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1、.WORD完美格式.专业知识编辑整理豪习讲宝*共面直线第章立体几何与空间向量§8.3空问图形的基本关系与公理基础知识自主学匀ET知识梳理11.四个公理公理i:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）.公理2 :经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线平彳 2 .直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 定义：过空
2、间任意一点P分别引两条异面直线 a, b的平行线li, D（a/ li, b/ “），这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角（或夹角）. 范围：（0，讣3 . 直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4 .平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【知识拓展】1 .唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 过平面外一点有且只有一条直线与
3、已知平面垂直.2 .异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 如果两个不重合的平面 a, B有一条公共直线a,就说平面a, B相交，并记作an p= a.()(2) 两个平面a, B有一个公共点A,就说a, B相交于过A点的任意一条直线.()(3) 两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )(4) 经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(5) 没有公共点的两条直线是异面直线.()1 .下列命题正确的个数为() 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
4、 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0 B. 1 C. 2 D. 32 . (2016浙江)已知互相垂直的平面a, B交于直线I.若直线m, n满足m/ a, n丄B,则()A . m/ l B. m / n C. n 丄 l D . m±n3. (2016合肥质检)已知l, m, n为不同的直线，a, B y为不同的平面，则下列判断正确的是()A .若 m /a, n /a,贝 U m / nB .若 m丄a, n /Ba丄 B 贝Um± nC .若 anp= l , m /a, m / B贝 Um/lD .若 a
5、nB= m,an Y=n , l 丄m ,l 丄n ,贝U l 丄 a4. (教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCD - EFGH中，AB= 2 . 3 , AD = 2,3 , AE = 2, _则BC和EG所成角的大小是 , AE和BG所成角的大小是 .5 .如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB/ CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.题型分类深度剖析题型一平面基本性质的应用例1 (1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面a，B内，则“直线a和直线b相交”是“平面 a和平面B相交"的()A .充分不必要条件B.必要不充分
6、条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG1 E、F、G、H四点共面； 三直线FH、EG、AC共点.CH = 3DC.求证:跟孫训爆1 如图，平面abef丄平面ABCD ,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，/ BAD = Z FAB1 1=90°, BC / AD 且 BC = 2AD , BE / AF 且 BE= §AF , G、H 分别为 FA、FD 的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？题型二判断空间
7、两直线的位置关系例2 （1）（2015 东）若直线11和l2是异面直线，b在平面a内，12在平面B内，I是平面a与平面B的交线, 则下列命题正确的是（）A . I与li, I2都不相交B . I与li, I2都相交C . I至多与li, I2中的一条相交D . I至少与li, S中的一条相交如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M , N分别是BCi, CDi的中点，则下列判断错误的是 （）A . MN与CCi垂直B . MN与AC垂直C . MN与BD平行D . MN与AiBi平行（3）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线G
8、H、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）1.a丄b, a丄c,贝U b/ c； 若 a丄b,跟踪训练？（i）已知a, b, c为三条不重合的直线，有下列结论：若a丄c,贝U b± c；若a / b, b丄c,则a丄c.其中正确的个数为（）A . 0 B . 1 C . 2 D . 3（2）（2016南昌一模）已知a、b、c是相异直线，a B、y是相异平面，则下列命题中正确的是（）A . a与b异面，b与c异面？ a与c异面B . a与b相交，b与c相交？a与c相交C. all B p/ y? a / yD . a/a, b/p, a与p相交？a与b相交题型三求两条异面直
9、线所成的角CE与BD所成角的余弦值为（例3（2016重庆模拟）如图，四边形 ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为已知正四面体 ABCD中，E是AB的中点，则异面直线A.6D._33-思想与方法系列16 构造模型判断空间线面位置关系典例 已知m, n是两条不同的直线，a, B为两个不同的平面，有下列四个命题:若 m丄a,n 丄B,m± n，贝Ua丄B；若 m /a,n /p,m±n,贝U all B；若 m丄a,n /B,m± n，贝UallB；若 m丄a,n /B,a/B,贝Um±n.其中所有正确的命题是课
10、时作业1 设a, b是两条不同的直线,a,B是两个不同的平面,aa,b丄B,贝UaallB是“ a丄b”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2 . （2016福州质检）在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为棱AAi、C®的中点，则在空间中与直线A、EF、BC都相交的直线（）A 不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条D 有无数条3 .对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m,使m与1（）A .平行 B.相交 C.垂直D .互为异面直线4.在四面体 ABCD的棱AB, BC, CD, DA上分别取E, F, G, H四点，如
11、果EF与HG交于点M,则（）A . M 一定在直线AC上B . M 一定在直线 BD上C . M可能在AC上，也可能在 BD上D . M既不在 AC上，也不在 BD上5 .四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为 馬，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值A.54B.536 .下列命题中，正确的是（）A .若a, b是两条直线，a, B是两个平面，且a a, b B则a, b是异面直线B 若a, b是两条直线，且a/ b,则直线a平行于经过直线b的所有平面C 若直线a与平面a不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D .若直线a/平面a,点P a,则平面a内经过点P且与直线a平
12、行的直线有且只有一条7 . （2016南昌高三期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面为直角三角形./ ACB = 90° AC = 6, BCCCi = 2，P是BCi上一动点，则 CP+ PA!的最小值为A8如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线； GH与MN成60°角;DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 .9 . （2015 浙江）如图，三棱锥 ABCD 中，AB = AC= BD = CD = 3，AD =中点，则异面直线
13、AN，CM所成的角的余弦值是 .BC= 2，点M， N分别是AD，冲BC的10.（2016郑州质检）如图，矩形ABCD 中, AB= 2AD ,E为边AB的中点，将厶ADE沿直线DE翻折成 AQE.若M为线段A1C的中点，则在 ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使 DE丄AQ;4 zAER存在某个位置，使 MB /平面A1de.且E为DABC = . 2，DA丄 AC，12. 如图所示，等腰直角三角形 ABC中，/ A= 90° 的中点求异面直线 BE与CD所成角的余弦值.13. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1, C1B1 的中点，ACH BD =P，A1C1Q EF= Q.求证:（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，_则P, Q, R三点共线.山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。