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1、数学试卷勾股定理的逆定理1 勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形(2)数学表达式：如图所示，在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，如果 a2 b2 c2 ，则 ABC 为直角三角形， c 边所对的角为直角，即 C=90° .知识点拓展：(1)运用勾股定理的逆定理可判定三角形是否为直角三角形，同时也可用来说明两直线是否垂直在运用时要注意两点： 不能机械地认为Rt ABC中， c边所对的角是直角； a2 b2 是否与c2 相等需要计算说明，不能一开始就用a2 b2c2.(2)设三角形的三边长
2、为a， b， c(c 为最长边) 若a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形； 若a2b2c2，那么这个三角形是锐角三角形； 若a2b2c2，那么这个三角形是钝角三角形【例 1】根据下列条件，判断ABC 是不是直角三角形(1)a2 1， b21， c6；(2)a b c 13 12 5.分析： 解决这类题要先找出最长边，并算出它的平方，再算出两条较短边的平方和，然后判断最长边的平方是否等于两条较短边的平方和解： (1)最长边是c6，则 c2 6. a2 b2 (2 1)2 (21)2 3 22 3 22 6， c2 a2 b2. ABC 是直角三角形(2)设 a 13k，b 12k，c 5k(
3、k 0)，最长边是 a 13k，则 a2 (13k)2 169k2. b2 c2 (12k)2 (5k)2169k2， a2 b2 c2. ABC 是直角三角形(1) ABC 的三边 a，b， c 中的任意一边都可以是斜边，不要受思维定式的影响，总认为 c 是最长边，其实应根据已知条件确定最长边(2)如果三角形三边的比是勾股数的比，那么这个三角形是直角三角形(3)设常数 k 是转化比例关系的常用方法，应熟练掌握2 勾股数： (1) 能够成为直角三角形三条边的若三个数为勾股数，则它们必须同时满足两个条件长度； (2)三个数都是正整数这两个条件缺一不可a2 b2 c2 的三个正整数根据“勾股数”的
4、定义我们知道，“勾股数”指的是满足a，数学试卷b， c，而有些同学误认为只要满足222a b c 的三个数 a， b， c 即是勾股数，这是错误的，比如 6,8,10，虽然满足 ( 6)2 82 102，但 6,8,10 不是勾股数【例 2】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a2 12 122234 15 1b46810c2 12 122234 15 1(1)请你分别观察a， b ， c 与 n 之间的关系，并用含自然数n(n 1)的代数式表示： a_， b _， c _.(2)以 a， b， c 为边长的三角形是否为直角三角形？分析： 从表中的数据找到规律解 ： (1
5、)n21 2n n2 1(2)以 a， b， c 为边长的三角形是直角三角形理由如下： a2 b2 (n2 1)2 4n2 n4 2n21 4n2 n4 2n2 1 (n2 1)2c2， 以 a， b， c 为边长的三角形是直角三角形3 两点之间的距离公式在平面直角坐标系中有两点A(x1 ， y1) ， B(x2， y2) ， A ， B 两点之间的距离|AB| (x2 x1 )2 (y2 y1)2，这就是两点之间的距离公式【例 3】在平面直角坐标系中有两点A( 1,1)， B(1,3)，在 x轴上找一点 C，使 AC BC，求点 C 的坐标分析： 由于点 C 在 x 轴上，故可设点C 的坐标
6、为 (x,0)，由于 AC BC，故可根据两点间的距离公式列方程求解解： 设 C 点的坐标为 (x,0) AC BC，22( 1 x) (1 0)即 (x 1)2 1 (x 1)2 9，解得 x2，故 C 点坐标为 (2,0)若解为整数，用几何法在网格中可以确定 C 点坐标；若解为非整数，用几何法只能画出大概位置，不能用坐标准确定位，所以用两点间的距离 公式列方程求解显得十分必要4 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形勾股定理的逆定理的主要作用是判断一个三角形是否是直角三角形，另外，还可以运用勾股定理的逆定理来判断一个角是否是直角，或判断两条直线是否垂直三角形的三边长已知，需要判断一个三角形是否
7、是直角三角形时，就要联想到是否用到勾股定理的逆定理【例 4】如图所示， D 是 ABC 的边 BC 上一点，已知 AB 13， AD 12，AC 15， BD 5，试求 ACD 的面积数学试卷解： 因为 AD 2 BD 2 122 52 169，AB2132 169，所以 AD 2 BD 2 AB2，所以 ABD 是直角三角形，AD BC.在 RtADC 中， CD 2AC2AD 2 152 122 81，11× 954.所以 CD 9， SADC AD ·CD × 12225 勾股定理及其逆定理的综合运用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据
8、，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系即“a2 b2 c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2 b2 c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一种方法【例 5】如图所示，在 ABD 中， A 是直角， AB 3， AD 4， BC 12， DC 13， DBC 是直角三角形吗？为什么？解： DBC 是直角三角形理由：在 Rt BAD 中，22222根据勾股定理，得BD AD AB 4 3 25，2222在 DBC 中， BD B
9、C 25144 169 13 CD .得 DBC 是直角三角形6 勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在实际问题中有着广泛的应用，首先要根据题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，进而得到三角形，然后由题目提供的信息找出相关数据，按照题目的要求来判断是否是直角三角形把实际问题转化为数学问题后，不要只从图形上就误认为三角形是直角三角形，而必须通过勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形，也就是进行计算求解【例 6】如图，这是一个农民建房时的地基的平面图，按标准应为长方形他在挖完后测量了一下，发现 AB DC 8 m ， AD BC 6 m ， AC 9 m ，请问：该农民挖的地基是否合格？
10、数学试卷解： 在 ADC 中， AD 6 m， DC 8 m， AD2 DC2 62 82 100. AC2 9281， AD2 DC2 AC2， ADC 不是直角三角形， ADC 不是直角而长方形的四个角都是直角， 该农民 挖的地基不合格7 勾股数及其确定方法设直角三角形的三边长为a，b， c，且斜边为c，由勾股定理得a2 b2 c2，这是构成直角三角形的等价条件，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，就称为勾股数常用勾股数有：3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 8,15,17； 7,24,25； 9,40,41 等勾股数一定是正整数，如1.5， 2,2.5 这三个数虽然能
11、构成直角三角形的三边，但是这三个数并不是勾股数对于大于 2 的任意偶数2n(n 是大于 1 的正整数 )，都可以与n2 1， n2 1 构成一组勾股数，如 3,4,5； 6,8,10； 8,15,17；任意一个大于 1 的奇数 2n 1(n 是正整数 )都可以与2n22n,2n2 2n 1 构成一组勾股数，如 3,4,5 ； 5,12,13；7,24,25 ； .【例 71】已知：数7 和 24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是_ 答案： 25a2 b2 c2 成立的任何三个正整数我国清代数【例 7 2】所谓的勾股数就是使等式学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数 m， n(m n)，取 a m2n2 ，b2mn， cm2 n2，则 a， b，c 就是一组勾股数请你结合这种方法，写出85(三个中最大),84 和 _组成一组勾股数答案： 13