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1、第14讲 万有引力定律及其应用教学目标1. 了解万有引力定律的发现过程，知道万有引力定律.2. 知道第二宇宙速度和第三宇宙速度，会计算天体的质量和人造卫星的环绕速度 重点：运用万有引力定律解决天体模型 难点：了解各种天体模型，知道它们的区别知识梳理一、开普勒行星运动定律1. 开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦 点上。2. 开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的 面积。（近日点速率最大，远日点速率最小）3. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都
2、相等。a3T2GM厂（M为中心天体质量）K是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关、万有引力定律1. 定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比,跟它们距离的平方成反比。2. 表达式：F=GmM/r G 为万有力恒量：G=6.67X 10-11 Nm 7kg说明：（1）公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物 体本身的大小时，物体可视为质点。（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因.但重力又不完全等于引力.这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自 转而绕地轴做匀速
3、圆周运动，这就需要向心力这个向心力的方向是垂2直指向地轴的，它的大小是 f mr ，式中的r是物体与地轴的距 离，3是地球自转的角速度. 这个向心力来自哪里？只能来自地球对物体 的引力F，它是引力F的一个分力如右图，引力 F的另一个分力才是物 体的重力mg.在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度3相同，而圆周的半径最大，在两极最小（等于零）纬度为a处的物体随地球自转所需的向心力r不同，这个半径在赤道处2mR cos (R为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处RCOS a = 0，f = 0.作为引力的另一个分量,即重力则随纬度升高而增大.在赤道上，物体的重力等于引
4、力与向心力之差.引力就是重力.但由于地球的角速度很小，仅为105rad /s数量级，所以即mgGmR2mg与F的差别并不很大.在两极,在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力从图1中还可以看出重力 mg般并不指向地心,mg G.这是一个很有用的结论.只有在南北两极和赤道上重力mg才能向地心.同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小.若不考虑地球自转，地球表面处有mg GMm.，y R2可以得岀地球表面处的重力加速度在距地表咼度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g/,由牛顿第二定律可得:mgMm(R h)2G(R h)2R
5、2(R h)2如果在h=R处，则g/ = g/4 在月球轨道处，由于r = 60R，所以重力加速度 gz = g/3600重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用.、万有定律的应用1. 讨论重力加速度 g随离地面高度h的变化情况：物体的重力近似为地球对物体的引力，即mgMm(R h)2所以重力加速度g(Rh)2可见，g随h的增大而减小2. 算中心天体的质量的基本思路：(1) 从环绕天体出发：通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M(2) 从中心天体本身出发：只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量Mo3. 解卫星的有关问题：在高考
6、试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即2 2Mmv24 rG 2ma 向 m m r m 厂rrT二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即Gmg从而得出GMgR2 (黄金代换,R不考虑地球自转)4. 卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星。定高：h=36000km定速：v=3.08km/s定周期：=24h定轨道：赤道平面5. 万有引力定律在天文学上的应用主要是万有引力提供星体做圆周运动的向心力.人造地球卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系由GM r2v沖m得vrr越大，v越小由GMm rmrGMr越大，3越小4 2r
7、3r越大，T越大行星和卫星的运动可近似视为匀速圆周运动，而万有引力是行星、卫星作匀速圆周运动的向心力。6.三种宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）：由 mg=mV/R=GMm/R得：V=J RG 7 910 Km/s V 1=7.9km/s， R是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第二宇宙速度（脱离速度）：V2= _ 2 Vi=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。题型讲解1.天体模型的估算（1）英国新科学家（NewScientist ）杂志评选出了 200
8、8年度世界8项科学之最，在 XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km,质量 M 和半径 R的关系满足2c（其中c为光速,2GG为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为 108m/s2.1010m/s212 2 10 m/s142 10 m/s【解析】对黑洞表面的某一质量为m物体有:G啤mg，又有MRR 2G2c，联立解得gR带入数据得重力加速度的数量级为12 210 m/s，C项正确。【答案】C提炼岀有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞点评：处理本题要从所给的材料中，实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之
9、间的万有引力。（2）如图所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星0运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R，周期为T0 中央恒星O的质量是多大？ 长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星to时间发生一次最B （假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起 A轨道的偏离.根据上述现 象及假设，你能对未知行星 B的运动得到哪些定量的预测.【解析】：设中央恒星质量为 M A行星质量为 m则有条件本题中根据周期可
10、求岀角速度；根据(3)通过观测天体表面运动卫星的周期 靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为【解析】设此恒星的半径为R,质量为M,由于卫星做匀速圆周运动，则有2厂Mm4G =m _,所以,r2t2MmGp Rom(=)2 RoTo解得：m4 2RoGT。2如图所示,由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔to时间相距最近设B行星周期为Tb,则有:toto1厂ToTb:r、I1-f:A 占0':解得：tbToto1 : ' to To该B行星的质量为m，运动的轨道半径为 RB，则有Mm,2、2f介G 厂 m ()RbrBTb由、可得：Rb Ro 3 (t°
