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1、例 7.1 当 取何值时，齐次线性方程组：(1 )x1 2x2 4x3 02x1 (3 )x2 x3 0x1 x2 (1 )x3 0有非零解。syms lamdaA =1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda; D=det(A);factor(D)1) lim x a x a x a例 7.2 求下列极限。2)lim sin(x a) sin(x a)x 0 x3) lim x( x2 1 x)x4)limxaxaxx2 a2syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) % f=(sin(a+x)-sin(a-
2、x)/x; limit(f) % f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,'left') % f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,'right') % 例 7.3 求下列函数的导数。x(1) y 1 e ，求 y' 。求极限 (1)求极限 (2)求极限 (3)求极限 (4)(2)y=xcos(x) ，求 y''、 y''' 。(3) x acost ，求y 'x 、 y 'x' 。 y a
3、sintxey(4) z xe2 ，y求 z'x 、(5)z=f(x,y) 由方程 x2+y2+z2=a2定义，求 z'x、 z'y。syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %f=x*cos(x);diff(f,x,2)%diff(f,x,3)%求 (1) 。未指定求导变量和阶数，按默认规则处理求 (2) 。求 f 对 x 的二阶导数求 (2) 。求 f 对 x 的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) %求 (3) 。求 y 对 x 的二阶导数求(3) 。按参数方程求导公式求
4、 y 对x 的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3f=x*exp(y)/y2; diff(f,x)%diff(f,y)%求 (4) 。 z 对 x 的偏导数 求 (4) 。 z 对 y 的偏导数f=x2+y2+z2-a2; zx=diff(f,x)/diff(f,z) % zy=diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)求(5)例 7.4 在曲线 y=x 3+3x-2 上哪一点的切线与直线 y=4x-1 平行。x=sym('x');y=x3+3*x-2; % 定义曲线函数 f=diff(y); % 对
5、曲线求导数g=f-4;solve(g) %求方程 f-4=0 的根，即求曲线何处的导数为 4例 7.5 求下列不定积分。(1) (3 x2)3 dx2(2) sin xdx(3) e t dtx=sym('x'); f=(3-x2)3; int(f) % f=sin(x)2;-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x syms alpha t; f=exp(alpha*t); int(f)%f=5*x*t/(1+x2); int(f,t)%例 7.6 求下列定积分。2(1) 1 xdx求(1)求(3)求(4)(3)(x 1)10dx(4)(2)5xt1 x2121 x2s
6、in x 4x(4) 2 t dtdtdxx=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2) %求(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求(2)f=x3/(x-1)10;I=int(f,2,3) %求(3)将上述符号结果转换为数值求(4)double(I)%int(4*x/t,t,2,sin(x)%例 7.7 求椭球的体积。x2a22 y b22zcsyms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c)例 7.8求空间曲线c 从点 (0，0，0)到点 (3，3，2)
7、的长度。设曲线c 的方程是：x 3ty 3t2z 2t3syms t;x=3*t;y=3*t2;求 x,y,z 对参数 t 的导数 计算一型积分公式中的根式部分 计算曲线 c 的长度z=2*t3;f=diff(x,y,z,t); % g=sqrt(f*f');%l=int(g,t,0,1)%例 7.9 求函数 y= x 的傅立叶变换及其逆变换。syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t) %求 y 的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x) %求 Ft 的傅立叶逆变换例 7.10 计算 y=x 2 的拉普拉斯变换及其逆变换 .x=sym('x&
8、#39;);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数 y 进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数 Ft 进行拉普拉斯逆变换例 7.11 求数列 fn=e-n的 Z 变换及其逆变换。syms n z求 fn 的 Z 变换 求 Fz 的逆 Z 变换fn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z) f=iztrans(Fz,z,n) 7.12 求下列级数之和。(1)s111141611(2)s2( 1) n 1 4n2 3 n(3) s3 x 2x2 3x3nxn(4) s4 1 4 9 16 10000n=sym('n');s1=syms
9、um(1/n2,n,1,inf)%求 s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%求 s2 。未指定求和变量，默认为 ns3=symsum(n*xn,n,1,inf)%求 s3 。此处的求和变量 n 不能省略。s4=symsum(n2,1,100)%求 s4 。计算有限级数的和例 7.13 求函数的泰勒级数展开式。(1)求 1 2x x3 3 1 3x x2 的 5 阶泰勒级数展开式。(2)将1 x x21 x x2在 x=1 处按 5 次多项式展开。求(1) 。求 (2) 。展开到 x-1 的 5 次幂时应选择 n=6x=sym('x');f1=sqrt(1-
10、2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); f2=(1+x+x2)/(1-x+x2);taylor(f1,x,5) %taylor(f2,6,1) %例 7.14 解下列方程。1 4x 2(1) 2 1x 2 x2 4 x 2(3) 2 sin( 3 x) 1x=solve('1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2)','x') f=sym('x-(x3-4*x-7)(1/3)=1');x=solve(f)%x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')%x=solve('x+x*exp(x
11、)-10','x')%例 7.15 求下列方程组的解。(2) x 3 x3 4x 7 1x(4) x xex 10 0%解方程 (1)解方程 (2)解方程 (3)解方程 (4) 。仅标出方程的左端(1)1x3113 28 y 14 yx y 98(2) 3 x 3 y 2(4)22xy5222x2 3xy 2y2u3 v3 98(3) uu vv 2 98解方程组 (1)命令如下：x y=solve('1/x3+1/y3=28','1/x+1/y=4','x,y')解方程组 (2)x y=solve('x+y-98
12、','x(1/3)+y(1/3)-2','x,y')例 7.16 求下列微分方程的解。(1)求 ddyxx22x的通解。(2) 求 x2 dy 2xy ex 的通解。 dx(3) 求 ddyx2 的特解，y2y(2) 1 。ddxt(4)求 ddytdt4x 2y的通解。2x y(5)求d2xdt222d2ydt20 的通解。0y=dsolve('Dy-(x2+y2)/x2/2','x') % y=dsolve('Dy*x2+2*x*y-exp(x)','x') % y=dsolve('Dy-x2/(1+y2)','y(2)=1','x'); % x,y=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t') % x,y=dsolve('D2x-y','D2y+x','t'); % 解(1) 。方程的右端为 0 时可以不写 解(2)解(3)解方程组 (4)解方程组 (5)