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1、第二章LMS自适应滤波2.1基于最陡下降法的维纳滤波问题的迭代求解（基于最陡下降法:Method of Steepest Descent梯度算法：Gradient Algorithm）MMVCLAB2008/9/1812. 1基于最陡下降法的维纳滤波问题的迭代求解MMVCLAB2008/9/1832. 1基于最陡下降法的维纳滤波问题的迭代求解yS)x(n) LFIR线性y（）滤波器+/(H) = Ee2 (h) = E (y(H)- yW2 = min=力0, ，力N_1 e(n)维纳滤波问题的求解：求H叨为此，基于如下思想构造迭代算法：构造迭代算法，根据迭代算法所得到滤波器系数矢量更新序列:
2、H(O),H(1),H(SH 伙+ 1), 使均方误差随着滤波器系数矢量的更新而下降,即JHO< JH( + 1)滤波器系数矢量的一种更新方法:最陡下降法-一即系数矢量的更新沿着均方误差的最陡下降方向即沿着均方误差的梯度方向的相反方向梯度法SO2Qh°raEOWSTnU14X0 s12OGQ1DXQrfl&M4DCG2DM50Wiener-Hopf equations & Wiener filter solution /(H) = E)；2(H)-2r；H + HrRXA.H(bowl-shaped) error-performance surface (wit
3、h unique minimum)均方误差相对于系数矢量的梯度：= ajH H二H（）一 QHeh) = Hr(n)X(n) = Xr(n)H(n)V 5)_ 加/(力g 6H=-2Ee(n)X(n) = 2RuH(n) 2rvv8 -迭代步长（$切 size）滤波器系数矢量更新1HS + 1) = H() - 一 6VG(n)rvx = RqH 叨= H(n) + 5ryx-R H(n)H()= H(h + 1)-H(n) = -|vG(n) =-H(n) JH(n + l)< JH(n) 峯g JH(« +1)« JH(/i) +(n)VH(n)可以证明：当迭代步
4、长足够小时，=JH(n)-|VG(H)讨论:维纳滤波问题的迭代求解的最陡下降算法由三个量决定：初值H(0)，梯度矢量VgS)，R J步长/最陡下降算法的迭代过程是确定的(deterministic)(3)维纳滤波问题的迭代求解的最陡下降算法在迭代步 长足够小时收敛于维纳最优解.(4)维纳滤波问题的迭代求解的最陡下降算法需要先验知识：rvr,RHS +1) = H(Q + 刃.-RHG)MMVCLAB2008/9/1872.2LMS自适应算法2.2 LMS自适应滤波(Least Mean Square Adaptive Algorithm)(最小均方误差:Least Mean Square)1问
5、题的提出：传统线性滤波=最优线性滤波=自适应滤波1) .传统线性滤波器设计:低通/带通/带阻/2) .最优滤波器设计所谓的最优滤波是在一定的统计意义上的，按某 一准则；信号和噪声被看作是随机过程；最优滤波器设计需要一定的先验知识T女口 ： Wiener filters, Kalman Filters当缺乏对于输入信号的先验知识时:3). Adaptive filtersself-designingadaptation algorithm to monitor environmentadaptive filters 的性能指标：收敛性能/跟踪能力(convergence/tracking)num
6、erical stability/accuracy/robustnesscomputational complexityhardware implementation2. Gradient adaptive filtersLMS自适应滤波是梯度自适应滤波的重要一种梯度自适 应滤波是基于最陡下降迭代算法的基本思想的一类自适 应滤波.X（H）劲）梯度自适应滤波原理框图y（）3. LMS adaptive filtering (FIR Transversal)基于最陡下降法的维纳滤波问题的迭代求解H(n +1) = H(“) - i 3Vg (n)V。(”)=週兽纠H = H(”)=-2Ee(n +
7、 1)X( + 1) = 2RvvH(n) 一 2rvve(n +1) = yn +1) 一 yn +1)=y(n + 1)-H7 (n)X(n +1) = yn +1) - Xr (n + l)H(n)MMSE准则丿(H) = Een) = E (y(n) - y(n)2 = minMMVCLAB2008/9/18132.2LMS自适应算法when a priori statistical information is lacking/VgS)uVgG)一种简单的估计方法:用瞬时值作为估计值INJ(H)|Ee2(n)J(H) = e2(n)VG (n) = -2Ee(n + 1)X( +1)
8、/Vc(n) = -2(n + l)X(H + l) d - /显然，这是一种无偏估计：£VG(«) = VG(n)LMS自适应算法:给定初始值H(0)e(n +1) = y(n +1) - Hr(n)X(n +1)H(n +1) = H(n) + den + 1)X( +1), n = 02 X(n +1) = x(n +1), x(心,x(n - N + 2)r H(n) = WoS)也(心傀_1()丁LMS adaptive filter(FIR Transversal)实现结构图%）=工儿（一 l）x（ k）k=0e(n) = y(n) - y(n)hk (n) =
9、 hkn 一 1) + den)xn-kk = 0丄2.N 一 1MMVCLAB2008/9/18152-2 LMS自适应算法4. Examples传统的宽带信号中抑制正弦干扰的方法是采用陷波器(notch filter)此我们需 要精确知道干扰正弦的频率然而当干扰正弦频率是缓慢变化时，且选频率特性 要求十分尖锐时，则最好采用自适应噪声抵消的方法.x(n) = N£n)x(h)正弦干扰相 关成分y(“)宽带信号+正 弦干扰 y(n) = S(n)+NQ(n)亍)FIR阶次为2(N=2)h0(n)，hi(n) e(n)Wideband Signa y()SS)是均匀分布的白噪音,l (
10、0) = 0.05N()(n) = sin(N n + )0 16 10N、(m) = >/2 sin(- “)SS)和NoS),N")不相关求相关系数:（正弦信号的相关，可对其一个周期取平均来获得）2 伙）二君 Y （血 sin ）（V2 sin 逢;切）=cos 誓1 o i=olblb1 o/1/2tz7 7i lz rr 2tt（z k）、1/k 7i x川）花若丽花+卫（屁“=存os（荷+新G，（°）= G（0）+ 仇 n°（0）= 0.05 + 0.5 = 0.55输入信噪比为0.11）最优系数 = R工, = %订2(0)和1)2d) 2(&#
11、176;)1.200-0.571 r捺0）=R Hyxxx optryX （!）人 in = Eyn）-H 爲 Rg = ryy （0） - Hryx = 0.05即:完全抵消了正弦，表示在理想的情况下，信噪比从01提高到无穷大MMVCLAB2008/9/18192）误差性能曲面和等值曲线J（H）= Ey2（H）-2r；H + HrRX¥H=0.55 + hj + 2/Zq/Zjcos - V2An cos - a/2/z. cos 8010140IJ、 11、 : ： < . 、 # % 、.、 %J、 svv-广、M .、 x'、. 斗b-7 - 、 、11曲线1A” _-<<-. m.% Y冷（o）=33）最陡下降法和LMS算法的搜索过程，H（0） = 5 = 0.4_41最陡下降法：HS + 1） = H（）-一化）叠代过程如曲线1LMS算法：e(n + 1) = yn + 1) - H7(m)X(m +1)H(n +1) = H(n) + 3e(n + 1)X( +1), n = 0,12 叠代过程如曲线2MMVCLAB2008/9/1821