《2.2控系统的时域数学模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.2控系统的时域数学模型.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2控制系统的时域数学模型2.2.1线性元部件、线性系统微分方程的建立用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是:根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律， 列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。Ur与输出电压Uc之间的微分方例2-1 R-L-C无源网络如图2-1所示，试列写输入电压 程。解 这是一个电学系统，根据克希
2、荷夫定律可写出UrRi%（2-1）i(t)叽=cdt(2-2)图2-1 R-L-C无源网络消去上两式的中间变量i（t），整理可得LC2d ujt)dt2RC沁 dtUc(t) =Ur(t)(2-3)假定R,L,C都是常数，则上式即为二阶线性常系数微分方程。令T2 二 LC 2 T 二 RC(2-4)即TLC, 二 R. C （2. L）式中，T表示R-L-C网络的时间常数；表示阻尼系数。将式（2-4）代入式（2-3 ）并整理，可得一标准形式为(2-5a)T2 呻 2T沁 Uc（t）=Ur（t）dt2dt同样，若令'节(自然频率)，可将(2-5a)表示为另一种标准形式2(2-5b)f为阻
3、尼d Uc(t)duc(t)2222n Uc(t) F：n Ur(t)dt2dt例2-2 弹簧-质量-阻尼器系统如图2-2所示，其中，K为弹簧的弹性系数, 器的阻尼系数，m表示小车的质量。如果忽略小车与地面J-_m的摩擦，试列写以外力F(t)为输入，以位移y(t)为输出的系统微分方程。解这是一个力学系统。首先对小车进行隔离体受力图2-2押賛质量阻尼器至统分析，如图2-3所示。在水平方向应用牛顿第二定律可写2F(t) 一罟"m攀(2-6)F(t)K2-3小车受力图图2胡电枢控制式 直流电动机原理图若令：一；dmK 则可将式(2-6)写成如下标准形式2T2d_yp 2 Tdyy(t)dt
4、dt(2-7)例2-3试列写图2-4所示电枢控制式直流电动机的微 分方程。图中，电枢电压 ua(t)为输入量，电动机转速 (t)为输出量。Ra,La分别是电枢电路的电阻和电感，M c(t)是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁电流i f为常值。解这是一个电学-力学系统。电枢控制式直流电动机是将输入的电能转换为机械能,其工作原理是，由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流ia(t)与 激磁磁通相互作用对电机转子产生电磁转矩M m(t)，从而拖动负载运动。电动机的微分方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程:dia(t)Ua(t)=La-Raia(t) Ea
5、(2-8 )dt式中：Ea是电枢旋转时产生的反电势，其大小转速成正比，即Ea二(t), Ce(V/rad /s)是反电势系数。电磁转矩方程为M m(t) =Cm(t)ia (t )( 2-9)式中，Cm(N.m/A)是电动机转矩系数； M m(t)是电枢电流产生的电磁转矩。 电动机轴上的转矩平衡方程：d - (t) Jmfm' (t) = Mm(t)-Mc(t)( 2-10 )dt式中：fm( N m/ (r ad "S )是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；2Jm(kg m )是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。由式(2-8)( 2-10)中消去中间变量ia
6、(t), Ea,Mm(t)便可以得到以(t)为输出量, 以u a (t)为输入量的电动机微分方程2d ® (t)d(t)LaJm2(LafmRaJm)(Ra f m GC。) (t)dt dt(2-11)-CmUa (t) - LaRa M c (t)dtLa较小，通常可忽可见，式(2-11)为二阶线性微分方程。在工程应用中，由于电枢电路电感略不计，因而式(2-11)可简化成如下形式式中：TmRa J md '(t)Tm £ (t)+Ua- 5(2-12)是电动机的机电时间常数(单位：S),Ra fm CmCeCmRa fm 6Ce 'RaKca是电动机的传
7、动系数。若Tm、Ka、Kc均为常数时，则式(2-12)就Ra I mC mC e是一个一阶常系数线性微分方程。另外,在随动系统中，也常常以电动机的转角d(t)作为输出量，将.(t- 代入式dt(2-12)，有2d(t)Tm2KaUa(t)-KcMc(t)( 2-13)dt dt例2-4设有图1-4(a)所示电动机转速控制系统，试列写其微分方程。解 给定电压Ur(t)为输入量，电动机转速(t)为输出量。从产生偏差的元件开始，按信号流通方向依次写出组成该系统各元件的微分方程。 测量元件：测速发电机作为测量元件，它可将系统输出角速度(t)转换成相应的电压Uf (t)，即Uf (t) = Kt (t)
8、(2-14)其中Kt是测速发电机的传递函数，可看作常数。 比较元件：比较元件将反馈电压 uf(t)与给定电压ur(t)进行比较，并产生偏差电压Ue(t)，即Ue(t)二 Ur(t) -Uf (t)( 2-15) 放大元件：包括电压放大器和功率放大器两部分，作用是对偏差电压Ue(t)进行电压和功率放大，即Ua(t) =KUe(t)( 2-16)式中，K是电压放大器和功率放大器的放大系数，为常数。 执行元件：直流电动机作为执行元件，它将电枢电压ua(t)转换成电动机转子轴的角速度1(t)，根据例2-3中式(2-12)可知，直流电动机的微分方程为d沁)(2-17)Tm11(t)二 KaUa(t)-K
9、cMc(t)dt减速器：减速器是用来减速并增大力矩的，其微分方程为(2-18) (t) = 1 1 (t) i式中，i是减速器的传动比，为常数。联立式(2-14 )(2-18 )，消去中间变量Uf(t)、Ue(t)、Ua（t）、i（t），可得电动机转速控制系统的微分方程为d (t)dti KKaKtITm叭t)=竿 Ur(t)iTm(2-19)从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数 学模型。例如，例 2-1和例2-2系统的数学模型均是二阶微分方程，例2-3和例2-4系统的数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现象间的
10、相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。2.2.2非线性系统微分方程的线性化前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形 变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会 使其运动方程复杂化而成为非线性方程；等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处
11、理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围， 可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能 反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。例2-5铁芯线圈如图2-5（a）所示。试列写以电压ur为输入，电流i为输出的铁芯线圈的 微分方程。解根据克希荷夫定律有ur =6 Ri（ 2-20）式中，5为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 d$（i）ui 二 Ki（2-21）dt式中，Ki为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流i的非线性函数，如图 2-5（ b）所示。将式（2-21）
12、代入式（2-20 ）得(2-22)d (i) diK1Ri =urdi dt显然这是一个非线性微分方程。*10(b)图2-5铁芯线圈及磁通 (i)曲线如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点(u0,i0)附近作微小的变化,(角)2刖i0(i)在i。的邻域内连续可导，则在平衡点i。邻域内，磁通可表示成泰勒级数，即i0di L 2! di2式中，剧=i -i°，当刁“足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有 a 土丄 d©=0式中，didij°为平衡点i0处(i)的导数值，令它为 C1，则有住 T0 =厶'':“ C/ i上式表明，经小扰动线性化处理后， 线圈中电流增量与磁通增量之间已经近似为线性关系了。将式(2-22)中Ur , i均表示成平衡点附近的增量方程，即Ur 二 U0Uri =i°：i申 ' Cr i将上述三式代入方程(2-22)，消去中间变量并整理，可得K1C1RU】ur(2-23)dt式（2-23）就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略 去增量符号而写成:K1C1 d- Ri =ur（ 2-24）dt但必须明确，Ur和i均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。对于在工作点处不连续、无法进行线性化的本质非线性化问题，将在第7章中讨论。