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1、双曲线的渐近线【教学目标 】1知识教学点： 使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的 作用.12能力训练点： 在与初中所学的 y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而 x培养学生分析、归纳、推理等能力3学科渗透点： 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解【教材分析 】 1教学重、难点 ：双曲线的渐近线的导出和论证1（解决办法：引导学生类比初中所学的y 的图象的特点，然后逐一证明 ）x2教学疑点： 双曲线的渐近线的发现和证明（解决办法：通过类比以及几何画板猜测）【教学程序 】1新课引入 课前播放“悲
2、伤双曲线”的音乐。 我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？ （标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）1那么你对这条双曲线： y （的图像）又有哪些了解呢？x 你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点） ，从而引出对称轴。 我们发现这条双曲线的对称轴并不是 x、y 轴，但是 x、y 轴又和这条双曲线的关系很密切， 你能说说它们的关系吗？（ 1）无交点；（2）逐渐接近 无限接近。 （板书 ） 从而引出课题“双曲线的渐近线” 。 （板书 ）2新课讲解【探索 1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x 轴上的双曲线为例） ，1所以我们可以将 y 的图像绕原点顺
3、时针旋转 45度，得到焦点在 x 轴上的双曲线。x 这说明焦点在 x 轴上的双曲线也有渐近线。 那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。 （停顿） 能否根据其特征（无交点、逐渐接近 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）x2 y2【探索 2】你能找到和双曲线 2 2 1（a 0,b 0） 的图象没有交点的直线吗？（ y 轴等 ab过原点的部分直线）22【探索 3】那么这么多和双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0） 的图象没有交点的直线中， 到底哪 a2 b2一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？ （通过几何画板进行猜测） 先取 a 1，改变 b的取值，比较直线的斜率和 a
4、，b 的关系，再取 a 2，改变 b的取值，比较直线的斜率和 a，b 的关系。 引导学生发现该直线的斜率 k b 。a【探索 4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？ （学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明） 我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。的点，则 | MN | yb22 xa ab (xxaa2)ab22x x a从而 x 增大直至趋于正无穷大时，|MN|逐渐减小直至趋于即：点 M 向无穷远处运动时，M 点就无限接近于直线0；bx。a2x综上，双曲线 2a22 y2 1 的渐近线方程为 b2bx。 a根据对称性，其
5、他象限类似。我们称直线 yb x 为双曲线 x 2 y2a a 2 b21(a0,b0） 的渐近线。设双曲线的方程为2x2 a2by21，（1）证明直线 ybx2x 与双曲线 222 1 无交点，易证；aab2（2）证明逐渐趋近无限接近。22设 M（x,y） 是双曲线 x2 y2 1上的第一象限的一点， N（x, y ）是直线上与 M 有相同横坐标 ab【探索 5】我们回到课前引入的问题。我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢？由旋转前后的不变性，可求出 a 2 ，再由 b 1，可求得： b 2 ， a22所以双曲线的标准方程为： x y 1 。22我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线
6、。3例题讲解221的渐近线方程，并画出双曲线的草图。例 1：求双曲线 x y49，追问渐近线是如何画出（由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线）的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）22【变 】求双曲线 y x 1的渐近线方程。94(学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在 y 轴上的双曲线 y 2 x2a2 2 1(a 0,b 0) 的渐近线方程 yx )a bb3由于例 1 和变式的结果都是 yx ，进而引出下面的追问 1 。23【追问 1】以直线 yx 为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？2恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线
7、22xya2b21(a 0, b 0) 的渐近线方程2为x2a22 y2 0 ；双曲线 y2 bax2bx2 1(a 0,b0) 的渐近线方程为2y2a2bx22 0)2 (如 x4y2 32 等，进而可以总结：以直线 y x 为渐近线的双曲线方程可以统一表922 示为 x4y2( 0) )。(可以用几何画板演示结果)9追问 2】上述方程中0，若0 ，表示的是什么呢？4课堂小结 (略)【教学反思 】1本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、认知习惯为出发点， 逐步寻找最近发展区，从而使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；2关于双曲线的渐近线的证明一直是本节课的矛盾点，若证明，则较难突破这一难点，若 不证明，则不符合学生猜测后证明的思想；3对于双曲线的渐近线的应用则不是本节课的重点，因而淡化处理。