11、 )2to To点评：本题的难点是运动模型的建立，A、B相距最近时，B对A的影响最大是一个重要的隐含条件，在时间to内A、B运动的物理量间的关系是列方程的一个重要依据，做这种题型时要注意认真读题，挖掘岀这些B行星运动的半径可求岀 B行星的线速度和向心加速度.T,就可以求岀天体的密度P。如果某行星有一颗卫星沿非常T,则可估算此恒星的密度为多少 ？912小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为 g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射。t，用m M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有/2 2mr()太阳光0 / E4 2R3M= 厂gt2而恒星的体积V=43n R3,
12、所以恒星的密度p =M =V gt2(4)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星, 试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落R,地球表面处的重力加速度为【解析】：设所求的时间为春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，0表示地心.由图可看出 当卫星S绕地心0转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆 时针方向)，其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对 称性，有r sin R由以上各式可解得4 2R,tarcs in( 2gT2.重力加速度g随离地面高度h的变化情况设地球表面的重力加速度为 g,物体在距地心4R（
13、R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重 力加速度g'，则g/g '为A 1 ； B、1/9 ； C 、1/4 ； D 、1/16。【解析1：因为g= G 叫,g = G M一-,所以g/g =1/16,即D选项正确。R2（R 3R）【答案】D3. 三个宇宙速度既具有动能又具有引力势能.设地球的质量为M以（引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略人造地球卫星绕地球旋转时， 地说此势能是人造卫星所具有的）卫星离地还需无限远处时的引力势能为零，则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为Ep（G为万有引力常量）.当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣r脱
14、地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星，这个速度叫做第二宇宙速度.用R表示地球的半径，M表示地球的质量，G表示万有引力常量.试写岀第二宇宙速度的表达式.【解析】第二宇宙速度：从地面岀发到脱地轨道需要提供的速度在地面上刚发射：Ep，Ek -mv22R2脱地：EP/0， EK/0从地面上发射后到脱地，机械能守恒ek ep ek EP得 V2 、2：M, 2gR【答案】 v22GM R2gR点评：第一、二宇宙速度的联系 v22v1（推导方法：机械能守恒第一宇宙速度：从地面岀发到近地轨道需要提供的速度在地面上刚发射：EPGMmREk1 2mv<2在近地轨道：EP/GMm,ER1mv2(通过Gm
15、2RRm求)R343千米的圆轨道，在此可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。D选项飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有 引力来提供加速度，所以相等，【答案】BC点评：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力（非重力、弹性力零，则机械能不守恒。根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、D不正确。）不做功，且其他力做功之和不为动量等状态量。由MmG2man可求向心加速度。r» 得 v “ GM，由 GMm-m()2r 得 T 2r' rr2 Tr3, Mm，由 G 2mGM
16、r22r得从地面上发射后到近地轨道，机械能守恒 ek Ep Ek Ep得 V1 vGM,gR4. 宇宙飞船问题（1）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞 船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为圆轨道上飞船运行周期约为 90分钟。下列判断正确的是A. 飞船变轨前后的机械能相等B. 飞船在圆轨道上时航天员岀舱前后都处于失重状态C. 飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度D. 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度【解析】A选项飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以
17、A不正确。B选项飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员岀舱前后都处于失重状态，B正确。C选项飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期（2）我国已于F=1.742004年启动“嫦娥绕月工程” ，2007年之前将发射绕月飞行的飞船.已知月球半径 X 106m月球表面的重力加速度g=1.62m/s2.如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h=2.6 X 105m,求飞船速度的大小.【解析】在月球表面GMm mgR2飞船在轨道上运行时GMm(R h)22mvR h由式解得：v RgV R h代入已知数据得：v=1.57 x 103m/s5. 万有引力定律结合圆
18、周运动的应用Ep =重力势能 Ep= mgh实际上是万有引力势能在地面附近的近似表达式，其更精确的表达式为GMm/r，式中G为万有引力恒量，M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心的距离，并以无限远处 引力势能为零。现有一质量为 m的地球卫星，在离地面高度为 H处绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径 为R，地球表面的重力加速度为 g,地球质量未知，试求：(1)卫星做匀速圆周运动的线速度；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能；(4)若要使卫星能依靠惯性飞离地球(飞到引力势能为零的地方)，则卫星至少要具有多大的初速度?【解析】(1)由牛顿运动定律:Mm2vm -R得：vGM ,R H由引力势能的表达式 EPGmM,r H r卫星的机械能应该是卫星的动能和势能之和，即EpE Ek Ep， Ek1 2mv2GMm2(RH)，EPGMmE GMm 2R 2H由机械能守恒定律，对地球与卫星组成的系统, 初速度至少应为在地球表面的机械能与飞到无限远处的机械能相等。设E1 mv22GMm,E20，E1RE2解得：v点评：在卫星和地球组成的系统内，机械能是守恒的，卫星的动能可通过匀速圆周运动的线速度来求，引 力势能在选择了无穷远处为零势能点后，可以用EP GmM 来求，机械能为两者之和。