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1、聚焦二元一次方程组中参数问题的求解李培华广东省化州市文楼中学 525136二元一次方程组中的参数一般是指在二元一次方程组中，除了兀与y之外，其它用字母 表示的数。对于二元一次方程组中的参数问题怎样求解呢下面本文将结合例题介绍三种常见 的重要方法，供大家参考：一变参为主法：即把二元一次方程组中的参数当作主要未知数来处理，建立新的关于此参数的一元一次 方程或二元一次方程组来求解的方法。Cx + y = 5k例1：关于X与y的二元一次方程组（兀_ y = 9k的解也是二元一次方程2x + 3y = 6的解，则£的值是y = 7ky = -2ky = ik： y), = _2R是二元一次方程
2、2x + 3y = 6的解3 2 x 7& + 3 x (-2k) = 6 解得 k = -43x + 2y = 3例2：若二元一次方程组2 y + ay = 1中的*与互为相反数，则 =解：x与y互为相反数x+ y = 0 即 y = x 从而有 3x + 2y = 3x-2x = x = 3 则 y = 一35 = 35£ = _3代入2"心得例3：若二元一次方程组Fix + ny = 3nx - ny = 1有相同的解，则in =4x + y = 5|3x-2y = 1hnx + ny = 3町初F=1有相同的解x = 1 p/tr + z?y = 3也是3
3、i的解，从而有yy = 1 i?tx -ny = 由(1)+(2)得m = 2把m = 2代入得n = 1故 Hl = 2 , 7? = 1m + /? = 3(1)jn -n = (2)例4：若二元一次方程组彳+ 5y = -26 ax by = -4J3x-5v = 36l加+与=-8有相同的解求(2 + /?)20,0 的值。2x + 5y = -26 ax by = -4=3x-5y = 36加+©=弋有相同的解_3x-5y = 36加+ q“8的公共解则有"2x0 +5y0 = 26 r 3x0 5y0 = 36 心-by0 = -41 bx0 + ayQ = -
4、8加0 -by0 = -4 ,Q的公共解如0 + ayG = -8= 2Jo = 一6_2x + 5y = -26设YLv = >oLux-b-4 和、P = XoJ2%+ 5y()= -261也,ly =儿-5yQ =36由+ 5y0 = 26一 5，o=36 得byQ = 4 2c/ + 6b = 4(1)2b 6a 8(2)勺=2c代入彳M = -6由(i)x3+(2)得 20/? = 20解得b = - 把b = l 代入得d = l(2a+ b严° =(2x1-1严° =1加()得1/?勺 + ay0 = -8例5：甲乙两个学生解二元一次方程豹ax + by
5、 = 16cx-by = 32'甲正确地解出x = 61,乙因为把c看错而得到的解爰>=_21 = 7.6=-1.7'求"皿的值。解:依題意知,x = 61和y = 一 2x = 7.6), = _ 7 都是 “x + by = 16 的解故 a = 3,b = 4,c = 5小结：变参为主法是处理二元一次方程组中的参数问题的重要工具。像例1一一例3 结合题意，直接利用变参为主法，把有关参数问题转化为解关于此参数的一元一次方程或 二元一次方程组问题，从而快速得到答案；而例4和例5则结合等价转化思想，先通过重 组新的二元一次方程组，并求出此二元一次方程组的解，然后
6、利用变参为主法把有关参数 问题转化为解关于此参数的二元一次方程组问题，从而把参数问題简单化。二整体化参法：即结合所要求解的目标参数式的特点，利用转化思想，对二元一次方程组中的参数作 整体化处理的方法。例6：若二元一次方程组彳7/x + Z?y = 4bx + ay = 5 J,则a + b的值为_ux + Z?v = 4Jbx + ay = 5 JJ由(1)+得 3(“ + Z?) = 9 则 a + b = 32a + b = 4(1)'2b + a = 5(2)y + 2y = 4k例7：已知2x+)，= 2R + ，且一 1<尤一，<0,则k的取值范围为()A1<
7、;&<一丄B-<k<0 CO<k<-»丄<£<12 2 2 2Cx + 2y = Ak(1)解仏+y = 2R + 1 (2)由-得 x-y = (2£ + 1) 4£ = -2k；O得故选D小结：整体化参法是处理二元一次方程组中的参数问题的最快捷途径。像例6和例7 结合所要求解目标代数式的特点，利用代入法和加减消元法，对二元一次方程组中的参数 作整体化处理，从而使得解题过程既简便又快捷。三待定系数法：即把所要求解的参数目标式转化成用此参数的二元一次方程来表示，然后根据相等多 项式对应项系数相等的性质寻求
8、所需要配凑的系数的求解方法。例8：若是二元一次方程组nix + ny = 13他+ 2歼8的解则加+6"的值为解：一，是二元一次方程组V = 1mx + ny = 1 沁+ 2®“的解m + n = 3m + 2n = 8设 5m + 6w = k、(m + n) + k2 (3m + 2n)=伙+ 3k 2 )m + 伙+ 2k2 )n k +3k = 5由相等多项式对应项系数相等的性质犹：+2二&（2） 由一得人=一1,把匕=一1代入得人=8T m + n = 1,3? + 2/? = 8/. 5m + 6n = 8(/n + h) (3m + 2n) = 8x
9、18 = 0例9：若二元一次方程组:;二则"方的值为（）x + y = 33x-2y = 4的解为c-15解:v-元一次方程组S)+ y = 3= 4的解为ra + b = 3i3a-2b = 4设 a-b = k(a + b) + k2(3a -2b) = (k、+ 3k2)a + 伙】一 2k Jb由相等多项式对应项系数相等的性质律k、+3人=1(1)k -2k2 =-1(2)2 2 1由一得5心=2,解得仏=二，把心=二代入得&=_二a + b = 3,3。-2b = 412°一/?=（）x3 + x4 = l55故选A例10：已知二元一次方程mxny = 0
10、的两组解为rv = -1rv = 2 和x = 2那么y = 13m + In的值为解：二元一次方程tnx + ny = iO的两组解为 一 m + 2n = 102m - = 10设 3m + In = k、(m + 2n) + k2 (2m n) = (2k2 一 kx )m + (2« k2 )n由相等多项式对应项系数相等的性质律2k 2 k、= 32k、-k2 =7131317由X2+(2)得迪=13,解得“亍把“齐"、側*T -rn + 2/7 = 10,2/77-7： = 10*. 3/n + 7/i = (-in + 2/z) + (2/?z-n) = 一x 10 + xl0 = ( + )xl0 = 100333333小结：待定系数法也是处理二元一次方程组中的参数问题的重要法宝。它的特点在不 需要直接求出参数值而能根据相等多项式对应项系数相等的性质求出参数目标代数式的 值。像例8例10通过转化思想，利用待定系数法建立关于此参数系数的二元一次方 程组，从而把参数问题巧妙处理。综上可见，有关二元一次方程组中的参数问題的求解方法是灵活多样的。只要我们仔 细观察二元一次方程组中参数的特点，选准合适的求解方法，二元一次方程组中的参数问 题便迎刃而解。