即jn>e <0.1J,'。汕<8.1J. 5 分XC讣明：由(1)叫如/(T->)-ln Jb 云+a-2e 丄. f(才c)=In氐+& 1曲线M的方程为y= In乞+才L由题意可知.对任恵人“方程Ihh+jt2 lb有唯一解. 6分设
26、/i(r)=ln T7 fc.r1 则+n上=-_.TT 当匕01时/( 丁)>0恒成立(门布(0十8)上R调逸焙.7A(1>-上衣(> 一A + P1-*<1 )+ & 1V0.存在山满足时便得人(山)一0乂 Vfc(x)单递增.所以为唯一鮮 8分 当4X)且心一F 8<0.即吃时.方1力0恒成立/(”)在O.+r)上单阖通境VA(l)=-X0,/(e,)=3+e<-jte3-l=(e>-y?)： + <2/Z-A)ei>0-疗住快得力5)=0又Vft(x)单调递增、：工=4为唯一解. 10分半心>2血时川Q0台樹解工一工宀
27、不妨设xx<x： 列兴如下;X«0竝）：(才1Xj)<x：.+oo)00+*(.T)V极大值V械小值由表可知当工=4时AGO的般人值为/i>-ln乃+" J 1V2xr kx +l0./i（xi）lnxi xi 2<0.（劭）<0f人（店）=牙+< 4/一1 = （/一,）才一/一1>0.（令加Gr=/ 一工CrW（2疋+s）tlij wx）-2x （<-1>0,所以 m（x»/t（2/3）>0）存庄<先儿使得从壮=0又5（Q在（迥 +oo）单调递增=£为唯一解综上过原点任意的玄线y=足歹
28、与曲线M有且仅有一个公共点. 12分22.解:宜线人的普通方程为y=Nn,直我厶的普通方程为y-2=y. 2分联立宜线 S 方程消去参数鉄得曲线C的普通方程为y（y-2> = -,I分讎jW+G-Qyo.5 分（2设Q点的宜角坐标系坐标为（wKna）>0）. 7分由 tai) a=(0<Ctf<-|-)f可得 sin a=-.cus a二十MS曲线 C 的方程可得p2 -|-p0,解目P=#P=<X舍所以点Q的杈轻为今 10分23. W：（l>当X-2时不導式/（x）<x+3 nft为1 一上一工一2<43得龙一*无解； 1分 为2<x&l
29、t;l时不等式/（x><x+3可化为1 -z+h+2<x+3何Q>0故0<x<li 2分 肖hA 1时，不零式fCr）V*+3可化为工一l+/+2Vr+3得 Y2,故1 <x<2. 3分煖上不等式/（x）<x+3的解集为Lr <Xz<2. 5分（2）由題眉:知加Zt+ZYh在R上恒成立，所以加W（p f（H）s 6分令 gr）j+2x则当 x 1 时"gCrlN 社 7 分又当_2=&1时jGr）取得最小值且 8分又一 1W21所以当工=一1时/（刃勺肌刃同时取得最小值所以（宀2±+心* = 一1+3=2 9分所以Y2.即实数勿的取ffiMR为一8迅io分