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1、出租车几何学：一个全新的几何世界从北大打车到四惠，我一定会选择走四环。虽然从北京城中间直穿过去 看上去很诱人，但考虑到北京道路几乎总是正南正北的方向，不会真有人认为这样能抄近路吧。在城市中，我们估算两点之间的距离时，往往不会直接去测量两 点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区。在理想模型中，假设每条 道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走(不故意绕远路)，不管你怎 样走，花费的路程都是一样的。今天，我看到了一个非常有意思的名词一一出租 车几何学(taxicab geometry)，其名称就来源于这样的想法。在出租车几何学中，点还是形如(x, y)的有序实数对，直线还是满足 a x
2、 + b y + c = 0 的所有(x, y)组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。只是，(x 1, y i)和(x 2, y 2)的距离重新定义为了 |x i - x £ + |y 1 - y 2| ，即两 点的横坐标之差加上纵坐标之差。这是一个对“距离”的合理定义，因为它满足*非负性：两点距离总是大于等于 0对称性：A到B的距离等于B到A的距离* 零距离：A到B的距离为0当且仅当A = B三角形不等式：对于任意三点 A、B、C ,不等式 AB + BC > AC总 成立也就是说出租车几何学是建立在一个合理的度量空间上的。这是一个全新的几何世界。在这个世界里，很多经典几何
3、定理仍然成立。比方说，三角形的内角和 还是180度。因为，这是一个关于角度的定理，与距离的度量方式无关；既然 角度的度量方式不变，三角形的内角和也仍然不会变。不过，一旦涉及到三角形的边长，很多基本命题就不再成立了。等边对 等角是首先被否定掉的定理，底角不相等的等腰三角形满地都是。 例如上图中的 三角形ABC，虽然AB = AC，但三角形的两个底角显然不等。类似地，等角对 等边也不成立了，例如右图中虽然角 E和角F相等，但DE = 5 ，DF = 7 。 更不可思议的是，在出租车几何中，甚至能画出等边直角三角形来！在这个几何世界中，边边边不能用来判断三角形全等了。我们可以画出两个三角形ABC和A
4、'B'C'，它们的对应边都相等，但这两个三角形并不能重 合在一起。边角边也不能作为全等三角形的判定依据了一一三角形DEF和D'E'F'都是直角边均为2的直角三角形，不过它们明显不全等。真正有趣的不是出租车几何学世界中的三角形，而是这个世界中的圆 我们仍然定义圆是所有到定点距离为定值的点组成的图形。 那么在这个几何世界 里，圆是什么样的？下图给出了这个几何世界中一个半径为 2 的圆，圆周上的 所有点到 O 的距离均为 2 ：惊奇的不止这一点。 圆的方程似乎更简单了， 以原点为圆心的单位圆对 应的方程是 |x| + |y| = 1。更神奇的是，这个几
5、何世界的圆周率值也不一样了，它精确地等于 4 ！重新定义距离后， 很多图形会变得更加复杂。 定义两点间的垂直平分线 为到两点距离相等的点组成的图形。在这个几何世界里，垂直平分线是什么样 的？在一般情况下，垂直平分线并不是“垂直”平分线，而是一条折线段。但尽管垂直平分线如此奇怪， 不过(一般情况下) 三角形三边的垂直平 分线仍然交于一点。 这是因为， “三角形三边的垂直平分线交于一点”的证明过 程只与垂直平分线的定义有关， 而与垂直平分线的具体形式是无关的。 即使证明 过程用到了距离的定义， 用到的也是新旧两种定义共有的一些基本性质。 更有趣 的是，这个点也是名副其实的“外心”， 以它为中心可以
6、作出这个三角形的外接 圆来！也就是说，在出租车几何里， 一般位置上的三个点也唯一地确定了一个圆。不过，也有一些特殊的情况， 三点不能确定一个圆。 比方说，同时过 (0, 1) 、 (0, -1) 、 (1, 0) 的圆就有无穷多个。这是因为， (0, 1) 和 (1, 0) 的 垂直平分线，以及 (0, -1) 和 (1, 0) 的垂直平分线都不是“线”，有整块区域 的点都满足到两端点的距离相等。因此这几条“垂直平分线”的交集不止一个 点。还有哪些欧氏几何的经典结论在出租车几何学中同样成立？出租车几 何学中有什么漂亮而独特的结论？如何定义一些更加复杂的几何对象？它们在 出租车几何学中又是什么样？大家不妨继续往下思考一下。