六同第一讲还原法解题.doc

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1、第一讲 还原法解题教学目标： 1、初步了解“还原法” ，加强学生的运算能力 2、掌握“还原法”的解题步骤，并运用于解决实际问题 3、培养独立思考、自主探究的能力教学重难点： 熟练的应用还原法解答应用题 教学方法： 讲练法教学用具： 讲义 教学过程一、导入 清朝书画家郑板桥在山东潍县当县官时，有一年春天，他提着一壶酒在街上边走边饮， 又是吟诗， 又是画画， 正好遇上老朋友计山， 计山说： “光你一个人喝酒， 也不说请我喝呀？ 郑板桥说： “请倒是想请，只是你来晚了，我的酒已经喝完了。 ”计山问道： “你一个人喝了 多少酒呀？ ”郑板桥 “哈哈 ”一笑，吟出一首诗来： “我有一壶酒，提着街上走，吟

2、诗添一倍， 画画喝一斗。 三作诗和画， 喝光壶中酒。 你说我壶中， 原有多少酒？ ”计山眨着眼 想了半天， 说： “我算出来了，你的壶中原来一共 有7/8 斗酒。 ”郑板桥说： “对，你很聪明。 ”同学们， 你们知道计山是怎样算出来的吗？其实，计山在计算的过程中用到了我们今天要学习的方法-还原法。 等学完之后， 大家肯定会比郑板桥的好朋友更加聪明的。二、新课学习例 1、将一个数扩大 7 倍后，减去 5，再除以 5，最后加上最大的一位数，得 22。这个数是 多少？解析： 由已知我们知道，一个数经过了多步变化后变成了22，顺着推肯定我们没办法解决，那就只能倒着推了 怎么来的怎么回去。这里呢我们采用

3、方框法先把题目中的变化过程表示出来：在上图中，第一个方框表示原来的数，最后一个方框表示多步变化之后的新数。 中间的每一个方框表示，每一步变化之后得到的中间结果。 我们要求的是第一个方 框里面的数， 从最后一个方框一步一步往前推即可， 要注意的是倒退的时候采用的是逆运算：（22-9）× 5+5÷ 7=（ 13 ×5+5）÷ 7=70÷ 7=10小结： 这种数学运算题是用还原法解题的经典类型之一， 我们采用了倒推法， 即为还原法解 题的精髓 从最后结果一步一步倒着推理，回到已知条件。每一步运算为原来的逆运算，变加为减，变减为加，便乘为除，变除为乘。

4、而且，做这类题目时采用方框法，简单明了。 下面大家照着这个思路，计算郑板桥原来有多少酒，看看计山有没有算错。练习：“我有一壶酒，提着街上走，吟诗添一倍，画画喝一斗。三作诗和画，喝光壶中酒。 你说我壶中，原有多少酒”解析： 同样的我们先画方框图（1÷2+1）÷ 2+1÷ 2=（1.5÷ 2+1）÷ 2=1.75÷2=0.875（斗） 所以，计山算的是正确的。例 2、一筐鱼连筐重 100 千克，先卖出一半的鱼，又卖出剩下鱼的一半，这时连筐还重28千克，原来筐重多少千克？解析： 这一例与刚才的例子稍有区别， 虽然都是一半的关系。 但是筐子的

5、重量并没有发生变 化，只是鱼的重量存在一半的关系。从图中， 可以发现原来的鱼最后被分成了 4 份，我们假设最后剩下的鱼为一份， 那么原来的 就为 4 份，一共卖出去 3 份鱼。而筐子不变， 所以我们可以求出没份鱼的重量，然后再计算 筐子的重量。（100-28 ）÷（ 2×2-1） =24（千克）28-24=4（千克）例 3、贝贝的阿姨给贝贝送来一筐苹果，贝贝将其中的一半分给弟弟，又将剩下的一半分给 哥哥，最后将第二次剩下的一半留给爸爸和妈妈， 自己拿了剩下的 4个苹果。 问阿姨一开始 送来了多少个苹果？解析： 在这一例中都是“一半”的关系，我们仍然可以采用方框图法来分析4&

6、#215;2×2×2=32（个）小结：一半问题是还原法解题中的一大类型， 在这两例中， 关系比较简单， 大家很容易理解。 但很多时候，并不能恰好为一半，比如说“一半多几个” “一半少几个”对于这样的问 题，我们怎么解决呢？下面看例 3 过渡： 学习了“一半还多”的类型，那么“一半要少”该怎么解决呢？下面看例例 4、 仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12 吨。第二天售出的重量比剩下的一半少 12 吨，结果还剩下 49 吨。这个仓库原有大米多少吨？ 解析：已知卖出了一半少 12 吨，也就是剩下的要比一半多 12 吨，看方框图（49-12）× 2=74（

