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1、收稿日期:2006-03-30作者简介:徐希扬(1962,男，江苏新沂市人，临沂师范学院蒙山校区高级讲师双曲线平行弦的两个性 质徐希扬(临沂师范学院蒙山校区,山东费县273400中图分类号0123. 3文献标识码:A文章编号：0488-7395(2006 15-0027-01笔者通过对双曲线的探究,发现了它的平行弦之间的两个新颖有趣的性质图1 双曲线性质1如图1,过双曲线2a 2-2b2=1 (a >0, b>0的顶点A的弦AQ交y轴于点R,0则|OP |2=2IIAQ |.证设OP的参数方程为x =t cosa, y =t siii a,t为参数将X, y代入双曲线方程并整理，得
2、 (b 2cos 2a-a 2sin 2a t 2=a 2b 2.显然 b 2cos 2a-a 2siii 2殍 0,|OP |2=t p 222b 2cos 2ax =-a +t cos(1因为AQ OP ,于是可设AQ的参数方程为ay =t sin a(t为参数(2将X，y代入双曲线方程并整理，得(b 2cos 2a-a 2sin 2a 12-2ab 2cos a - t =0, |AQ |=|t Q|=2b 2cos 2a-a 2sm 2a(3在(2中令x=0,得|AR |=|t R |=cosa(4由(1 , (3 , (4可得|OP |2=3|AR | |AQ |.性质2如图2, M
3、N是过双曲线a 2-22=l(a图2 双曲线>0, b >0 F 的弦，o弦OP ,则III-证设OP的参数方程为x =t cosct, y =t sin a,为参数.由性质1的证明可知|OP |222b 2cos 2a-a 2sin 2a(1因为MN过焦点F (-c ,0 ,且MN OP ,于是可设MN的参数方程为X =-C H-t COSct, y =t sill a,为参数.将X , y代入双曲线方程并化简整理，得(b 2cos 2a-a 2sin 2a 12-2b 2c cos a - 14-b 4 =0.由韦达定理得11+t 2=2b 2cos 2aa 2sm 2a,t lt2=4b2cos 2a-a 2sin 2 (tl-t2 2=(tl+t2 2-4t 1(2=(2b 2cos 2a-a 2siii 2a 2-4b 2cos 2a-a 2sm 2a =24(b 2cos 2a-a 2sin 2a 2, |MN |=|t 1-t 2|=2b 2cos 2a-a 2sm 2a(2由(1,(2可得|0P |2|MN|.7数学通讯22006年第15期