7、吨）（74-12）× 2=124（吨）小结：解决这一类一半问题时，要充分理解“多减少加”的思想。下面大家看练习题5，试试看！练习：三位同学共同买了一些铅笔， 甲分得的比总数的一半少 1 支，乙分得的是余下的一半 多一支，丙分得 8 支。问一共买了多少支铅笔？解析：这一题里面既有“一半多” ，也有“一半少” ，那么根据我们前面学的，画方框图（8+1 ）× 2=18（支）（18-1） × 2=34 （支）过渡： 到目前为止，我们学习的都是一个量在变化的过程，那么如果最开始有两个量、三 个量互相发生变化，我们能不能用还原法解决呢？答案是肯定的，我们看例题 5 例 5、爸

8、爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多一个，第二天吃了剩下的一 半多一个，第三天又吃了剩下的一半多一个，还剩下一个。问爸爸买了多少个橘子？ 解析： 这一例相对于上一例来说，要复杂一些，因为不是恰好一半了。而是“一半多一个” 也就是剩下的为“一半少一个” ，运算时要在一半的基础上再减去一个。看方框图：（1+1 ）× 2=4（个）（4+1 ）× 2=10（个）（10+1 ）× 2=22（个）小结： 这一例属于典型的一半问题， “一半多一个” ，计算时需要减一，即多减少加的思想。大家在做这一类题目时， 一定要分析清楚， 否则倒推的时候就会出错！ 下面大家看练习

9、题 2， 先自己试试。练习：商场出售洗衣机， 上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20台，还剩 95 台，这个商场原来有洗衣机多少台？解析：95+20）× 2=230（台）230+10 ）× 2=480（台）例 6、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球共 100 颗，甲给乙 13 颗，乙给丙 18颗，丙给丁 16 颗，丁给甲 2颗后四人的个数相等。 他们原来各有玻璃球多少颗？ 解析： 这一例就比我们刚才学习的要复杂一些， 因为有四个人， 他们的玻璃球数都在不停的 变化。由已知我们可以求出，他们变化到最后拥有的玻璃球数：100÷ 4=25 颗，然后

10、我们和前面一样，用方框图把每一个人的玻璃球数变化过程表示出来：甲：乙：解析： 甲丁：100÷4=25（颗）甲： 25-2+13=36 （颗）乙： 25+18-13=30 （颗）丙： 25+16-18=23 （颗）丁： 25-2-16=11 （颗）小结： 在这一例中， 是多个量之间发生相互变化， 在把每一个量从后往前倒推的时候一定要 考虑到这个量发生关系的所有变化，不能有遗漏。下面大家自己做练习题 4练习： 甲乙丙三组共有图书 90 本，如果乙组借给甲组 3本后，又送给丙 5 本，结果三个组 所有图书刚好相等，甲乙丙三个组原有图书各多少本？90÷ 3=30（本）甲 30-3=

11、27 （本） 乙 30+5+3=38 （本） 丙 30-5=25 （本）例 7、有甲乙丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桐油倒入乙、丙两桶，使他们各增加原 有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使他们的油各增加一倍；最后按同样规律将丙桶 油倒入甲、乙两桶。这时各桶油都是16 千克。求甲乙丙原有油多少千克？解析： 这一例是还原法解题的经典类型，称为“同样多”问题，即变化量和原来一样，也可以说变为原来的 2 倍，或者增加一倍等。对于这一类题目，我们通常采用列表法：甲乙丙第 3 次倒后161616第 2 次倒后8832第 1 次倒后42816原来26148下面大家看练习题 9练习： 甲乙丙三箱内共有

12、 384 个皮球，先由甲箱内取出若干个放进乙、丙两箱内，所放个数 分别为乙丙当时所有的球数； 再由乙箱取出若干放进甲丙两箱； 最后由丙箱取出若干放进甲 乙两箱， 放法都同前， 结果三个箱子内的皮球数彼此相等。 问甲乙丙各箱内开始分别有多少 个球？解析： 这一题和我们的例题非常相似似， 只是题目的说法变了。我们可以抓住“三箱内球数 彼此相等”这句话一步步往前推，列表如下：384÷3=128（个）甲乙丙第 3 次变化后128128128第 2 次变化后6464256第 1 次变化后32224128原来20811264例 8、两只猴子拿 26 个桃，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多

13、，就抢去一半； 甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴 5个， 这时乙猴比甲猴多 2 个（ 改一下 ）。问甲猴最初准备拿几个？解析 ：从最后一步开始考虑，两只猴子拿桃的总和是没有变的，这时乙猴比甲猴多2个，则可以得到甲猴： （26-2）÷ 2=12 个，乙猴： 12+2=14 个。乙猴不服，甲猴就还给乙猴 5个， 则此时甲猴有： 12+5=17 个，乙猴有 14-5=9 个；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半，则此 时甲猴有： 17-9=8 个 乙猴有： 9×2=18 个；乙看甲猴拿得太多，就抢去一半，则此时甲猴 有： 8×2=16个，乙猴有 18-

14、8=10 个。由上可知，甲猴最初准备拿 16个。三、课堂总结： 这一讲我们学习了还原法解应用题， 对于一个量的变化过程我们一般采用方 框图法来倒推， 多个量的用列表法来倒推。在倒推时，每一步运算都变为原来的逆运算，需 要注意：从最后的结果或条件出发， 逐步向前推导，不得跳跃；列算式的时候要注意运算顺 序，要合理使用括号。四、家庭作业练习题 1、3、 6、8、10五、板书设计还原法解题 倒推：从问题的结果向前逐步推理，回到已知条件。 类型：数学运算；一半问题；同样多问题；方框图：单个量列表：多个量六、课后反思 参考答案：巩固练习1、妮妮问王老师今年多大年纪，王老师说：把我的年龄加上9，除以 4，

15、减去 2，再乘以 3，恰好是 30 岁。问王老师今年多少岁？ 解析：30 ÷3 = 10 （岁） 10+2 = 12 （岁） 12×4 = 48 （岁） 48-9 = 39 （岁）2、商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台，这个商场原来有洗衣机多少台？解析：（95+20 ）× 2 = 230 （台） （230+10 ）×2 = 480 （台）3、粮库内有一批大米， 第一次运出总数的一半少 3 吨，第二次运出剩下的一半多 5 吨， 还剩下 4 吨。问粮库原有大米多少吨？（4+5 ）× 2 =

16、18 （吨）（18-3 ）×2 = 30 （吨）4、贝贝去银行取款，第一次取了存款的一半多50 元，第二次取了余下的一半多 100元。这时他的存折上还剩 1250 元。他原有存款多少元？1250+100 ）×2 = 2700 （元）2700+50 ）×2 = 5500 （元）5、有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式操作下去，最后还剩下一个桃。问：原来有多少个桃？ （1+0.5 ）×2 = 3 （个） （3+0.5 ）×2 = 7 （个）（15+0.5 ）× 2 = 31 （个

17、）31+0.5 ）×2 = 63（7+0.5 ）×2 = 15 （个） 个）6、三位同学共同买了一些铅笔，甲分得的比总数的一半少半多一支，丙分得 8 支，问三人共买多少支铅笔？1 支，乙分得的是余下的一8+1 ）× 2 = 18 （支）18-1 ）×2 = 34 （支）3 本后，又送给丙 5 本，结果三7、甲、乙、丙三组共有图书 90 本，如果乙组借给甲组个组所有图书刚好相等，甲、乙、丙三个组原有图书各多少本？90 ÷3 = 30 （本） 甲 30 -3 = 27（ 本）丙 30 -5 = 25 （本） 乙 30+3+5 = 38 （本）8、甲

18、、乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再 从乙桶中倒出和甲桶剩下的同样多的油放入甲桶。这时两桶油恰好都是 36 千克。问两桶油 原来各有多少千克？甲乙13636236 ÷2=1836+18=54318+27=4554 ÷2=279、甲、乙、丙三箱内共有 384 个皮球，先由甲箱内取出若干个放进乙、丙两箱内，所 放个数分别为乙、丙当时所有的球数；再乙箱取出若干放进甲、丙两箱；最后，由丙箱取出 若干放进甲、乙两箱，放法都同前，结果三箱内的皮球个数彼此相等。问甲、乙、丙各箱内 开始各有球多少个？ 384÷3=128 个甲乙丙11281281

19、282128÷2=64128÷2=64384-64 ×2=256364 ÷ 2=32384-128=32=224256÷2=1284384-112-64=208224÷2=112128÷2=6410、桌上有四堆木棒 , 分别有 17 根、7 根、6 根和 2根，现在请你从某一堆中拿出几根 到另一堆中 ,使另一堆的木棒数量增加一倍。这样挪动四次后 ,要使四堆木棒的数目相等 , 应 如何移动 ?解析：17+7+6+2）÷ 4 = 8 （根）甲乙丙丁117762217-2=15762+2=4315-7=87+7=14644814-6=86+6=12458812-4=84+4=8第一步，甲给丁 2 根 第二步，甲给乙 7 根第三步，乙给丙 6 根 第四步，丙给丁 4 根